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1、专题跟踪检测（十一）专题跟踪检测（十一） 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 1(2018全国卷全国卷)如图，边长为如图，边长为 2 的正方形的正方形 ABCD 所在的平面 与半圆弧所在平面垂直， 所在的平面 与半圆弧所在平面垂直，M 是上异于是上异于 C，D 的点的点 CD CD (1)证明：平面证明：平面 AMD平面平面 BMC； (2)当三棱锥当三棱锥MABC体积最大时，求平面体积最大时，求平面MAB与平面与平面MCD所成 二面角的正弦值 所成 二面角的正弦值 解：解：(1)证明：由题设知，平面证明：由题设知，平面 CMD平面平面 ABCD，交线为，交线为 CD.因为因为 BCCD
2、，BC 平面 平面 ABCD， 所以所以 BC平面平面 CMD，所以，所以 BCDM. 因为因为 M 为上异于为上异于 C，D 的点，且的点，且 DC 为直径，为直径， CD 所以所以 DMCM. 又又 BCCMC， 所以所以 DM平面平面 BMC. 因为因为 DM平面平面 AMD， 所以平面所以平面 AMD平面平面 BMC. (2)以以 D 为坐标原点，的方向为为坐标原点，的方向为 x 轴正方向， 建立如图所示的空轴正方向， 建立如图所示的空DA 间直角坐标系间直角坐标系 Dxyz. 当三棱锥当三棱锥 MABC 的体积最大时，的体积最大时，M 为的中为的中 CD 点由题设得点由题设得 D(0
3、,0,0)， A(2,0,0)，B(2,2,0)， C(0,2,0)，M(0,1,1)， (2，1,1)，(0,2,0)，(2,0,0)，AM AB DA 设 n设 n(x，y，z)是平面是平面 MAB 的法向量，的法向量， 则则Error!即即Error!可取 n可取 n(1,0,2)， 又是平面又是平面 MCD 的一个法向量，的一个法向量，DA 所以所以 cosn，sinn，n，.DA n n |n n| 5 5 DA 2 5 5 所以平面所以平面 MAB 与平面与平面 MCD 所成二面角的正弦值是所成二面角的正弦值是. 2 5 5 2.(2018唐山模拟唐山模拟)如图，在四棱锥如图，在四
4、棱锥 PABCD 中，中，PC底面底面 ABCD，底面，底面 ABCD 是直角梯形，是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD 2CD，E 是是 PB 的中点的中点 (1)求证：平面求证：平面 EAC平面平面 PBC； (2)若二面角若二面角 PACE 的余弦值为，求直线的余弦值为，求直线 PA 与平面与平面 EAC 所成角的正弦值所成角的正弦值 6 3 解：解：(1)证明：因为证明：因为 PC平面平面 ABCD，AC平面平面 ABCD，所以，所以 ACPC. 因为因为 AB2AD2CD， 所以所以 ACBCADCD，22 所以所以 AC2BC2AB2，故，故 ACBC. 又又 BCPCC，所
5、以，所以 AC平面平面 PBC. 因为因为 AC平面平面 EAC， 所以平面所以平面 EAC平面平面 PBC. (2)如图， 以如图， 以 C 为坐标原点，为坐标原点， ， 的方向分别为的方向分别为 x 轴，轴， y 轴，轴， z 轴的正方向，轴的正方向，CB CA CP 建立空间直角坐标系，并设建立空间直角坐标系，并设CB2，CP2a(a0)则则C(0,0,0)，A(0,2,0)，B(2,0,0)， P(0,0， 2a)， 则， 则 E(1,0，a)， (0,2,0)，(0,0,2a)， (1,0，a)，CA CP CE 易知 m易知 m(1,0,0)为平面为平面 PAC 的一个法向量的一个
6、法向量 设 n设 n(x，y，z)为平面为平面 EAC 的法向量，的法向量， 则则Error!即即Error! 取取 xa，则，则 z1，n，n(a,0，1) 依题意，依题意，|cosm，nm，n|， |m mn n| |m m| |n n| a a21 6 3 解得解得 a . 2 于是 n于是 n(，0，1)，(0,2，2)2PA 2 设直线设直线 PA 与平面与平面 EAC 所成角为所成角为 ， 则则 sin |cos，n，n|.PA |n n| |n n| 2 3 即直线即直线 PA 与平面与平面 EAC 所成角的正弦值为所成角的正弦值为. 2 3 3 (2018西安质检西安质检)如图
7、， 四棱柱如图， 四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面的底面 ABCD 是菱形，是菱形， ACBDO， A1O底面底面 ABCD，AB2，AA13. (1)证明：平面证明：平面 A1CO平面平面 BB1D1D； (2)若若BAD60，求二面角，求二面角 BOB1C 的余弦值的余弦值 解：解：(1)证明：证明：A1O平面平面 ABCD，BD平面平面 ABCD. A1OBD. 四边形四边形 ABCD 是菱形，是菱形， COBD. A1OCOO， BD平面平面 A1CO. BD平面平面 BB1D1D， 平面平面 A1CO平面平面 BB1D1D. (2)A1O平面平面 ABCD，COBD，OB，OC
8、，OA1两两垂直，以两两垂直，以 O 为坐标原点，为坐标原点，OB ，的方向为，的方向为 x 轴，轴，y 轴，轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系OC OA1 AB2，AA13，BAD60， OBOD1，OAOC，3 OA1.AA2 1OA26 则则 O(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0， ， ，0)，A(0，0)，A1(0,0，)，336 (1,0,0)，(0， ， ，)，OB BB1 AA1 36 (1， ， ，)，(0， ， ，0)OB1 OB BB1 36OC 3 设平面设平面 OBB1的法向量为的法向量为 n(x1，y1，z1)，
9、 则则Error!即即Error! 令令 y1，得 n，得 n(0， ， ，1)是平面是平面 OBB1的一个法向量的一个法向量22 设平面设平面 OCB1的法向量 m的法向量 m(x2，y2，z2)， 则则Error!即即Error! 令令 z21，得 m，得 m(，0，1)为平面为平面 OCB1的一个法向量，的一个法向量，6 cosn，m，n，m， n nmm |n n|m m| 1 3 7 21 21 由图可知二面角由图可知二面角 BOB1C 是锐二面角，是锐二面角， 二面角二面角 BOB1C 的余弦值为的余弦值为. 21 21 4 (2018长春质检长春质检)如图， 在四棱锥如图， 在四
10、棱锥 PABCD 中， 底面中， 底面 ABCD 为菱形，为菱形， PA平面平面 ABCD， E 为为 PD 的中点的中点 (1)证明：证明：PB平面平面 ACE； (2)设设 PA1，ABC60，三棱锥，三棱锥 EACD 的体积为，求二面角的体积为，求二面角 DAEC 的余弦值的余弦值 3 8 解：解：(1)证明：连接证明：连接 BD 交交 AC 于点于点 O，连接，连接 OE. 在在PBD 中，中，PEDE，BODO，所以，所以 PBOE. 又又 PB平面平面 ACE，OE平面平面 ACE，所以，所以 PB平面平面 ACE. (2)由题易知由题易知 VPABCD2VPACD4VEACD，
11、3 2 设菱形设菱形 ABCD 的边长为的边长为 a， 则则 VPABCD S ABCDPA 1， 1 3 1 3(2 3 4 a2) 3 2 解得解得 a . 3 取取 BC 的中点为的中点为 M，连接，连接 AM，则，则 AMA D.以点以点 A 为坐标原点，分别以，为坐标原点，分别以，AM ，的方向为，的方向为 x 轴，轴，y 轴，轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，AD AP 则则 A(0,0,0)，E，C， (0， ， 3 2 ， ，1 2) ( 3 2， ， 3 2 ， ，0) ，AE (0， ， 3 2 ， ，1 2) AC
12、 C ( 3 2， ， 3 2 ， ，0) 设设 n1(x，y，z)为平面为平面 AEC 的法向量，的法向量， 则则Error!即即Error! 取取 x1，则 n，则 n1(1，3)为平面为平面 AEC 的一个法向量的一个法向量3 又易知平面又易知平面 AED 的一个法向量为的一个法向量为 n2(1,0,0)， 所以所以 cosnn1，n，n2， n n1n n2 |n n1|n n2| 1 13 9 13 13 由图易知二面角由图易知二面角 DAEC 为锐二面角，为锐二面角， 所以二面角所以二面角 DAEC 的余弦值为的余弦值为. 13 13 5.(2018郑州质检郑州质检)如图，在三棱锥
13、如图，在三棱锥PABC中，平面中，平面PAB平面平面ABC，AB6，BC 2，AC2， D， E 分别为线段分别为线段 AB， BC 上的点，且上的点，且 AD2DB， CE2EB， PD36 AC. (1)求证：求证：PD平面平面 ABC； (2)若直线若直线 PA 与平面与平面 ABC 所成的角为所成的角为 45，求平面，求平面 PAC 与平面与平面 PDE 所成锐二面角的大小所成锐二面角的大小 解：解：(1)证明：证明：AC2，BC2，AB6，63 AC2BC2AB2，ACB90， cosABC. 2 3 6 3 3 易知易知 BD2， CD222(2)2222cosABC8，33 CD
14、2，易知，易知 AD4，2 CD2AD2AC2，CDAB. 平面平面 PAB平面平面 ABC，平面，平面 PAB平面平面 ABCAB，CD平面平面 PAB， CDPD， PDAC，ACCDC， PD平面平面 ABC. (2)由由(1)知知 PD，CD，AB 两两互相垂直，两两互相垂直， 可建立如图所示的空间直角坐标系可建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz， 直线直线 PA 与平面与平面 ABC 所成的角为所成的角为 45，即，即PAD45， PDAD4， 则则 A(0，4,0)，C(2，0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,4)，2 (2，2,0)，(2，4,0)，CB 2AC C 2 (
15、0，4，4)PA AD2DB，CE2EB，DEAC. 由由(1)知知 ACBC，DEBC， 又又 PD平面平面 ABC，PDBC， PDDED，CB平面平面 PDE， (2，2,0)为平面为平面 PDE 的一个法向量的一个法向量CB 2 设平面设平面 PAC 的法向量为的法向量为 n(x，y，z)， 则则Error!Error! 令令 z1，得，得 x，y1，2 nn(，1,1)为平面为平面 PAC 的一个法向量的一个法向量2 cosn，n，CB 42 4 12 3 2 平面平面 PAC 与平面与平面 PDE 所成的锐二面角的余弦值为，所成的锐二面角的余弦值为， 3 2 故平面故平面 PAC
16、与平面与平面 PDE 所成的锐二面角为所成的锐二面角为 30. 6 (2019 届高三届高三洛阳联考洛阳联考)如图如图 1， 在直角梯形， 在直角梯形 ABCD 中，中， ADBC， ABBC， BDDC， 点 ， 点 E 是是 BC 边的中点， 将边的中点， 将ABD 沿沿 BD 折起， 使平面折起， 使平面 ABD平面平面 BCD， 连接， 连接 AE， AC， DE， 得到如图 ， 得到如图 2 所示的几何体所示的几何体 (1)求证：求证：AB平面平面 ADC； (2)若若 AD1，二面角，二面角 CABD 的平面角的正切值为，求二面角的平面角的正切值为，求二面角 BADE 的余弦值的余
17、弦值6 解：解：(1)证明：因为平面证明：因为平面 ABD平面平面 BCD，平面，平面 ABD平面平面 BCDBD，BDDC，所 以 ，所 以 DC平面平面 ABD. 因为因为 AB平面平面 ABD，所以，所以 DCAB. 又因为又因为 ADAB，DCADD， 所以所以 AB平面平面 ADC. (2)由由(1)知知 AB平面平面 ADC，所以二面角，所以二面角 CABD 的平面角为的平面角为CAD. 又又 DC平面平面 ABD，AD平面平面 ABD，所以，所以 DCAD. 依题意依题意 tanCAD. CD AD 6 因为因为 AD1，所以，所以 CD . 6 设设 ABx(x0)，则，则 B
18、D.x21 依题意依题意ABDDCB，所以，即 ，所以，即 . AB AD CD BD x 1 6 x21 解得解得 x，故，故 AB，BD，BC3.223BD2CD2 法一：以法一：以 D 为坐标原点，为坐标原点，DB，DC 所在直线为所在直线为 x 轴，轴，y 轴建立如图所示的空间直角坐 标系 轴建立如图所示的空间直角坐 标系 Dxyz，则，则 D(0,0，0)，B(，0,0)，C(0， ， ，0)，E，A，36 ( 3 2 ， ， 6 2 ， ，0) (， ，0， ，) 所以，所以，.DE ( 3 2 ， ， 6 2 ， ，0)DA ( 3 3 ， ，0， ， 6 3) 由由(1)知平面
19、知平面 BAD 的一个法向量 n的一个法向量 n(0,1,0) 设平面设平面 ADE 的法向量为 m的法向量为 m(x，y，z)， 则则Error!即即Error! 令令 x，得，得 y1，z1，2 所以 m所以 m(，1，1)为平面为平面 ADE 的一个法向量的一个法向量2 所以所以 cosn，mn，m . n nmm |n n|m m| 1 2 由图可知二面角由图可知二面角 BADE 的平面角为锐角，的平面角为锐角， 所以二面角所以二面角 BADE 的余弦值为的余弦值为 . 1 2 法二：因为法二：因为 DC平面平面 ABD， 所以过点所以过点 E 作作 EFDC 交交 BD 于于 F，
20、则则 EF平面平面 ABD. 因为因为 AD平面平面 ABD，所以，所以 EFAD. 过点过点 F 作作 FGAD 于于 G，连接，连接 GE， 所以所以 AD平面平面 EFG，因此，因此 ADGE， 所以二面角所以二面角 BADE 的平面角为的平面角为EGF. 由平面几何的知识求得由平面几何的知识求得 EF CD， 1 2 6 2 FG AB， 1 2 2 2 所以所以 EG，EF2FG22 所以所以 cosEGF . FG EG 1 2 所以二面角所以二面角 BADE 的余弦值为的余弦值为 . 1 2 7.如图， 在四棱锥如图， 在四棱锥 PABCD 中， 侧面中， 侧面 PAD底面底面
21、ABCD， 底面， 底面 ABCD 是平行四边形， 是平行四边形， ABC45， ADAP2， ABDP2， E 为为 CD 的的2 中点， 点中点， 点 F 在线段在线段 PB 上上 (1)求证：求证：ADPC； (2)试确定点试确定点 F 的位置， 使得直线的位置， 使得直线 EF 与平面与平面 PDC 所成的角和直线所成的角和直线 EF 与平面与平面 ABCD 所所 成的角相等成的角相等 解：解：(1)证明：连接证明：连接 AC， 因为因为 AB2，BC2，ABC45，2 由余弦定理得，由余弦定理得， AC2AB2BC22ABBCcos 454， 得得 AC2， 所以所以 AC2BC2A
22、B2， 所以所以ACB90，即，即 BCAC. 又又 ADBC，所以，所以 ADAC， 因为因为 ADAP2，DP2，2 所以所以 AD2AP2DP2， 所以所以PAD90，即，即 PAAD， 又又 APACA，所以，所以 AD平面平面 PAC. 又又 PC平面平面 PAC，所以，所以 ADPC. (2)因为侧面因为侧面 PAD底面底面 ABCD，侧面，侧面 PAD底面底面 ABCDAD，PAAD，所以，所以 PA 底面 底面 ABCD，所以直线，所以直线 AC，AD，AP 两两互相垂直，以两两互相垂直，以 A 为坐标原点，直线为坐标原点，直线 AD，AC，AP 分别为分别为 x 轴，轴，y
23、轴，轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系轴建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz， 则 ， 则 A(0,0,0)， D(2,0,0)， C(0,2,0)， B(2,2,0)， E(1,1,0)， P(0,0,2)，所 以 ，所 以(0,2，2)，PC (2,0，2)，(2,2，2)PD PB 设设(0,1)， PF PB 则则(2，2，2)，F(2，2，22)，PF 所以所以(21,21，22)，EF 易得平面易得平面 ABCD 的一个法向量为 m的一个法向量为 m(0,0,1) 设平面设平面 PDC 的法向量为的法向量为 n(x，y，z)， 则则Error!即即Error! 令令 x1，得
24、 n，得 n(1，1，1) 因为直线因为直线 EF 与平面与平面 PDC 所成的角和直线所成的角和直线 EF 与平面与平面 ABCD 所成的角相等，所成的角相等， 所以所以|cos，m，m|cos，n，n|，EF EF 即，即， |m m | |m m| |n n | | n n | 所以所以|22|， | 2 3| 即即|1|(0,1)，3 解得解得 ，所以，所以. 3 3 2 PF PB 3 3 2 即当时，直线即当时，直线 EF 与平面与平面 PDC 所成的角和直线所成的角和直线 EF 与平面与平面 ABCD 所成的角所成的角 PF PB 3 3 2 相等相等 8. 如图， 如图，C是以
25、是以AB为直径的圆为直径的圆O上异于上异于A，B的点，平面的点，平面PAC平面平面ABC， PAPCAC2，BC4，E，F 分别是分别是 PC，PB 的中点，记平面的中点，记平面 AEF 与平面与平面 ABC 的交线为直线的交线为直线 l. (1)证明：直线证明：直线 l平面平面 PAC； (2)在直线在直线 l 上是否存在点上是否存在点Q， 使直线， 使直线 PQ分别与平面分别与平面 AEF， 直线， 直线 EF 所成的角互余？若存在，求出所成的角互余？若存在，求出 AQ的长；若不存在，请说明理由的长；若不存在，请说明理由 解：解：(1)证明：证明：E，F 分别是分别是 PC，PB 的中点，
26、的中点，BCEF， 又又 EF平面平面 EFA，BC平面平面 EFA， BC平面平面 EFA， 又又 BC平面平面 ABC，平面，平面 EFA平面平面 ABCl，BCl， 又又 BCAC，平面，平面 PAC平面平面 ABCAC， 平面平面 PAC平面平面 ABC， BC平面平面 PAC， l平面平面 PAC. (2)以以 C 为坐标原点，为坐标原点，CA 为为 x 轴，轴，CB 为为 y 轴，过轴，过 C 垂直于平 面 垂直于平 面ABC的直线为的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0,0， 0)， A(2， 0,0)， B(0,4,0)，
27、P(1,0，)，E，F.3 ( 1 2， ，0， ， 3 2) ( 1 2， ，2， ， 3 2) ，(0,2,0)，AE ( 3 2， ，0， ， 3 2) EF 设设Q(2，y,0)，平面，平面 AEF 的一个法向量为 m的一个法向量为 m(x，y，z)， 则则Error!即即Error! 取取 z，得 m，得 m(1,0，)33 又又(1，y，)，PQ 3 |cos，|，PQ EF |2y| 2 4 y2 |y| 4 y2 |cos，m，m|，PQ |1 3| 2 4 y2 1 4 y2 依题意，得依题意，得|cos，|cos，m ，m ，y1.PQ EF PQ 直线直线 l 上存在点上存在点Q，使直线，使直线 PQ分别与平面分别与平面 AEF，直线，直线 EF 所成的角互余，所成的角互余，AQ的长 为 的长 为 1.