《2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版讲义：第一部分 专题十八 不等式选讲（选修4－5）含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版讲义：第一部分 专题十八 不等式选讲（选修4－5）含解析.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、专题十八专题十八 Error! 不等式选讲不等式选讲(选修选修 45) 卷卷卷卷卷卷 2018 含绝对值不等式的解法及 绝对值不等式恒成立问题 含绝对值不等式的解法及 绝对值不等式恒成立问题 含绝对值不等式的解法及绝 对值不等式恒成立问题 含绝对值不等式的解法及绝 对值不等式恒成立问题 含绝对值函数的图象 与绝对值不等式恒成 立问题 含绝对值函数的图象 与绝对值不等式恒成 立问题 2017 含绝对值不等式的解法、 求 参数的取值范围 含绝对值不等式的解法、 求 参数的取值范围 基本不等式的应用、一些常 用的变形及证明不等式的方 法 基本不等式的应用、一些常 用的变形及证明不等式的方 法 含绝对
2、值不等式的解 法、函数最值的求解 含绝对值不等式的解 法、函数最值的求解 2016 含绝对值不等式的解法、 分 段函数的图象及应用 含绝对值不等式的解法、 分 段函数的图象及应用 含绝对值不等式的解法、比 较法证明不等式及应用 含绝对值不等式的解法、比 较法证明不等式及应用 含绝对值不等式的解 法、绝对值不等式的 性质 含绝对值不等式的解 法、绝对值不等式的 性质 纵向把 握趋势 纵向把 握趋势 考题主要涉及绝对值不等 式的解法及绝对值不等式 的恒成立问题、 由不等式的 解集求参问题预计 考题主要涉及绝对值不等 式的解法及绝对值不等式 的恒成立问题、 由不等式的 解集求参问题预计 2019 年
3、仍以考查绝对值不等式 的解法为主， 同时兼顾最值 或恒成立问题的考查 年仍以考查绝对值不等式 的解法为主， 同时兼顾最值 或恒成立问题的考查 考题涉及绝对值不等式的解 法、绝对值不等式的恒成立 问题以及不等式的证明，难 度适中 预计 考题涉及绝对值不等式的解 法、绝对值不等式的恒成立 问题以及不等式的证明，难 度适中 预计 2019 年会考查 含绝对值不等式的解法、不 等式的证明问题 年会考查 含绝对值不等式的解法、不 等式的证明问题 考题涉及绝对值不等 式的解法、绝对值不 等式的恒成立问题、 函数最值的求解，难 度适中 预计 考题涉及绝对值不等 式的解法、绝对值不 等式的恒成立问题、 函数最
4、值的求解，难 度适中 预计 2019 年 仍会考查绝对值不等 式的解法，同时要关 注不等式的证明问题 年 仍会考查绝对值不等 式的解法，同时要关 注不等式的证明问题 横向把 握重点 横向把 握重点 1.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等 式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综 合问题的求解 不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等 式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综 合问题的求解 2.此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思 想的应用 此
5、部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思 想的应用. 含绝对值不等式的解法含绝对值不等式的解法 由题知法由题知法 (2018福州模拟福州模拟)设函数设函数 f (x)|x1|，xRR.典典例例 (1)求不等式求不等式 f (x)3f (x1)的解集；的解集； (2)已知关于已知关于 x 的不等式的不等式 f (x)f (x1)|xa|的解集为的解集为 M，若，若M，求实数，求实数 a 的的 (1， ， 3 2) 取值范围取值范围 解解 (1)因为因为 f (x)3f (x1)， 所以所以|x1|3|x2|x1|x2|3Error!或或Error!或或Error! 解得
6、解得 0xa(a0)f (x)a 或或 f (x)0)a0)，|xa|xb|c(或或c)(c0)型不等式，可通过零点 分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解 型不等式，可通过零点 分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解 零点分区间法求解绝对值不等式的一般步骤：零点分区间法求解绝对值不等式的一般步骤： ()令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； ()将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间； ()由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；由所分区间去掉绝对值符号得若干
7、个不等式，解这些不等式，求出解集； ()取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集 利用绝对值的几何意义求解绝对值不等式的方法：利用绝对值的几何意义求解绝对值不等式的方法： 由于由于|xa|xb|与与|xa|xb|分别表示数轴上与分别表示数轴上与 x 对应的点到对应的点到 a，b 对应的点的距 离之和与距离之差，因此对形如 对应的点的距 离之和与距离之差，因此对形如|xa|xb|c(c0)或或|xa|xb|c(c0)的不等式， 利用绝对值的几何意义求解更直观 的不等式， 利用绝对值的几何意义求解更直观 应用通关应用通关 1(2018全国卷全国卷)已知已知
8、f (x)|x1|ax1|. (1)当当 a1 时，求不等式时，求不等式 f (x)1 的解集；的解集； (2)若若 x(0,1)时不等式时不等式 f (x)x 成立，求成立，求 a 的取值范围的取值范围 解：解：(1)当当 a1 时，时，f (x)|x1|x1|， 即即 f (x)Error! 故不等式故不等式 f (x)1 的解集为的解集为. x x 1 2 (2)当当 x(0,1)时时|x1|ax1|x 成立等价于当成立等价于当 x(0,1)时时|ax1|0，则，则|ax1|(|2x1|2x1|)min即可即可 由于由于|2x1|2x1|12x|2x1|12x(2x1)|2， 当且仅当当
9、且仅当(12x)(2x1)0，即，即 x时等号成立，故时等号成立，故 m2. 1 2， ， 1 2 所以所以 m 的取值范围是的取值范围是(2，) 不等式的证明不等式的证明 由题知法由题知法 1含有绝对值的不等式的性质含有绝对值的不等式的性质 |a|b|ab|a|b|. 2算术算术几何平均不等式几何平均不等式 定理定理 1：设：设 a，bR，则R，则 a2b22ab.当且仅当当且仅当 ab 时，等号成立时，等号成立 定理定理 2：如果：如果 a，b 为正数，则，当且仅当为正数，则，当且仅当 ab 时，等号成立时，等号成立 a b 2 ab 定理定理 3：如果：如果 a，b，c 为正数，则，当且
10、仅当为正数，则，当且仅当 abc 时，等号成立时，等号成立 ab c 3 3 abc 定理定理 4：(一般形式的算术一般形式的算术几何平均不等式几何平均不等式)如果如果 a1，a2，an为为 n 个正数，则 ，当且仅当 个正数，则 ，当且仅当 a1a2an时，等号成立时，等号成立 a1a2an n n a1a2an (2018沈阳质监沈阳质监)已知已知 a0，b0，函数，函数 f (x)|xa|xb|.典典例例 (1)当当 a1，b1 时，解关于时，解关于 x 的不等式的不等式 f (x)1； (2)若函数若函数 f (x)的最大值为的最大值为 2，求证： ，求证： 2. 1 a 1 b 解解
11、 (1)当当 a1，b1 时，时， f (x)|x1|x1|Error! 当当 x1 时，时，f (x)21，不等式恒成立，不等式恒成立， 此时不等式的解集为此时不等式的解集为x|x1； 当当1x1，所以，所以 x ， 1 2 此时不等式的解集为；此时不等式的解集为； x 1 2 1，不等式不成立，此时无解，不等式不成立，此时无解 综上所述，不等式综上所述，不等式 f (x)1 的解集为的解集为. xx 1 2 (2)证明：法一：由绝对值三角不等式可得证明：法一：由绝对值三角不等式可得 |xa|xb|ab|，a0，b0， ab2， (ab)2，当且仅当，当且仅当 ab1 时，等号成立时，等号成
12、立 1 a 1 b 1 2 ( 1 a 1 b) 1 2(2 b a a b) 法二：法二：a0，b0，a1. | 1 abc ab c| 解：解：(1)由已知，令由已知，令 f (x)|x1|x1|Error!由由|f (x)|1，只需证，只需证|1abc|abc|， | 1 abc ab c| 即证即证 1a2b2c2a2b2c2，即证，即证 1a2b2c2(1a2b2)， 即证即证(1a2b2)(1c2)0， 由由 a，b，cA，得，得10 恒成立恒成立 综上，综上，1. | 1 abc ab c| 2(2018陕西质检陕西质检)已知函数已知函数 f (x)|2x1|x1|. (1)解不
13、等式解不等式 f (x)3； (2)记函数记函数 g(x)f (x)|x1|的值域为的值域为 M，若，若 tM，求证：，求证：t21 3t. 3 t 解：解：(1)依题意，得依题意，得 f (x)Error! f (x)3Error!或或Error!或或 Error!解得解得1x1， 即不等式即不等式 f (x)3 的解集为的解集为x|1x1 (2)证明 ：证明 ： g(x)f (x)|x1|2x1|2x2|2x12x2|3， 当且仅当， 当且仅当(2x1)(2x 2)0 时取等号，时取等号，M3，) 原不等式等价于原不等式等价于 t23t1 ， ， 3 t t3，)，t23t0，t23t11
14、， 又 又 1，t23t1 ， ，t21 3t. 3 t 3 t 3 t 含绝对值不等式的恒成立问题含绝对值不等式的恒成立问题 由题知法由题知法 (2018郑州第一次质量预测郑州第一次质量预测)设函数设函数 f (x)|x3|，g(x)|2x1|.典典例例 (1)解不等式解不等式 f (x)ax4 对任意的实数对任意的实数 x 恒成立，求恒成立，求 a 的取值范围的取值范围 解解 (1)由已知，可得由已知，可得|x3|0， 解得解得 x4. 2 3 故所求不等式的解集为故所求不等式的解集为(4，) ( ， ，2 3) (2)由已知，设由已知，设 h(x)2f (x)g(x)2|x3|2x1|E
15、rror! 当当 x3 时，只需时，只需4x5ax4 恒成立，恒成立， 即即 ax4 恒成立， 恒成立， 4x9 x 9 x a max， ，a1； ( 49 x) 当当3ax4 恒成立，恒成立， 1 2 即即 ax3ax4 恒成立，恒成立， 1 2 即即 ax0，a4，且，且 x时，时，4 4，a4. 1 x 1 x 综上，综上，a 的取值范围是的取值范围是(1,4 类题通法类题通法 绝对值不等式的成立问题的求解模型 绝对值不等式的成立问题的求解模型 (1)分离参数：根据不等式将参数分离化为分离参数：根据不等式将参数分离化为 af (x)或或 af (x)形式形式 (2)转化最值：转化最值：
16、f (x)a 恒成立恒成立f (x)mina； f (x)a 有解有解f (x)maxa； f (x)a 无解无解f (x)maxa； f (x) . 3 4 3 2 3 2 所以不等式的解集为所以不等式的解集为. x x 3 4 (2)若对任意的若对任意的 tR，R，sR，都有R，都有 g(s)f (t)，可得，可得 g(x)minf (x)max. 函数函数 f (x)|2x1|2x3|2x1(2x3)|4，f (x)max4. g(x)|x1|xa|x1(xa)|a1|，故，故 g(x)min|a1|. |a1|4，a14 或或 a14， 解得解得 a3 或或 a5. 故故 a 的取值范
17、围为的取值范围为(，53，) 2 (2019 届高三届高三洛阳第一次联考洛阳第一次联考)已知函数已知函数 f (x)|x12a|xa2|， aR，R， g(x)x2 2x4. 4 x 1 2 (1)若若 f (2a21)4|a1|，求实数，求实数 a 的取值范围；的取值范围； (2)若存在实数若存在实数 x，y，使，使 f (x)g(y)0，求实数，求实数 a 的取值范围的取值范围 解：解：(1)f (2a21)4|a1|， |2a22a|a21|4|a1|， |a1|(2|a|a1|4)0， |2a|a1|4 且且 a1. 若若 a1，则，则2aa14，a4，a4，a1. 综上所述，综上所述
18、，a 的取值范围为的取值范围为(1，) ( ， ，5 3) (2)g(x)(x1)25 4 x 1 2 2 51， x 1 2 4 x 1 2 显然可取等号，显然可取等号，g(x)min1. 于是，若存在实数于是，若存在实数 x，y，使，使 f (x)g(y)0，只需，只需 f (x)min1. 又又 f (x)|x12a|xa2|(x12a)(xa2)|(a1)2， (a1)21，1a11，0a2， 故实数故实数 a 的取值范围为的取值范围为0,2 专题跟踪检测专题跟踪检测(对应配套卷对应配套卷 P209) 1(2018全国卷全国卷)设函数设函数 f (x)5|xa|x2|. (1)当当 a
19、1 时，求不等式时，求不等式 f (x)0 的解集；的解集； (2)若若 f (x)1，求，求 a 的取值范围的取值范围 解：解：(1)当当 a1 时，时，f (x)Error! 当当 x2 时，由时，由2x60，解得，解得 2 .所以所以 3 时，原不等式可化为时，原不等式可化为 x3x2 ，解得 ，解得 m2， m 2 又又 mf (a)f (b) 解：解：(1)当当 x1 时，原不等式可化为时，原不等式可化为x11. 1 2 综上，综上，Mx|x1 (2)证明：因为证明：因为 f (a)f (b)|a1|b1|a1(b1)|ab|， 所以要证所以要证 f (ab)f (a)f (b)，
20、只需证只需证|ab1|ab|，即证，即证|ab1|2|ab|2， 即证即证 a2b22ab1a22abb2， 即证即证 a2b2a2b210，即证，即证(a21)(b21)0. 因为因为 a，bM，所以，所以 a21，b21， 所以所以(a21)(b21)0 成立，所以原不等式成立成立，所以原不等式成立 6(2018广东五市联考广东五市联考)已知函数已知函数 f (x)|xa|(a0) 1 2a (1)若不等式若不等式 f (x)f (xm)1 恒成立，求实数恒成立，求实数 m 的最大值；的最大值； (2)当当 a 时，时，f (x)单调递增，单调递增，f (x)的最小值在上取得的最小值在上取
21、得 1 2 5 a 1 2， ， 5 a 在上，当在上，当 0a2 时，时，f (x)单调递增，单调递增， 1 2， ， 5 a 当当 2a5 时，时，f (x)单调递减，单调递减， Error!或或Error! 解得解得 a2. 8(2018成都模拟成都模拟)已知函数已知函数 f (x)|x2|k|x1|，kRR. (1)当当 k1 时，若不等式时，若不等式 f (x)2 时，原不等式可化为时，原不等式可化为 2x5，2x ； 5 2 当当1x2 时，原不等式可化为时，原不等式可化为 34，1x2. 当当 x1 时，原不等式可化为时，原不等式可化为2x3， x1； 3 2 综上，原不等式的解
22、集为，综上，原不等式的解集为， x 3 2 x 5 2 即即 x1 ， ，x2 .x1x21. 3 2 5 2 (2)由题意，得由题意，得|x2|k|x1|k. 当当 x2 时，即不等式时，即不等式 3kk 成立，成立，k0. 当当 x2 或或 x0 时，时， |x1|1，不等式，不等式|x2|k|x1|k 恒成立恒成立 当当2x1 时，时， 原不等式可化为原不等式可化为 2xkxkk， 可得可得 k1，k3. 2 x x 2 4 x 2 当当1x0 时，时， 原不等式可化为原不等式可化为 2xkxkk，可得，可得 k1 ， ， 2 x k3. 综上，可得综上，可得 0k3，即，即 k 的最大值为的最大值为 3.