2019版二轮复习数学（文）通用版讲义：第一部分 第二层级 重点增分专题四　三角函数的图象与性质含解析.pdf

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1、重点增分专题四 三角函数的图象与性质重点增分专题四 三角函数的图象与性质 全国卷全国卷 3 年考情分析年考情分析 年份年份全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷 2018 三角恒等变换及三角函 数的周期与最值 三角恒等变换及三角函 数的周期与最值T8 三角函数单调性的应用三角函数单调性的应用T10正切函数的周期正切函数的周期T6 三角函数的周期三角函数的周期T3 2017 三角函数的最值三角函数的最值T13 三角函数的最值三角函数的最值T6 已知三角函数图象求解析式已知三角函数图象求解析式T3 2016 三角函数的图象变换与 性质 三角函数的图象变换与 性质T6三角函数的最值三角函数的最值T11

2、 三角函数图象变 换 三角函数图象变 换T14 (1)高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象 的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题 高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象 的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题 (2)主要以选择题、 填空题的形式考查， 难度为中等偏下， 大多出现在第主要以选择题、 填空题的形式考查， 难度为中等偏下， 大多出现在第 311 或或 1415 题位置上题位置上 三角函数的定义、诱导公式及基本关系三角函数的定义、诱导公

3、式及基本关系 考考点点一一 保保分分考考点点 练练后后讲讲评评 大稳定大稳定常常规 规角角度度考考双双基基 1.在平面直角坐标系中， 以在平面直角坐标系中， 以 x 轴的非负半轴为角的始边， 角轴的非负半轴为角的始边， 角 ， 三三角角函函数数的的定定义 义及 及应 应用用 的终边分别与单位圆交于点和，则的终边分别与单位圆交于点和，则 sin()( ) ( 12 13， ， 5 13) ( 3 5， ， 4 5) A B. 36 65 48 65 C D. 3 13 33 65 解析 ： 选解析 ： 选 D 因为角 因为角 ， 的终边分别与单位圆交于点和， 所以的终边分别与单位圆交于点和， 所

4、以 sin ， ( 12 13， ， 5 13) ( 3 5， ， 4 5) 5 13 cos ，sin ， ，cos ，所以 ，所以 sin()sin cos cos sin 12 13 4 5 3 5 5 13 ( 3 5) 12 13 . 4 5 33 65 2.若若 tan ，则 ，则 sin4cos4 的值为的值为( )同同角角三三角角函函数数的的关关系系式式及及应 应用用 1 2 A B 1 5 3 5 C. D. 1 5 3 5 解析：选解析：选 B tan ， ， 1 2 sin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2) sin2cos2sin 2 cos2 sin2c

5、os2 . tan21 tan21 3 5 3.设函数设函数 f(x)(xR)满足满足 f(x)f(x)sin x 当 当 0x0， 当， 当 26n49 时，时， an0； 当； 当 76n99 时，时，an0. 2.某一算法程序框图如图所示，则输出的某一算法程序框图如图所示，则输出的 S 的值为的值为( )与与算算法法交交汇 汇 A. B 3 2 3 2 C. D03 解析：选解析：选 A 由已知程序框图可知，该程序的功能是计算 由已知程序框图可知，该程序的功能是计算 Ssin sin sin 3 2 3 3 3 sin的值的值 2 017 3 因为因为 sin ，sin sinsin ，

6、sin sin 0， 3 3 2 2 3 ( 3) 3 3 2 3 3 sin sinsin ， 4 3 ( 3) 3 3 2 sin sinsin ， 5 3 (2 3) 3 3 2 sin sin 20，而，而 sin sinsin ， 6 3 7 3 (2 3) 3 sin sinsin ，sin sin(2)sin ，所以函数值呈周期性变化，所以函数值呈周期性变化， 8 3 (2 2 3) 2 3 9 3 周期为周期为 6，且，且 sin sin sin sin sin sin 0. 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 而而 2 01763361，所以输出的，所以输出的 S33

7、60sin .故选故选 A. 3 3 2 3.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表九章算术是我国古代数学成就的杰出代表借借助助数数学学文文化化考考查 查 作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积1 2 (弦矢矢弦矢矢 2)，弧田 ，弧田(如图如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中 “弦” 指圆弧所对弦长， “矢”由圆弧和其所对弦所围成，公式中 “弦” 指圆弧所对弦长， “矢” 等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径等于等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径等于 4 m 的弧田，按照上述经的弧田，按照上述经

8、 2 3 验公式计算所得弧田面积约是验公式计算所得弧田面积约是( ) A6 m2 B9 m2 C12 m2 D15 m2 解析：选解析：选 B 如图，由题意可得 如图，由题意可得AOB，OA4，在，在 RtAOD 中，可得中，可得AOD 2 3 ，DAO ， ，OD AO 42， 3 6 1 2 1 2 于是矢于是矢422. 由由 ADAOsin 42， 3 3 2 3 可得弦长可得弦长 AB2AD224.33 所以弧田面积所以弧田面积 (弦矢矢弦矢矢 2) (4222)429(m2)故选故选 B. 1 2 1 2 33 考考点点二二三三角角函函数数的的图图象象与与解解析析式式 增增分分考考点

9、点 广广度度拓拓展展 题型一 由题型一 由“图图”定定“式式” 例例 1 (1)已知函数已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0,00，0,00， 0)中参数的值， 关键是把握函 数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图 中参数的值， 关键是把握函 数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图 (1)最值定最值定 A， B： 根据给定的函数图象确定最值， 设最大值为： 根据给定的函数图象确定最值， 设最大值为 M， 最小值为， 最小值为 m， 则， 则 MA B，mAB，解得，解得 B，A. M m 2 M m 2 (2)T 定定 ：由周期的求解公式：

10、由周期的求解公式 T，可得，可得 . 2 2 T (3)点坐标定点坐标定 ： 一般运用代入法求解： 一般运用代入法求解 值，注意在确定值，注意在确定 值时，往往以寻找“五点法” 中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点” 值时，往往以寻找“五点法” 中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点” 题型二 三角函数的图象变换题型二 三角函数的图象变换 例例 2 (1)(2019届高三届高三湘东五校联考湘东五校联考)将函数将函数 f(x)sin的图象上各点的横坐标伸的图象上各点的横坐标伸 (x 6) 长到原来的长到原来的 2 倍，纵坐标不变，所得图象的一条对称轴的方程可能是

11、倍，纵坐标不变，所得图象的一条对称轴的方程可能是( ) Ax Bx 12 12 Cx Dx 3 2 3 (2)(2018郑州第一次质量测试郑州第一次质量测试)若将函数若将函数 f(x) sin图象上的每一个点都向左平图象上的每一个点都向左平 1 2 (2x 3) 移 个单位长度，得到移 个单位长度，得到 g(x)的图象，则函数的图象，则函数 g(x)的单调递增区间为的单调递增区间为( ) 3 A.(kZ) k 4， ，k 3 4 B.(kZ) k 4， ，k 4 C.(kZ) k 2 3 ， ，k 6 D.(kZ) k 12， ，k 5 12 解析解析 (1)依题意知， 将函数依题意知， 将函

12、数f(x)sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，倍， (x 6) 纵坐标不变， 得函数纵坐标不变， 得函数g(x)sin的图象 令的图象 令 x k， kZ， 得， 得x2k， kZ， ( 1 2x 6) 1 2 6 2 2 3 当当 k0 时，所得函数图象的一条对称轴的方程为时，所得函数图象的一条对称轴的方程为 x，故选，故选 D. 2 3 (2)将函数将函数 f(x) sin图象上的每一个点都向左平移 个单位长度，得到函数图象上的每一个点都向左平移 个单位长度，得到函数 g(x) 1 2 (2x 3) 3 sin sin(2x) sin 2x 的图象，

13、 令 的图象， 令 2k2x2k(k Z)， 可得， 可得 1 22(x 3) 3 1 2 1 2 2 3 2 4 kxk(k Z)，因此函数，因此函数 g(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(k Z)，故选，故选 A. 3 4 k 4， ，k 3 4 答案答案 (1)D (2)A 解题方略 关于三角函数的图象变换的方法解题方略 关于三角函数的图象变换的方法 沿沿 x 轴轴沿沿 y 轴轴 平移变换平移变换 由由 yf(x)变为变为 yf(x)时，“左加右 减” ，即 时，“左加右 减” ，即 0，左移；，左移；0，上移；，上移；k0，所以，所以 00) 的单调区间时，令的单调区间时，令 xz

14、，得，得 yAsin z(或或 yAcos z)，然后由复合函数的单调性求得，然后由复合函数的单调性求得 (2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间 2判断对称中心与对称轴的方法判断对称中心与对称轴的方法 利用函数利用函数 yAsin(x)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是 函数的零点这一性质，通过检验 的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是 函数的零点这一性质，通过检验 f(x0)的值进行判断的值进行判断 3求三角函数周期的常用结论求三角函数周期的常用结论 (1)yAsin(x)和和 yAcos(x)

15、的最小正周期为，的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期的最小正周期 2 | 为为. | (2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 个周期，相邻的正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 个周期，相邻的 1 2 对称中心与对称轴之间的距离是 个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是 个周期对称中心与对称轴之间的距离是 个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是 个周期 1 4 1 2 多练强化多练强化 1 若函数 若函数f(x)sin(2x)cos(2x)(0 0， ，| 0)的最小正周期为的最小正周期为 .33 (1)求函数求函数 f(x)的单调

16、递增区间；的单调递增区间； (2)将函数将函数f(x)的图象向左平移 个单位长度， 再向上平移的图象向左平移 个单位长度， 再向上平移1个单位长度， 得到函数个单位长度， 得到函数yg(x) 6 的图象，若的图象，若 yg(x)在在0，b(b0)上至少含有上至少含有 10 个零点，求个零点，求 b 的最小值的最小值 解解 (1)f(x)2sin xcos x(2sin2x1)3 sin 2xcos 2x2sin.3 (2x 3) 由最小正周期为由最小正周期为 ，得，得 1， 所以所以 f(x)2sin， (2x 3) 由由 2k 2x 2k ， ，kZ，Z， 2 3 2 得得 kxk，kZ，Z

17、， 12 5 12 所以函数所以函数 f(x)的单调递增区间是，的单调递增区间是，kZZ. k 12， ，k 5 12 (2)将函数将函数f(x)的图象向左平移 个单位，再向上平移的图象向左平移 个单位，再向上平移1 个单位，得到个单位，得到y2sin 2x1 的图象，的图象， 6 所以所以 g(x)2sin 2x1. 令令 g(x)0，得，得 xk或或 xk(kZZ)， 7 12 11 12 所以在所以在0，上恰好有两个零点，若上恰好有两个零点，若 yg(x)在在0，b上有上有 10 个零点，则个零点，则 b 不小于第不小于第 10 个零点的横坐标即可个零点的横坐标即可 所以所以 b 的最小

18、值为的最小值为 4. 11 12 59 12 解题方略解题方略 解决三角函数图象与性质综合问题的思路解决三角函数图象与性质综合问题的思路 (1)先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 yAsin(x)B(一角 一函数 一角 一函数)的形式；的形式； (2)把“把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求”视为一个整体，借助复合函数性质求 yAsin(x)B 的单调性、 奇偶性、最值、对称性等问题 的单调性、 奇偶性、最值、对称性等问题 多练强化多练强化 (2017山东高考山东高考)设函数设函数 f(x)sinsin，其中，其中 00，

19、|0， 0)在区间上单调递增，在区间上单调递增，(x) 4， ， 2 3 则则 的取值范围为的取值范围为( ) A. B. (0， ， 8 3 (0， ， 1 2 C. D. 1 2， ， 8 3 3 8， ，2 解析：选解析：选 B 法一：因为 法一：因为 x，所以，所以 x ， ， 4， ， 2 3 6 ， ， 因为函数因为函数 f(x)sin(0)在区间上单调递增，在区间上单调递增，(x) 4， ， 2 3 所以所以Error! 即即Error! 又又 0，所以，所以 0 0) ( 6， ，1) 在原点右侧与在原点右侧与 x 轴的第一个交点为 Q，则轴的第一个交点为 Q，则 f的值为的值

20、为_ ( 5 12， ，0) ( 2) 解析：由题意得 ，所以解析：由题意得 ，所以 T，所以，所以 2， T 4 5 12 6 4 将点将点 P代入代入 f(x)sin(2x)， ( 6， ，1) 得得 sin1，所以，所以 2k(kZZ) (2 6 ) 6 又又| 6) ，则，则 m 的最大值是的最大值是_ 1， ， 3 2 解析：由解析：由 x，可知，可知3x 3m ， ， 6， ，m 5 6 3 3 fcos ，且，且 fcos 1， ( 6) 5 6 3 2 ( 2 9) 要使要使 f(x)的值域是，的值域是， 1， ， 3 2 需要需要 3m ，即 ，即m， 3 7 6 2 9 5

21、 18 即即 m 的最大值是的最大值是. 5 18 答案：答案：5 18 三、解答题三、解答题 10(2018石家庄模拟石家庄模拟)函数函数 f(x)Asinx 1(A0，0)的最小值为的最小值为1，其图象相，其图象相 6 邻两个最高点之间的距离为邻两个最高点之间的距离为 . (1)求函数求函数 f(x)的解析式；的解析式； (2)设设 ，f2，求，求 的值的值 (0， ， 2) ( 2) 解：解：(1)函数函数 f(x)的最小值为的最小值为1， A11，即，即 A2. 函数函数 f(x)的图象的相邻两个最高点之间的距离为的图象的相邻两个最高点之间的距离为 ， 函数函数 f(x)的最小正周期的

22、最小正周期 T， 2，故函数，故函数 f(x)的解析式为的解析式为 f(x)2sin1. (2x 6) (2)f2sin12， ( 2) ( 6) sin . ( 6) 1 2 00)，函数，函数 f(x)mn3 ，直线，直线 xx1，xx2是函数是函数 yf(x)的图象的任意两条对称轴，且的图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为的最小值为 .3 2 (1)求求 的值；的值； (2)求函数求函数 f(x)的单调递增区间的单调递增区间 解 ：解 ： (1)因为向量因为向量 m(2sin x， sin x)， n(cos x， ， 2sin x)(0)， 所以函数， 所以函数 f(x)3

23、mn2sin xcos xsin x(2sin x)sin 2x2sin2x sin 33333 2xcos 2x2sin.3 (2x 3) 因为直线因为直线 xx1， xx2是函数是函数 yf(x)的图象的任意两条对称轴， 且的图象的任意两条对称轴， 且|x1x2|的最小值为 ，的最小值为 ， 2 所以函数所以函数 f(x)的最小正周期为 的最小正周期为 2，即，即，得，得 1. 2 2 2 (2)由由(1)知，知，f(x)2sin， (2x 3) 令令 2k 2x 2k (kZZ)， 2 3 2 解得解得 kxk(kZZ)， 5 12 12 所以函数所以函数 f(x)的单调递增区间为的单调

24、递增区间为(kZZ) k 5 12， ，k 12 2.已知函数已知函数 f(x)sin 2xcos4xsin4x1(0 0， ，0 2) 2 ，且在，且在 x 时取得最大值 时取得最大值 1. 8 (1)求函数求函数 f(x)的解析式；的解析式； (2)当当 x时，若方程时，若方程 f(x)a 恰好有三个根，分别为恰好有三个根，分别为 x1，x2，x3，求，求 x1x2x3的的 0， ， 9 8 取值范围取值范围 解：解：(1)由题意，由题意，T2 ，故，故 2， 2 2 所以所以 sinsin1， (2 8 ) ( 4 ) 所以 所以 2k ， ，kZ，所以Z，所以 2k ， ，kZZ. 4 2 4 因为因为 0 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 f(x)sin. 2 4 (2x 4) (2)画出该函数的图象如图， 当画出该函数的图象如图， 当a1时， 方程时， 方程f(x)a恰好有三个根，恰好有三个根， 2 2 且点且点(x1， a)和和(x2， a)关于直线关于直线 x 对称，点 对称，点(x2，a)和和(x3，a)关于直线关于直线 x 8 对称，对称， 5 8 所以所以 x1x2 ， ，x3， 4 9 8 所以所以x1x2x3， 5 4 11 8 故故 x1x2x3的取值范围为的取值范围为. 5 4 ， ，11 8)