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1、专题跟踪检测（八） 数 列专题跟踪检测（八） 数 列 一、全练保分考法保大分 1已知等差数列的前 3 项依次为a，a2,3a，前n项和为Sn，且Sk110，则k的值 为( ) A9 B11 C10 D12 解析 ： 选 C 由a，a2,3a成等差数列，得公差为 2，且 2(a2)a3a，解得a2， 所以Sk2k2k2k110，解得k10 或k11(舍去) kk1 2 2(2018云南模拟)已知数列an是等差数列，若a11，a33，a55 依次构成公比 为q的等比数列，则q( ) A2 B1 C1 D2 解析 ： 选 C 依题意， 注意到 2a3a1a5,2a36a1a56， 即有 2(a33)
2、(a11) (a55)， 即a11，a33，a55 成等差数列； 又a11，a33，a55 依次构成公比为q的等比数列， 因此有a11a33a55(若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列是一个 非零的常数列)，q1. a33 a11 3中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步 不为难次日脚痛减一半，六朝方得至其关要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思 是 “有一个人走 378 里， 第一天健步行走， 从第二天起脚痛， 每天走的路程是前一天的一半， 走了 6 天后到达目的地”则第三天走了( ) A60 里 B48 里 C36 里 D24 里 解析：选 B 由题意
3、得每天走的路程构成等比数列an，其中q ，S6378，则S6 1 2 378，解得a1192，所以a3192 48. a1(1 1 26) 11 2 1 4 4已知递减的等差数列an中，a31，a1，a4，a6成等比数列若Sn为数列an 的前n项和，则S7的值为( ) A14 B9 C5 D1 解析 ： 选 A 设数列an的公差为d，由题可知d0.由a2a41， 得a1， a3 2 3 1.S37，a1a2a3 17，即 6q2q10，解得q 或q (舍 1 q2 1 q 1 2 1 3 去)故q . 1 2 答案：1 2 8 在各项均为正数的等比数列an中，am1am12am(m2)， 数列
4、an的前n项积为Tn. 若T2m1512，则m的值为_ 解析 ： 由等比数列的性质， 得am1am1a2am.又数列an的各项均为正数， 所以am2. 2m 又T2m1(am)2m122m1512，所以 2m19，所以m5. 答案：5 9设数列an的前n项和为Sn，且a11，anan1(nN*)，则S2n1_. 1 2n 解析 ： 因为a11，anan1(nN*)， 所以S2n1a1(a2a3)(a2n2a2n1) 1 2n 1. 1 22 1 24 1 22n2 1(1 4) n 11 4 4 31 n 答案： 4 31 n 10(2018成都模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，a23，
5、S416，nN*. (1)求数列an的通项公式； (2)设bn，求数列bn的前n项和Tn. 1 anan1 解：(1)设数列an的公差为d， a23，S416， a1d3,4a16d16， 解得a11，d2. an2n1. (2)由题意，bn， 1 2n12n1 1 2( 1 2n1 1 2n1) Tnb1b2bn 1 2 1 2(1 1 2n1) . n 2n1 11 (2019 届高三南宁二中、 柳州高中联考)已知a12，a24， 数列bn满足 ：bn12bn 2 且an1anbn. (1)求证：数列bn2是等比数列； (2)求数列an的通项公式 解：(1)证明：由题知，2， bn12 b
6、n2 2bn22 bn2 b1a2a1422，b124， 数列bn2是以 4 为首项，2 为公比的等比数列 (2)由(1)可得，bn242n1，故bn2n12. an1anbn， a2a1b1， a3a2b2， a4a3b3， anan1bn1. 累加得，ana1b1b2b3bn1(n2)， an2(222)(232)(242)(2n2) 2(n1) 212n 12 2n12n， 故an2n12n(n2) a12 符合上式， 数列an的通项公式为an2n12n(nN*) 12 已知数列an是等差数列，a26， 前n项和为Sn， bn是等比数列，b22，a1b312，S3 b119. (1)求a
7、n，bn的通项公式； (2)求数列bncos(an)的前n项和Tn. 解：(1)数列an是等差数列，a26， S3b13a2b118b119，b11， b22，数列bn是等比数列，bn2n1. b34，a1b312，a13， a26，数列an是等差数列， an3n. (2)由(1)得，令Cnbncos(an)(1)n2n1， Cn1(1)n12n， 2，又C11， Cn1 Cn 数列bncos(an)是以1 为首项，2 为公比的等比数列， Tn 1(2)n 1 12n 12 1 3 二、强化压轴考法拉开分 1已知数列an的前n项和为Sn，且a12，Sn14an2，则a12( ) A20 480
8、 B49 152 C60 152 D89 150 解析 ： 选 B 由S24a12， 得a1a24a12， 联立a12， 解得a28.又an2Sn2Sn 14an14an， an22an12(an12an)， 数列an12an是以a22a14 为首项， 以 2 为公比的等比数列，an12an42n12n1，1，1， an12an 2n1 an1 2n1 an 2n 数列是以1 为首项， 以 1 为公差的等差数列， 1(n1)n， ann2n， a12 an 2n a1 2 an 2n 1221249 152. 2已知a11，ann(an1an)(nN*)，则数列an的通项公式是( ) A2n1
9、 B. n1 ( n1 n) Cn2 Dn 解析 ： 选D 因为ann(an1an)nan1nan， 所以nan1(n1)an， 所以， an1 an n1 n 所以ana1 1n. an an1 an1 an2 a2 a1 n n1 n1 n2 2 1 3 (2018郑州模拟)已知数列an满足a11， |an1an|.若a2n1a2n1， 1 nn2 a2n20，a2n2a2na2n2a2n， 所以a2n1a2n2a2n1a2n. 而|a2n1a2n2|， 1 2n12n3 |a2n1a2n|， 1 2n12n1 即|a2n1a2n2|0. 由题意得Error! 所以 3q25q20. 因为q0，所以q2，x11， 因此数列xn的通项公式为xn2n1. (2)过P1，P2，Pn1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Qn1. 由(1)得xn1xn2n2n12n1， 记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn， 由题意得bn2n1(2n1)2n2， nn1 2 所以Tnb1b2bn 321520721(2n1)2n3(2n1)2n2. 又 2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1. 得 Tn321(2222n1)(2n1)2n1 (2n1)2n1. 3 2 212n1 12 所以Tn. 2n1 2n1 2