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1、“212”压轴满分练(四)“212”压轴满分练(四) 1已知函数f(x) 1nln x(m0,0ne)在区间1，e内有唯一零点，则的 m x n2 m1 取值范围为( ) A. B. ，1，1 C. D ，11，1 解析 ： 选 A f(x) ， 当n0 时，f(x)0， 当 0ne 时， m x2 n x mnx x2 m x2 令f(x)0， 则x 0， 所以函数f(x)在1， e上单调递减， 由函数f(x)在区间1， e m n 内有唯一零点， 得Error!即Error!即Error! 或Error!即Error!又m0,0ne， 所以Error!(1)或Error!(2) 所以m，n
2、满足的可行域如图(1)或图(2)中的阴影部分所示，则表示 n2 m1 n2 m1 点(m，n)与点(1，2)所在直线的斜率， 当m，n满足不等式组(1)时，的最大值在点(1，e)处取得，为 1， n2 m1 e2 11 e 2 当m，n满足不等式组(2)时，的最小值在A点处取得，根据Error!得Error!所以最 n2 m1 小值为，故选 A. e2 e2e1 2已知P为双曲线C：1(a0，b0)右支上的任意一点，经过点P的直线与 x2 a2 y2 b2 双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标 原点，当时，AOB的面积为 2b，则双曲线C的实轴长为(
3、 )AP 1 2 PB A. B. 32 9 16 9 C. D. 8 9 4 9 解析：选 A 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)， 由，AP 1 2 PB 得(xx1，yy1) (x2x，y2y)， 1 2 则xx1x2，yy1y2， 2 3 1 3 2 3 1 3 所以1. ( 2 3x 11 3x 2)2 a2 ( 2 3y 11 3y 2)2 b2 易知点A在直线yx上，点B在直线yx上， b a b a 则y1x1，y2x2， b a b a 所以1， ( 2 3x 11 3x 2)2 a2 ( 2b 3ax 1 b 3ax 2)2 b2 即b2 2a22a2b2，
4、 ( 2 3x 11 3x 2) ( 2b 3ax 1 b 3ax 2) 化简可得a2x1x2. 8 9 由渐近线的对称性可得 sinAOBsin 2AOx 2sinAOxcosAOx sin2AOxcos2AOx 2tanAOx tan2AOx1 ， 2b a ( b a) 21 2ab b2a2 所以AOB的面积为 |OA|OB|sinAOBsinAOB 1 2 1 2 x2 1y2 1x2 2y2 2 1 2 x2 1(b ax 1)2 x2 2(b ax 2)2 2ab b2a2 x1x2 1(b a) 2 1(b a) 2 ab b2a2 a2 9 8 ab b2a21( b a)
5、2 a2ab2b， 9 8 ab b2a2 b2a2 a2 9 8 得a，所以双曲线C的实轴长为. 16 9 32 9 3 已知数列an共16项， 且a11，a84.记关于x的函数fn(x)x3anx2(a1)x，n 1 3 2n N*.若xan1(1n15)是函数fn(x)的极值点，且曲线yf8(x)在点(a16，f8(a16)处的 切线的斜率为 15，则满足条件的数列an的个数为_ 解析 ：fn(x)x22anxa1x(an1)x(an1)， 令fn(x)0， 得xan 2n 1 或xan 1， 所 以an 1an 1或an 1an 1(1n15)， 所 以 |an 1an| 1(1n15
6、)，又f8(x)x28x15，所以a8a161515，解得a160 或a168， 2 16 当a160 时，a8a1(a2a1)(a3a2)(a8a7)3， 得ai1ai(1i7，iN*)的值有 2 个为1,5 个为 1； 由a16a8(a9a8)(a10a9)(a16a15)4， 得ai1ai(8i15，iN*)的值有 6 个为1,2 个为 1. 所以此时数列an的个数为 C C 588， 2 7 2 8 同理可得当a168 时，数列an的个数为 C C 588. 2 7 2 8 综上，数列an的个数为 2C C 1 176. 2 7 2 8 答案： 1 176 4已知椭圆C：1(ab0)的
7、左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，离心率 x2 a2 y2 b2 为，点B是椭圆上的动点，ABF1面积的最大值为. 2 2 21 2 (1)求椭圆C的方程； (2)设经过点F1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，线段MN的中垂线为l.若 直线l与直线l相交于点P，与直线x2 相交于点Q，求的最小值 |PQ| |MN| 解：(1)由已知得e ，即a22c2. c a 2 2 a2b2c2，bc. 设B点的纵坐标为y0(y00)， 则SABF1 (ac)|y0| (ac)b， 1 2 1 2 21 2 即(bb)b1，b1，a.222 椭圆C的方程为y21. x2 2 (2)由(1)可知
8、F1(1,0)， 由题意知直线l的斜率不为 0，故设直线l：xmy1， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(xP，yP)，Q(2，yQ) 联立，得Error!消去x， 得(m22)y22my10， 此时 8(m21)0， y1y2，y1y2. 2m m22 1 m22 由弦长公式，得|MN|y1y2|1m2 2.1m2 4m24m28 m22 2 m21 m22 又yP，xPmyP1， y1y2 2 m m22 2 m22 |PQ|xP2|，1m21m2 2m26 m22 （）2， |PQ| |MN| 2m26 2 2 m21 2 2 m23 m21 2 2 m21 2 m21 当且仅当
9、，即m1 时等号成立，m21 2 m21 当m1，即直线l的斜率为1 时，取得最小值 2. |PQ| |MN| 5已知函数f(x)xln xax1，aR. (1)当x0 时，若关于x的不等式f(x)0 恒成立，求a的取值范围； (2)当nN*时，证明：(ln 2)2 22 . n 2n4(ln 3 2)(ln n1 n) n n1 解：(1)由f(x)0，得xln xax10(x0)， 即aln x 恒成立，即a min. 1 x(ln x 1 x) 令F(x)ln x (x0)，则F(x) ， 1 x 1 x 1 x2 x1 x2 函数F(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，
10、函数F(x)ln x 的最小值为F(1)1， 1 x a1，即a1， a的取值范围是1，) (2)证明：为数列的前n项和，为数列的 n 2n4 1 n1n2 n n1 1 nn1 前n项和， 只需证明 2 即可 1 n1n2(ln n1 n) 1 nn1 由(1)知，当a1 时，xln xx10，即 ln x1 ， 1 x 令x1，得 ln 1， n1 n n1 n n n1 1 n1 22 . (ln n1 n)( 1 n1) 1 n1n2 现证明 2 ， (ln n1 n) 1 nn1 即 2ln .(*) n1 n 1 n n1 n1n n n1 n1 n n n1 现证明 2ln xx (x1)， 1 x 构造函数G(x)x 2ln x(x1)， 1 x 则G(x)1 0， 1 x2 2 x x22x1 x2 函数G(x)在(1，)上是增函数， 即G(x)G(1)0， 即 2ln xx 成立 1 x 令x ，则(*)式成立 n1 n 综上，得 2 . 1 n1n2(ln n1 n) 1 nn1 对数列，分别求前n项和， 得(ln 1 n1n2(ln n1 n) 2 1 nn1 n 2n4 2)2 22 . (ln 3 2)(ln n1 n) n n1