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1、3 全称量词与存在量词全称量词与存在量词 课后训练案巩固提升巩固提升 1.下列命题与其他命题不同的是( ) A.有一个平行四边形是矩形 B.任何一个平行四边形是矩形 C.某些平行四边形是矩形 D.有的平行四边形是矩形 解析:A,C,D 是特称命题,B 是全称命题. 答案:B 2.下列命题不是特称命题的是( ) A.有些实数没有平方根 B.能被 5 整除的数也能被 2 整除 C.存在 xx|x3,使 x2-5x+60 D.对任意的 xR,x3-x2+10 答案:C 4.命题“存在 xR,使 2x0”的否定是( ) A.不存在 xR,使 2x0 B.存在 xR,使 2x0 C.对任意的 xR,2x
2、0 D.对任意的 xR,2x0 答案:D 5.在下列特称命题中,假命题的个数是 . 有的实数是无限不循环小数; 有些三角形不是等腰三角形; 有的菱形是正方形. 解析:为真命题,如 为实数,是无限不循环小数,均为真命题. 答案:0 6.写出下列全称命题的否定. (1)对任意 xR,x2+x+10: . (2)对任意 xQ, x2+ x+1 是有理数: . 解析:全称命题的否定是特称命题,即“对任意 xM,p(x)成立”的否定是“存在 xM,使 p(x)不成立”. 答案:(1)存在 xR,使 x2+x+10 (2)存在 xQ,使x2+x+1 不是有理数 7.写出下列特称命题的否定. (1)存在 ,
3、R,使 sin(+)=sin +sin : ; (2)存在 x,yZ,使 3x-2y=10: . 解析:特称命题的否定是全称命题,即“存在 xM,使 p(x)成立”的否定是“对任意 xM,p(x)不成立”. 答案:(1)对任意 ,R,有 sin(+)sin +sin (2)对任意 x,yZ,有 3x-2y10 8.已知 a0,命题 p:存在 xR,使|x-4|+|x-3|1,即 a 的取值范围是(1,+). 答案:(1,+) 9.写出下列命题的否定形式,并判断其真假. (1)不论 m 取何实数,方程 x2+x-m=0 必有实数根; (2)存在一个实数 x,使得 x2+x+10; (3)已知函数
4、 f(x)=cos x,则对任意 xR,都有 f(x)1; (4)对任意 xR,x2+20. 解(1)这一命题可以表述为 “对所有的实数 m,方程 x2+x-m=0 有实数根”.其否定为 “存在实数 m,使得方程 x2+x-m=0 没有实数根”.因为当 =1+4m0”.因为 x2+x+1=0,所以它为真命题. (3)这一命题的否定为 “已知函数 f(x)=cos x,则存在 xR,有 f(x)1”.因为 f(x)-1,1,所以命题的否定为假命 题. (4)这一命题的否定为“存在 xR,x2+20”.因为 x2+22,所以不存在 xR,使 x2+20. 即其否定为假命题. 10.导学号90074009若r(x):sin x+cos xm,s(x):x2+mx+10,如果对任意的xR,r(x)为假命题 且 s(x)为真命题,求实数 m 的取值范围. 解因为sin x+cos x=sin-,所以如果对任意的xR,r(x)为假命题,即对任意的xR,不等式sin x+cos xm 不恒成立,所以 m-. 又对任意的 xR,s(x)为真命题,即对任意的 xR,不等式 x2+mx+10 恒成立,所以方程 x2+mx+1=0 的判别 式 =m2-40,即-2m2. 综上可知,如果对任意的 xR,r(x)为假命题且 s(x)为真命题,则-m2.故 m 的取值范围为- ,2).