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1、第一章DIYIZHANG计数原理 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理 第 1 课时 1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有 5 名同学只会用综合法证明,有 3 名 同学只会用分析法证明,现从这些同学中任选 1 名同学证明这个问题,不同的选法种数为( ) A.8B.15C.18D.30 解析:共有 5+3=8 种不同的选法. 答案:A 2.从 A 地到 B 地要经过 C 地和 D 地,从 A 地到 C 地有 3 条路,从 C 地到 D 地有 2 条路,从 D 地 到 B 地有 4 条路,则从 A 地到 B 地不同的走法有( ) A.9 种B.1
2、种C.24 种D.3 种 解析:由分步乘法计数原理知,从 A 地到 B 地不同走法有 234=24(种). 答案:C 3.从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数 a,b 组成复数 a+bi,其中虚数有( ) A.30 个B.42 个C.36 个D.35 个 解析:要完成这件事可分两步,第一步确定b(b0)有6种方法,第二步确定a有6种方法,故由分步 乘法计数原理知共有 66=36 个虚数,故选 C. 答案:C 4.某公共汽车上有 10 名乘客,沿途有 5 个车站,乘客下车的可能方式有( ) A.510种B.105种C.15 种D.50 种 解析:每名乘客都有在5个车站中的任何一
3、个车站下车的可能,由分步乘法计数原理得,下车的可 能方式有 5555555555=510种. 答案:A 5.有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本 班监考,则监考的方法有( ) A.8 种B.9 种C.10 种D.11 种 解析:设四位监考教师分别为 A,B,C,D,所教班分别为 a,b,c,d,假设 A 监考 b,则余下三人监考剩下 的三个班,共有 3 种不同方法,同理 A 监考 c,d 时,也分别有 3 种不同方法,由分类加法计数原理得 监考的方法共有 3+3+3=9(种). 答案:B 6.满足 a,b-1,0,1,2,且关于 x 的方程
4、ax2+2x+b=0 有实数解的有序数对(a,b)的个数为( ) A.14B.13C.12D.10 解析:当 a=0 时,2x+b=0 总有实数根, 所以(a,b)的取值有 4 个. 当 a0 时,需 =4-4ab0,所以 ab1. a=-1 时,b 的取值有 4 个, a=1 时,b 的取值有 3 个, a=2 时,b 的取值有 2 个. 所以(a,b)的取法有 9 个. 综合知,(a,b)的取法有 4+9=13 个. 答案:B 7.8 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各 4 人,分别进行单循环赛,每组决出前 两名,再由每组的第一名与另一组的第二名进行半决赛,获胜者角逐冠亚军,
5、败者角逐第 3,4 名, 则 大师赛共有 场比赛. 解析:每个小组赛有 6 场比赛,两个小组有 6+6=12 场比赛,半决赛和决赛共有 2+2=4 场比赛,根 据分类加法计数原理,共有 12+4=16 场比赛. 答案:16 8.导学号43944001一学习小组有 4 名男生,3 名女生,任选一名学生当数学课代表,共有 种不同选法;若选男、女生各一名当组长,共有 种不同选法. 解析:任选一名当数学课代表可分两类,一类是从男生中选,有 4 种选法;另一类是从女生中选,有 3 种选法.根据分类加法计数原理,共有 4+3=7 种不同选法. 若选男、女生各一名当组长,需分两步:第 1 步,从男生中选一名
6、,有 4 种选法;第 2 步,从女生 中选一名,有 3 种选法.根据分步乘法计数原理,共有 43=12 种不同选法. 答案:7 12 9.导学号43944002有一项活动,需从 3 位老师、8 名男同学和 5 名女同学中选人参加. (1)若只需 1 人参加,有多少种不同的选法? (2)若需老师、男同学、女同学各 1 人参加,有多少种不同的选法? (3)若需 1 位老师、1 名同学参加,有多少种不同的选法? 解(1)选1人,可分三类:第一类从老师中选1人,有3种不同的选法;第二类从男同学中选1人,有8 种不同的选法;第三类从女同学中选 1 人,有 5 种不同的选法,共有 3+8+5=16 种不同
7、的选法. (2)选老师、男同学、女同学各 1 人,则分 3 步进行,第一步选 1 位老师,有 3 种不同的选法; 第二步选 1 位男同学,有 8 种不同的选法;第三步选 1 位女同学,有 5 种不同的选法,共有 385=120 种不同的选法. (3)选 1 位老师、 1 名同学,可分两步进行,第一步选 1 位老师,有 3 种不同的选法,第二步选 1 位同学,有 8+5=13 种不同的选法,共有 313=39 种不同的选法. 10.已知集合 A=a1,a2,a3,a4,集合 B=b1,b2,其中 ai,bj(i=1,2,3,4,j=1,2)均为实数. (1)从集合 A 到集合 B 能构成多少个不同的映射? (2)能构成多少个以集合 A 为定义域,集合 B 为值域的不同函数? 解(1)因为集合A中的元素ai(i=1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种,由分步乘法计数原 理,可构成 AB 的映射有 N=24=16 个. (2)在(1)的映射中,a1,a2,a3,a4均对应同一元素 b1或 b2的情形.此时构不成以集合 A 为定义域, 以集合 B 为值域的函数,这样的映射有 2 个. 所以构成以集合 A 为定义域,以集合 B 为值域的函数有 M=16-2=14 个.