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1、基础送分专题二 平面向量基础送分专题二 平面向量 平面向量的基本运算 题组练透 1 (2018全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点， 则( )EB A. B. 3 4 AB 1 4 AC 1 4 AB 3 4 AC C. D. 3 4 AB 1 4 AC 1 4 AB 3 4 AC 解析：选 A 法一：作出示意图如图所示 EB ED DB 1 2 AD 1 2 CB () () 1 2 1 2 AB AC 1 2 AB AC .故选 A. 3 4 AB 1 4 AC 法二：不妨设ABC为等腰直角三角形，且A，ABAC1. 2 建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0)，
2、B(1,0)，C(0,1)， D，E.故(1,0)，(0,1)， ( 1 2， 1 2)( 1 4， 1 4) AB AC (1,0)，EB ( 1 4， 1 4) ( 3 4， 1 4) 即.EB 3 4 AB 1 4 AC 2已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足，则|OB 1 3 OA 2 3 OC AB BC ( ) A13 B31 C12 D21 解析：选 D 由，得2()，即2，OB 1 3 OA 2 3 OC OB OA OC OB AB BC 所以|21，故选 D.AB BC 3(2018全国卷)已知向量 a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若 c(2ab)， 则 _. 解
3、析：2ab(4,2)，因为 c(2ab)， 所以 42，解得 . 1 2 答案：1 2 4 (2018太原模拟)在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点， 若AC AM ，则实数_.AN 解析：如图，AM AB BM AB 1 2 BC DC 1 2 BC ， AN AD DN BC 1 2 DC 由得，BC 4 3 AN 2 3 AM DC 4 3 AM 2 3 AN ，AC AB BC DC BC 4 3 AM 2 3 AN 4 3 AN 2 3 AM 2 3 AM 2 3 AN ， ， ， .AC AM AN 2 3 2 3 4 3 答案：4 3 题后悟通 快 审 题 1.看到向
4、量的线性运算，想到三角形和平行四边形法则 2.看到向量平行，想到向量平行的条件 准 解 题 记牢向量共线问题的 4 个结论 (1)若 a 与 b 不共线且ab，则0. (2)直线的向量式参数方程 ：A，P，B三点共线(1t) t (O为平面OP OA OB 内任一点，tR). (3) (，为实数)，若A，B，C三点共线，则1.OA OB OC (4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2x2y1，当且仅当x2y20 时，ab . x1 x2 y1 y2 平面向量的数量积 题组练透 1(2018全国卷)已知向量 a，b 满足|a|1，ab1，则 a(2ab)( ) A4 B3
5、C2 D0 解析：选 B a(2ab)2a2ab2|a|2ab. |a|1，ab1，原式21213. 2已知向量 m(t1,1)，n(t2,2)，若(mn)(mn)，则t( ) A0 B3 C3 D1 解析：选 B 法一：由(mn)(mn)可得(mn)(mn)0， 即 m2n2，故(t1)21(t2)24，解得t3. 法二：mn(2t3,3)，mn(1，1)， (mn)(mn)，(2t3)30，解得t3. 3在ABC中，ABC90 ，AB6，点D在边AC上，且 2，则AD DC BA BD 的值是( ) A48 B24 C12 D6 解析：选 B 法一：由题意得，0，BA BC BA CA B
6、A () |2 36， ()BA BC BA BA BD BA BC CD 0 3624.BA ( 2 3) 2 3 法二：(特例法)若ABC为等腰直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(6,0)，C(0,6) 由 2，得D(4,2)AD DC (6,0)(4,2)24.BA BD 4.(2018贵阳摸底考试)如图，在边长为 1 的正方形组成的网格 中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点的位置，则AB 的值为( )AD A10 B11 C12 D13 解析：选B 以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标 系，A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)， 根据四边形ABC
7、D为平行四边形， 可以得 到D(2,3)， 所以(4,1)(2,3)8311.故选 B.AB AD 5(2019 届高三益阳、湘潭调研)已知非零向量 a，b 满足 ab0，|ab|t|a|， 若 ab 与 ab 的夹角为，则t的值为_ 3 解析：因为 ab0，所以(ab)2(ab)2，即|ab|ab|.又|ab|t|a|，所 以|ab|ab|t|a|.因为ab与ab的夹角为， 所以cos， 3 abab |ab|ab| 3 整理得 ， 即(2t2)|a|22|b|2.又|ab|t|a|， 平方得|a|2|b|2t2|a|2， |a|2|b|2 t2|a|2 1 2 所以|a|2t2|a|2，解
8、得t2 .因为t0，所以t. 2t2|a|2 2 4 3 2 3 3 答案： 2 3 3 6在矩形ABCD中，AB2，AD1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动 点 Q(包含点B)满足|，则的最小值为_DP BQ PA PQ 解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建 立如图所示的平面直角坐标系， 设P(x,1)，Q(2，y)， 由题意知 0x2，2y0. |，DP BQ |x|y|，xy. (x，1)，(2x，y1)，PA PQ x(2x)(y1)x22xy1x2x1 2 ， PA PQ (x 1 2) 3 4 当x 时，取得最小值，为 . 1 2 PA
9、PQ 3 4 答案：3 4 题后悟通 快 1.看到向量垂直，想到其数量积为零 审 题 2.看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式 3.看到向量中的最值问题时，想到向量不等式、几何意义，甚至建立坐标系构造函数关 系求最值 用 妙 法 特例法妙解图形中平面向量数量积问题 解答有关图形中的平面向量数量积问题，常采用特例法，如取直角三角形、矩形，再建 立平面直角坐标系，求得相关点坐标计算求解(如第 3 题可取ABC为等腰直角三角形 建系) 避 误 区 两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角 可能是 0 或 的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量
10、积小于零， 还要求不能反向共线. 专题过关检测 一、选择题 1设 a(1,2)，b(1,1)，cakb.若 bc，则实数k的值等于( ) A B 3 2 5 3 C. D. 5 3 3 2 解析：选 A 因为 cakb(1k,2k)， 又 bc，所以 1(1k)1(2k)0，解得k . 3 2 2已知向量 a(1,1)，2ab(4,2)，则向量 a，b 的夹角的余弦值为( ) A. B 3 10 10 3 10 10 C. D 2 2 2 2 解析：选 C 因为向量 a(1,1)，2ab(4,2)，所以 b(2,0)， 则向量 a，b 的夹角的余弦值为. 1 21 0 2 2 2 2 3已知在
11、平面直角坐标系中，点A(0,1)，向量(4，3)，(7，4)，AB BC 则点C的坐标为( ) A(11,8) B(3,2) C(11，6) D(3,0) 解析 ： 选 C 设C(x，y)，在平面直角坐标系中，点A(0,1)，向量(4，3)，AB (7，4)，(11，7)，Error!解得x11，y6，BC AC AB BC 故C(11，6) 4在等腰梯形ABCD中，2，M为BC的中点，则( )AB CD AM A. B. 1 2 AB 1 2 AD 3 4 AB 1 2 AD C. D. 3 4 AB 1 4 AD 1 2 AB 3 4 AD 解析 ： 选 B 因为2， 所以2.又M是BC的
12、中点， 所以 (AB CD AB DC AM 1 2 AB ) ().AC 1 2 AB AD DC 1 2( 1 2) 3 4 AB 1 2 AD 5(2019 届高三武汉调研)设非零向量 a，b 满足|2ab|2ab|，则( ) Aab B|2a|b| Cab D|a|b| 解析：选 A 法一：|2ab|2ab|，(2ab)2(2ab)2，化简得 ab0， ab，故选 A. 法二：记 c2a，则由|2ab|2ab|得|cb|cb|，由平行四边形法则知，以 向量 c，b 为邻边的平行四边形的对角线相等，该四边形为矩形，故 cb，即 ab，故选 A. 6已知(2,1)，点C(1,0)，D(4,
13、5)，则向量在方向上的投影为( )AB AB CD A B3 3 2 2 5 C. D3 3 2 2 5 解析：选 C 因为点C(1,0)，D(4,5)，所以(5,5)，又(2,1)，所以向量CD AB 在方向上的投影为|cos，.AB CD AB AB CD | 15 5 2 3 2 2 7 已知 a 和 b 是非零向量， matb(tR)， 若|a|1， |b|2， 当且仅当t 时， |m| 1 4 取得最小值，则向量 a，b 的夹角为( ) A. B. 6 3 C. D. 2 3 5 6 解析 ： 选C 由matb，及|a|1，|b|2，得|m|2(atb)24t24tcos 1(2t
14、cos )2sin2，由题意得，当t 时，cos ，则向量 a，b 的夹角为， 故 1 4 1 2 2 3 选 C. 8在ABC中，|，AB2，AC1，E，F为BC的三等分点，AB AC AB AC 则( )AE AF A. B. 8 9 10 9 C. D. 25 9 26 9 解析 ： 选 B 由|知，以A为坐标原点，AB AC AB AC AB AC AB AC 的方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(0,1)，不妨 设E，F，则 . ( 4 3， 1 3)( 2 3， 2 3) AE AF ( 4 3， 1 3) ( 2 3， 2 3) 8
15、9 2 9 10 9 9已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量OP3 与向量 a(1，1)共线，若(1) ，则( )OP3 OP1 OP2 A3 B3 C1 D1 解析：选 D 设(x，y)，则由a，知xy0，于是(x，x)OP3 OP3 OP3 若(1)，则有(x，x)(3,1)(1)(1,3)(41,3OP3 OP1 OP2 2)， 即Error!所以 41320，解得1. 10 (2018兰州诊断考试)在ABC中，M是BC的中点，AM1， 点P在AM上且满足2AP ，则()等于( )PM PA PB PC A B 4 9 4 3 C.
16、 D. 4 3 4 9 解析：选 A 如图，2，AP PM AP PB PC () 2， PA PB PC PA AM1 且2，| ，AP PM PA 2 3 () .PA PB PC 4 9 11 (2019届高三南宁摸底联考)已知O是ABC内一点，0，OA OB OC AB 2 且BAC60 ，则OBC的面积为( )AC A. B. 3 3 3 C. D. 3 2 2 3 解析：选 A 0，O是ABC的重心，于是SOBCSABC.OA OB OC 1 3 2，|cosBAC2，BAC60 ，AB AC AB AC |4.SABC |sinBAC，OBC的面积为.AB AC 1 2 AB A
17、C 3 3 3 12(2018南昌调研)已知A，B，C是圆O：x2y21 上的动点，且ACBC，若点M 的坐标是(1,1)，则|的最大值为( )MA MB MC A3 B4 C31 D3122 解析：选 D 法一：A，B，C是圆O：x2y21 上的动点，且ACBC， 设A(cos ， sin )，B(cos ， sin )，C(cos ， sin )， 其中 02， 02， M(1,1)， (cos 1， sin 1)(cos 1， sin 1)MA MB MC (cos 1，sin 1)(cos 3，sin 3)， |MA MB MC cos 32sin 32 cos26cos 9sin26
18、sin 9 ，196 2sin( 4) 当且仅当 sin1 时， |取得最大值， 最大值为3 ( 4) MA MB MC 196 2 1.2 法二：连接AB，ACBC，AB为圆O的直径， 2，MA MB MO |2|2|2|，MA MB MC MO MC MO MC 2MC 易知点M与圆上动点C的距离的最大值为1，2 |1，|31，故选 D.MC 2MA MB MC 2 二、填空题 13 (2018潍坊统一考试)已知单位向量 e1， e2， 且 e1， e2 ， 若向量 ae12e2， 3 则|a|_. 解析：因为|e1|e2|1， e1，e2，所以|a|2|e12e2|214|e1|e2|c
19、os 3 41411 43，即|a|. 3 1 2 3 答案： 3 14 已知 a， b 是非零向量，f(x)(axb)(bxa)的图象是一条直线， |ab|2， |a| 1，则f(x)_. 解析 ： 由f(x)abx2(a2b2)xab 的图象是一条直线， 可得 ab0.因为|ab| 2，所以 a2b24. 因为|a|1，所以 a21，b23，所以f(x)2x. 答案：2x 15 在ABC中，N是AC边上一点且，P是BN上一点， 若m，AN 1 2 NC AP AB 2 9 AC 则实数m的值是_ 解析 ： 如图，因为，所以，所以mAN 1 2 NC AN 1 3 AC AP AB m.因为B，P，N三点共线，所以m 1，则m 2 9 AC AB 2 3 AN 2 3 . 1 3 答案：1 3 16(2019 届高三唐山五校联考)在ABC中，(3)，则角A的最大AB AC CB 值为_ 解析 ： 因为(3)， 所以(3)0， 即(3)(AB AC CB AB AC CB AB AC AB )0， 则 24 3 20， 即 cos A 2AC AB AC AB AC |23|2 4| | 4| 3| 4| 3 16 3 2 ， 当且仅当|时等号成立因为 0A，所以 0A，即角A的最大值为AB 3AC 6 . 6 答案： 6