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1、专题十八 不等式选讲专题十八 不等式选讲 卷卷卷 2018 含绝对值不等式的解法及 绝对值不等式恒成立问题 含绝对值不等式的解法及绝 对值不等式恒成立问题 含绝对值函数的图象 与绝对值不等式恒成 立问题 2017 含绝对值不等式的解法、求 参数的取值范围 基本不等式的应用、一些常 用的变形及证明不等式的方 法 含绝对值不等式的解 法、函数最值的求解 2016 含绝对值不等式的解法、分 段函数的图象及应用 含绝对值不等式的解法、比 较法证明不等式及应用 含绝对值不等式的解 法、绝对值不等式的 性质 纵向把 握趋势 考题主要涉及绝对值不等 式的解法及绝对值不等式 的恒成立问题、由不等式的 解集求参
2、问题预计 2019 年仍以考查绝对值不等式 的解法为主，同时兼顾最值 或恒成立问题的考查 考题涉及绝对值不等式的解 法、绝对值不等式的恒成立 问题以及不等式的证明，难 度适中 预计 2019 年会考查 含绝对值不等式的解法、不 等式的证明问题 考题涉及绝对值不等 式的解法、绝对值不 等式的恒成立问题、 函数最值的求解，难 度适中 预计 2019 年 仍会考查绝对值不等 式的解法，同时要关 注不等式的证明问题 横向把 握重点 1.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等 式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综 合问题的求解 2.此部分命
3、题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思 想的应用. 含绝对值不等式的解法 由题知法 (2018福州模拟)设函数f (x)|x1|，xR.典例 (1)求不等式f (x)3f (x1)的解集； (2)已知关于x的不等式f (x)f (x1)|xa|的解集为M，若M，求实数a (1， 3 2) 的取值范围 解 (1)因为f (x)3f (x1)， 所以|x1|3|x2|x1|x2|3Error!或Error!或Error! 解得 0xa(a0)f (x)a或f (x)0)a0)，|xa|xb|c(或c)(c0)型不等式，可 通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解 零点分
4、区间法求解绝对值不等式的一般步骤： ()令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； ()将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间； ()由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； ()取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集 利用绝对值的几何意义求解绝对值不等式的方法： 由于|xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点 的距离之和与距离之差， 因此对形如|xa|xb|c(c0)或|xa|xb|c(c0)的 不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观 应用通关 1(2018全国卷)已知f (x)|x1|ax1|. (1)当a1 时，求不等式
5、f (x)1 的解集； (2)若x(0,1)时不等式f (x)x成立，求a的取值范围 解：(1)当a1 时，f (x)|x1|x1|， 即f (x)Error! 故不等式f (x)1 的解集为. x x 1 2 (2)当x(0,1)时|x1|ax1|x成立等价于当x(0,1)时|ax1|0，则|ax1|(|2x1|2x1|)min即可 由于|2x1|2x1|12x|2x1|12x(2x1)|2， 当且仅当(12x)(2x1)0，即x时等号成立，故m2. 1 2， 1 2 所以m的取值范围是(2，) 不等式的证明 由题知法 1含有绝对值的不等式的性质 |a|b|ab|a|b|. 2算术几何平均不
6、等式 定理 1：设a，bR，则a2b22ab.当且仅当ab时，等号成立 定理 2：如果a，b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立 ab 2 ab 定理 3：如果a，b，c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立 abc 3 3 abc 定理 4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1，a2，an为n个正数，则 ，当且仅当a1a2an时，等号成立 a1a2an n n a1a2an (2018沈阳质监)已知a0，b0，函数f (x)|xa|xb|.典例 (1)当a1，b1 时，解关于x的不等式f (x)1； (2)若函数f (x)的最大值为 2，求证： 2. 1 a 1 b 解 (1)当a1，b
7、1 时， f (x)|x1|x1|Error! 当x1 时，f (x)21，不等式恒成立， 此时不等式的解集为x|x1； 当1x1，所以x ， 1 2 此时不等式的解集为； x 1 2 1，不等式不成立，此时无解 综上所述，不等式f (x)1 的解集为. xx 1 2 (2)证明：法一：由绝对值三角不等式可得 |xa|xb|ab|，a0，b0， ab2， (ab)2，当且仅当ab1 时，等号成立 1 a 1 b 1 2( 1 a 1 b) 1 2(2 b a a b) 法二：a0，b0，a1. | 1abc abc| 解：(1)由已知，令f (x)|x1|x1|Error!由|f (x)|1，
8、只需证|1abc|abc|， | 1abc abc| 即证 1a2b2c2a2b2c2，即证 1a2b2c2(1a2b2)， 即证(1a2b2)(1c2)0， 由a，b，cA，得10 恒成立 综上，1. | 1abc abc| 2(2018陕西质检)已知函数f (x)|2x1|x1|. (1)解不等式f (x)3； (2)记函数g(x)f (x)|x1|的值域为M，若tM，求证：t21 3t. 3 t 解：(1)依题意，得f (x)Error! f (x)3Error!或Error!或 Error!解得1x1， 即不等式f (x)3 的解集为x|1x1 (2)证明：g(x)f (x)|x1|2
9、x1|2x2|2x12x2|3，当且仅当 (2x1)(2x2)0 时取等号，M3，) 原不等式等价于t23t1 ， 3 t t3，)，t23t0，t23t11， 又 1，t23t1 ，t21 3t. 3 t 3 t 3 t 含绝对值不等式的恒成立问题 由题知法 (2018郑州第一次质量预测)设函数f (x)|x3|，g(x)|2x1|.典例 (1)解不等式f (x)ax4 对任意的实数x恒成立，求a的取值范围 解 (1)由已知，可得|x3|0， 解得x4. 2 3 故所求不等式的解集为(4，) (， 2 3) (2)由已知，设h(x)2f (x)g(x)2|x3|2x1|Error! 当x3
10、时，只需4x5ax4 恒成立， 即ax4 恒成立， 4x9 x 9 x a max，a1； (4 9 x) 当3ax4 恒成立， 1 2 即ax3ax4 恒成立， 1 2 即ax0，a4，且x时，4 4，a4. 1 x 1 x 综上，a的取值范围是(1,4 类题通法 绝对值不等式的成立问题的求解模型 (1)分离参数：根据不等式将参数分离化为af (x)或af (x)形式 (2)转化最值：f (x)a恒成立f (x)mina； f (x)a有解f (x)maxa； f (x)a无解f (x)maxa； f (x) . 3 4 3 2 3 2 所以不等式的解集为. x x 3 4 (2)若对任意的
11、tR，sR，都有g(s)f (t)，可得g(x)minf (x)max. 函数f (x)|2x1|2x3|2x1(2x3)|4，f (x)max4. g(x)|x1|xa|x1(xa)|a1|，故g(x)min|a1|. |a1|4，a14 或a14， 解得a3 或a5. 故a的取值范围为(，53，) 2 (2019 届高三洛阳第一次联考)已知函数f (x)|x12a|xa2|，aR， g(x)x22x4. 4 x12 (1)若f (2a21)4|a1|，求实数a的取值范围； (2)若存在实数x，y，使f (x)g(y)0，求实数a的取值范围 解：(1)f (2a21)4|a1|， |2a22
12、a|a21|4|a1|， |a1|(2|a|a1|4)0， |2a|a1|4 且a1. 若a1，则2aa14，a4，a4，a1. 综上所述，a的取值范围为(1，) (， 5 3) (2)g(x)(x1)25 4 x12 2 51，x12 4 x12 显然可取等号，g(x)min1. 于是，若存在实数x，y，使f (x)g(y)0，只需f (x)min1. 又f (x)|x12a|xa2|(x12a)(xa2)|(a1)2， (a1)21，1a11，0a2， 故实数a的取值范围为0,2 专题跟踪检测(对应配套卷 P209) 1(2018全国卷)设函数f (x)5|xa|x2|. (1)当a1 时
13、，求不等式f (x)0 的解集； (2)若f (x)1，求a的取值范围 解：(1)当a1 时，f (x)Error! 当x2 时，由2x60，解得 2 .所以 3 时，原不等式可化为x3x2 ，解得m2， m 2 又mf (a)f (b) 解：(1)当x1 时，原不等式可化为x11. 1 2 综上，Mx|x1 (2)证明：因为f (a)f (b)|a1|b1|a1(b1)|ab|， 所以要证f (ab)f (a)f (b)， 只需证|ab1|ab|，即证|ab1|2|ab|2， 即证a2b22ab1a22abb2， 即证a2b2a2b210，即证(a21)(b21)0. 因为a，bM，所以a2
14、1，b21， 所以(a21)(b21)0 成立，所以原不等式成立 6(2018广东五市联考)已知函数f (x)|xa|(a0) 1 2a (1)若不等式f (x)f (xm)1 恒成立，求实数m的最大值； (2)当a 时，f (x)单调递增，f (x)的最小值在上 1 2 5 a 1 2， 5 a 取得 在上，当 0a2 时，f (x)单调递增， 1 2， 5 a 当 2a5 时，f (x)单调递减， Error!或Error! 解得a2. 8(2018成都模拟)已知函数f (x)|x2|k|x1|，kR. (1)当k1 时，若不等式f (x)2 时，原不等式可化为 2x5，2x ； 5 2 当1x2 时，原不等式可化为 34，1x2. 当x1 时，原不等式可化为2x3， x1； 3 2 综上，原不等式的解集为， x 3 2 x 5 2 即x1 ，x2 .x1x21. 3 2 5 2 (2)由题意，得|x2|k|x1|k. 当x2 时，即不等式 3kk成立，k0. 当x2 或x0 时， |x1|1，不等式|x2|k|x1|k恒成立 当2x1 时， 原不等式可化为 2xkxkk， 可得k1，k3. 2x x2 4 x2 当1x0 时， 原不等式可化为 2xkxkk，可得k1 ， 2 x k3. 综上，可得 0k3，即k的最大值为 3.