2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版：专题跟踪检测（十三） 圆锥曲线的方程与性质含解析.pdf

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1、专题跟踪检测（十三）专题跟踪检测（十三） 圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的方程与性质 一、全练保分考法一、全练保分考法保大分保大分 1直线直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ，则的距离为其短轴长的 ，则 1 4 该椭圆的离心率为该椭圆的离心率为( ) A. B 1 3 1 2 C. D 2 3 3 4 解析：选解析：选 B 不妨设直线 不妨设直线 l 经过椭圆的一个顶点经过椭圆的一个顶点 B(0，b)和一个焦点和一个焦点 F(c,0)，则直线，则直线 l 的 方程为 的 方程为 1，即，即 bxcybc0.由题意

2、知 由题意知 2b，解得 ，即，解得 ，即 e .故选故选 B x c y b | bc| b2c2 1 4 c a 1 2 1 2 2(2019 届高三届高三湖南长郡中学模拟湖南长郡中学模拟)已知已知 F 为双曲线为双曲线 C：1(a0，b0)的一个焦的一个焦 x2 a2 y2 b2 点， 其关于双曲线点， 其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上， 则双曲线的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上， 则双曲线C的离心率为的离心率为( ) A. B23 C2 D 5 解析 ： 选解析 ： 选 C 依题意， 设双曲线的渐近线 依题意， 设双曲线的渐近线 y x 的倾斜角为的倾斜角为 ，

3、则有， 则有 3， ， ， tan b a 3 b a ，双曲线，双曲线 C 的离心率的离心率 e 2. 3 31(b a) 2 3 (2019 届高三届高三南宁、 柳州名校联考南宁、 柳州名校联考)已知双曲线 已知双曲线 1(b0)的一个焦点与抛物线的一个焦点与抛物线 y2 x2 3 y2 b 8x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( ) Ay x Byx 1 3 3 3 Cy3x Dyx3 解析：选解析：选 B 由题意知，抛物线的焦点是 由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线 ，即双曲线 1 的一个焦点坐标是的一个焦点坐标是 x2 3 y2 b

4、 (2,0)，则，则 c2，且双曲线的焦点在，且双曲线的焦点在 x 轴上，所以轴上，所以 3b22，即，即 b1，于是双曲线的渐近线 方程为 ，于是双曲线的渐近线 方程为 yx. 3 3 4(2018昆明调研昆明调研)过抛物线过抛物线 C：y22px(p0)的焦点的焦点 F 且倾斜角为锐角的直线且倾斜角为锐角的直线 l 与与 C 交于交于 A， B 两点， 过线段两点， 过线段 AB 的中点的中点 N 且垂直于且垂直于 l 的直线与的直线与 C 的准线交于点的准线交于点 M， 若， 若|MN|AB|， 则 ， 则 l 的倾斜角为的倾斜角为( ) A15 B30 C45 D60 解析：选解析：选

5、 B 分别过 分别过 A，B，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为作抛物线的准线的垂线，垂足分别为 A，B，Q，由，由 抛物线的定义知抛物线的定义知|AF|AA|，|BF|BB|，|NQ| (|AA|BB|) |AB|，因为，因为|MN| 1 2 1 2 |AB|，所以，所以|NQ| |MN|，所以，所以MNQ60，即直线，即直线 MN 的倾斜角为的倾斜角为 120，又直线，又直线 MN 与与 1 2 直线直线 l 垂直且直线垂直且直线 l 的倾斜角为锐角，所以直线的倾斜角为锐角，所以直线 l 的倾斜角为的倾斜角为 30. 5(2018南昌模拟南昌模拟)已知已知 F1，F2是椭圆和双曲线的公共

6、焦点，是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点， 且 是它们的一个公共点， 且F1PF2 ，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为 ，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( ) 4 A. B 1 2 2 2 C1 D 2 解析 ： 选解析 ： 选 B 如图，设 如图，设 F1，F2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的点， 椭圆的长半轴长为是第一象限的点， 椭圆的长半轴长为 a1， 双曲线的实半轴长为， 双曲线的实半轴长为 a2， 则根据椭 圆及双曲线的定义得 ， 则根据椭 圆及双曲线的定义得|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，|

7、PF1|a1 a2，|PF2|a1a2.设设|F1F2|2c，又，又F1PF2 ，则在 ，则在PF1F2中，由余弦定理得，中，由余弦定理得，4c2 4 (a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos ， 化简得， 化简得(2)a (2)a 4c2，设椭圆的，设椭圆的 4 2 2 1 2 2 2 离心率为离心率为 e1，双曲线的离心率为，双曲线的离心率为 e2，4， 2 2 e2 1 2 2 e2 2 又又2， 2 2 e2 1 2 2 e2 2 2 2 e2 1 2 2 e2 2 2 2 e1e2 4，即，即 e1e2， 2 2 e1e2 2 2 椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值

8、为椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为. 2 2 6(2018长春质检长春质检)已知已知 O 为坐标原点，设为坐标原点，设 F1，F2分别是双曲线分别是双曲线 x2y21 的左、右焦 点， 的左、右焦 点， P 为双曲线上任意一点， 过点为双曲线上任意一点， 过点 F1作作F1PF2的平分线的垂线， 垂足为的平分线的垂线， 垂足为 H， 则， 则|OH|( ) A1 B2 C4 D1 2 解析：选解析：选 A 不妨设 不妨设 P 在双曲线的左支，如图，延长在双曲线的左支，如图，延长 F1H 交交 PF2 于点于点 M，由于，由于 PH 既是既是F1PF2的平分线又垂直于的平分线又垂直于 F1M，

9、故，故PF1M 为 等腰三角形， 为 等腰三角形，|PF1|PM|且且H为为F1M的中点，所以的中点，所以OH为为MF1F2的中位 线，所以 的中位 线，所以|OH| |MF2| (|PF2|PM|) (|PF2|PF1|)1. 1 2 1 2 1 2 7已知椭圆已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 ，的中心在坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点与抛物线的右焦点与抛物线 C：y28x 的焦的焦 1 2 点重合，点重合，A，B 是是 C 的准线与的准线与 E 的两个交点，则的两个交点，则|AB|_. 解析 ： 抛物线解析 ： 抛物线C： y28x的焦点坐标为的焦点坐标为(2,0)， 准线方程为

10、， 准线方程为x2.从而椭圆从而椭圆E的半焦距的半焦距c2. 可设椭圆可设椭圆 E 的方程为的方程为1(ab0)， 因为离心率， 因为离心率 e ， 所以 ， 所以 a4， 所以， 所以 b2a2c212. x2 a2 y2 b2 c a 1 2 由题意知由题意知|AB|26. 2b2 a 12 4 答案：答案：6 8 (2018南宁模拟南宁模拟)已知椭圆已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是的一条弦所在的直线方程是 xy50， x2 a2 y2 b2 弦的中点坐标是弦的中点坐标是 M(4，1)，则椭圆的离心率是，则椭圆的离心率是_ 解析：设直线解析：设直线 xy50 与椭圆与椭圆1 相

11、交于相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，两点， x2 a2 y2 b2 因为因为 AB 的中点的中点 M(4,1)， 所以所以 x1x28，y1y22. 易知直线易知直线 AB 的斜率的斜率 k1. y2y1 x2x1 由由Error!两式相减得，两式相减得， 0， x 1 x2 x 1 x2 a2 y 1 y2 y 1 y2 b2 所以所以，所以 ，所以 ， y1y2 x1x2 b2 a2 x1x2 y1y2 b2 a2 1 4 于是椭圆的离心率于是椭圆的离心率 e . c a 1b 2 a2 3 2 答案：答案： 3 2 9(2019 届高三届高三惠州调研惠州调研)已知已知 F

12、1，F2是双曲线是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，过的两个焦点，过 y2 a2 x2 b2 其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点，若点 M 在 以线段 在 以线段 F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是_ 解析 ： 如图， 不妨设解析 ： 如图， 不妨设 F1(0， c)， F2(0， ， c)， 则过点， 则过点 F1与渐近线与渐近线 y x a b 平行的直线为平行的直线为 y xc， 联立， 联立Error! a b 解得解得Err

13、or!即即M.因为点因为点M在以线段在以线段F1F2为直径的圆为直径的圆x2 ( bc 2a， ， c 2) y2c2内， 故内， 故 2 2b0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1，F2， x2 a2 y2 b2 上顶点为上顶点为 B，若，若BF1F2的周长为的周长为 6，且点，且点 F1到直线到直线 BF2的距离为的距离为B (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)设设 A1，A2是椭圆是椭圆 C 长轴的两个端点，长轴的两个端点，P 是椭圆是椭圆 C 上不同于上不同于 A1，A2的任意一点，直 线 的任意一点，直 线 A1P 交直线交直线 xm 于点于点 M，若以，若以 M

14、P 为直径的圆过点为直径的圆过点 A2，求实数，求实数 m 的值的值 解：解：(1)由题意得由题意得 F1(c,0)，F2(c,0)，B(0，b)， 则则 2a2c6. 直线直线 BF2的方程为的方程为 bxcybc0， 所以所以b，即，即 2ca. |bc bc| c2b2 又又 a2b2c2， 所以由可得所以由可得 a2，b，3 所以椭圆所以椭圆 C 的方程为 的方程为 1. x2 4 y2 3 (2)不妨设不妨设 A1(2,0)，A2(2,0)，P(x0，y0)， 则直线则直线 A1P 的方程为的方程为 y(x2)， y0 x02 所以所以 M. (m， ， y0 x02 m 2 ) 又

15、点又点 P 在椭圆在椭圆 C 上，所以上，所以 y 3. 2 0 (1 x 2 0 4) 若以若以 MP 为直径的圆过点为直径的圆过点 A2，则，则 A2MA2P， 即即0，A2M A2P 所以所以(x02，y0) (m 2， ， y0 x02 m 2 ) (m2)(x02)(m2) y2 0 x02 (m2)(x02)(m2) 3(1x 2 0 4) x02 (x02)0. ( 1 4m 7 2) 又点又点 P 不同于点不同于点 A1，A2，所以，所以 x02， 所以所以 m 0，解得，解得 m14. 1 4 7 2 11(2018唐山模拟唐山模拟)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中，长为

16、中，长为1 的线段的两端点的线段的两端点 C，D 分别在分别在 x2 轴、轴、y 轴上滑动，轴上滑动， .记点记点 P 的轨迹为曲线的轨迹为曲线 E.CP 2 PD (1)求曲线求曲线 E 的方程；的方程； (2)经过点经过点(0,1)作直线与曲线作直线与曲线 E 相交于相交于 A， B 两点， 当点两点， 当点 M 在曲线在曲线 EOM OA OB 上时，求四边形上时，求四边形 AOBM 的面积的面积 解：解：(1)设设 C(m,0)，D(0，n)，P(x，y) 由由 ，得，得(xm，y)(x，ny)，CP 2 PD 2 所以所以Error!得得Error! 由由| |1，得，得 m2n2(

17、1)2，CD 22 所以所以(1)2x2y2(1)2，2 2 1 2 2 2 整理，得曲线整理，得曲线 E 的方程为的方程为 x2 1. y2 2 (2)设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由，知点由，知点 M 坐标为坐标为(x1x2，y1y2)OM OA OB 由题意知，直线由题意知，直线 AB 的斜率存在的斜率存在 设直线设直线 AB 的方程为的方程为 ykx1， 代入曲线代入曲线 E 的方程，得的方程，得(k22)x22kx10， 则则 x1x2，x1x2. 2k k22 1 k22 y1y2k(x1x2)2. 4 k22 由点由点 M 在曲线在曲线 E 上，知上，知(x1x2)

18、21， y 1 y2 2 2 即即1， 4k2 k 2 2 2 8 k 2 2 2 解得解得 k22. 所以所以|AB|x1x2|1k2 ，3 x1x2 24x1x2 3 2 2 又原点到直线又原点到直线 AB 的距离的距离 d， 1 1 k2 3 3 所以平行四边形所以平行四边形 OAMB 的面积的面积 S|AB|d. 6 2 12 (2019 届高三届高三洛阳第一次统考洛阳第一次统考)已知短轴长为已知短轴长为 2 的椭圆的椭圆 E：1(ab0)， 直线， 直线 n x2 a2 y2 b2 的横、纵截距分别为的横、纵截距分别为 a，1，且原点，且原点 O 到直线到直线 n 的距离为的距离为.

19、 3 2 (1)求椭圆求椭圆 E 的方程；的方程； (2)直线直线 l 经过椭圆经过椭圆 E 的右焦点的右焦点 F 且与椭圆且与椭圆 E 交于交于 A，B 两点，若椭圆两点，若椭圆 E 上存在一点上存在一点 C 满足满足 2 0，求直线，求直线 l 的方程的方程OA 3 OB OC 解：解：(1)椭圆椭圆 E 的短轴长为的短轴长为 2，b1. 依题意设直线依题意设直线 n 的方程为 的方程为 y1， x a 由，解得由，解得 a， 1 1 a2 1 3 2 3 故椭圆故椭圆 E 的方程为的方程为y21. x2 3 (2)设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 当直线当直线

20、 l 的斜率为的斜率为 0 时，显然不符合题意时，显然不符合题意 当直线当直线 l 的斜率不为的斜率不为 0 或直线或直线 l 的斜率不存在时，的斜率不存在时，F(，0)，设直线，设直线 l 的方程为的方程为 xty2 ，2 由由Error!消去消去 x，得，得(t23)y22ty10，2 y1y2，y1y2， 2 2t t23 1 t23 20，OA 3 OB OC x3 x1x2，y3 y1y2， 1 2 3 2 1 2 3 2 又点又点 C 在椭圆在椭圆 E 上，上， y 2 2 1， x2 3 3 2 3 1 3( 1 2x 1 3 2 x2) ( 1 2y 1 3 2 y2) 1 4

21、( x2 1 3 y2 1) 3 4( x2 2 3 y2 2) 3 2( 1 3x 1x2 y1y2) 又又y 1，y 1， x2 1 3 2 1 x2 2 3 2 2 x1x2y1y20， 1 3 将将 x1ty1，x2ty2及代入得及代入得 t21，22 即即 t1 或或 t1. 故直线故直线 l 的方程为的方程为 xy0 或或 xy0.22 二、强化压轴考法二、强化压轴考法拉开分拉开分 1(2018全国卷全国卷)设设 F1，F2是双曲线是双曲线 C：1(a0，b0)的左、右焦点，的左、右焦点，O 是坐是坐 x2 a2 y2 b2 标原点 过标原点 过 F2作作 C 的一条渐近线的垂线，

22、 垂足为的一条渐近线的垂线， 垂足为 P.若若|PF1|OP|， 则， 则 C 的离心率为的离心率为( )6 A. B25 C. D32 解析：选解析：选 C 法一：不妨设一条渐近线的方程为 法一：不妨设一条渐近线的方程为 y x， b a 则则 F2到到 y x 的距离的距离 db. b a |bc| a2b2 在在 RtF2PO 中，中，|F2O|c， 所以所以|PO|a，所以，所以|PF1|a，6 又又|F1O|c，所以在，所以在F1PO 与与 RtF2PO 中，中， 根据余弦定理得根据余弦定理得 cosPOF1cosPOF2 ， ， a2c2 6a 2 2ac a c 即即 3a2c2

23、(a)20，得，得 3a2c2，所以，所以 e .6 c a 3 法二：如图，过点法二：如图，过点 F1向向 OP 的反向延长线作垂线，垂足为的反向延长线作垂线，垂足为 P， 连 接 ， 连 接PF2，由题意 可知， 四边形，由题意 可知， 四边形PF1PF2为平行四边形， 且为平行四边形， 且PPF2是直 角三角形因为 是直 角三角形因为|F2P|b， |F2O|c， 所以， 所以|OP|a. 又又|PF1|a|F2P|， |PP|2a， 所以， 所以|F2P|ab， 所以， 所以 c62 a， 所以， 所以 e .a2b23 c a 3 2 (2018合肥质检合肥质检)已知椭圆已知椭圆 M

24、：y21， 圆， 圆 C： x2y26a2在第一象限有公共点在第一象限有公共点 P， x2 a2 设圆设圆C在点在点P处的切线斜率为处的切线斜率为k1， 椭圆， 椭圆M在点在点P处的切线斜率为处的切线斜率为k2， 则的取值范围为， 则的取值范围为( ) k1 k2 A(1,6) B(1,5) C(3,6) D(3,5) 解析：选解析：选 D 由于椭圆 由于椭圆 M：y21，圆，圆 C：x2y26a2在第一象限有公共点在第一象限有公共点 P， x2 a2 所以所以Error!解得解得 30， b0)， 则， 则 c2.由由 a2b2c2， 得， 得 b243 x2 a2 y2 b2 a2，当，当

25、 x1 时，时，y2a25.要使双曲线与线段要使双曲线与线段 CD(包括端点包括端点 C，D)有两个交点，则有两个交点，则 a2 4 a2 53， 解得， 解得 a242或或 0a242， 由， 由 a242得得 a12， 舍去， ， 舍去， a24 4 a2 3333 2，即，即 0a1.双曲线的离心率双曲线的离心率 e 1.即该双曲线的离心率的取即该双曲线的离心率的取33 c a 2 31 3 值范围是值范围是1，)3 答案：答案：1，)3 6(2018洛阳统考洛阳统考)已知已知 F1，F2分别为双曲线分别为双曲线 C：1(a0，b0)的左、右焦点，的左、右焦点， x2 a2 y2 b2

26、P(x0， y0)是双曲线是双曲线 C 右支上的一点， 连接右支上的一点， 连接 PF1并过并过 F1作垂直于作垂直于 PF1的直线交双曲线左支于的直线交双曲线左支于 R， Q，其中，其中 R(x0，y0)，QF1P 为等腰三角形，则双曲线为等腰三角形，则双曲线 C 的离心率为的离心率为_ 解析：设解析：设 O 为坐标原点，连接为坐标原点，连接 OP，OR，F2P，F2R， 因为因为 P，R 关于原点对称，所以关于原点对称，所以|OP|OR|， 又又|OF1|OF2|，PF1RQ， 故四边形故四边形 F1RF2P 为矩形为矩形 设设|PF1|m，由双曲线的定义，得，由双曲线的定义，得|PF2|

27、m2a. 法一：因为法一：因为QF1P 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， 所以所以|QF1|PF1|m，|PQ|m，2 连接连接 QF2，则，则|QF2|m2a. 在在QPF2中，中，QPF24590135， 由余弦定理得由余弦定理得(m2a)2(m2a)2(m)22(m2a)mcos 135，化简得，化简得 m3a.22 在在 RtF1PF2中，中，|PF1|3a，|PF2|a，|F1F2|2c， 所以所以(3a)2a2(2c)2，即，即 5a22c2， ， ， c a 10 2 即双曲线的离心率为即双曲线的离心率为. 10 2 法二：因为法二：因为QF1P 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， 所以所以|QF1|PF1|m，连接，连接 QF2， 则在则在 RtQRF2中，中，|RQ|2m2a， |RF2|m，|QF2|m2a， 由勾股定理得由勾股定理得(2m2a)2m2(m2a)2， 化简得化简得 m3a. 在在 RtF1PF2中，中，|PF1|3a，|PF2|a，|F1F2|2c， 所以所以(3a)2a2(2c)2，即，即 5a22c2， ， ， c a 10 2 即双曲线的离心率为即双曲线的离心率为. 10 2 答案：答案： 10 2