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1、9.9 曲线与方程 曲线与方程 考情考向分析 以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主题型主要以解答题的形式出现，题目为 中档题，有时也会在填空题中出现 1曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立如下的对应关系： 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线 2求动点的轨迹方程的基本步骤 3几种常见的求轨迹方程的方法 (1)直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐 标代替这个等式，化简得曲线的方程，这种方法叫做直接法 (2)定义法 利用所学
2、过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的 轨迹方程，这种方法叫做定义法这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或 差为定值的条件，或能利用平面几何知识分析得出这些条件 (3)相关点法 若动点 P(x，y)随已知曲线上的点 Q(x0，y0)的变动而变动，且 x0，y0可用 x，y 表示，则将点 Q 的坐标表达式代入已知曲线方程，即得点 P 的轨迹方程，这种方法称为相关点法(或代换法) 概念方法微思考 1f(x0，y0)0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)0 上的充要条件吗？ 提示 是 如果曲线 C 的方程是 f(x， y)0， 则曲线 C 上的点
3、的坐标满足 f(x， y)0， 以 f(x， y)0 的解为坐标的点也都在曲线 C 上，故 f(x0，y0)0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)0 上的充要 条件 2曲线的交点与方程组的关系是怎样的？ 提示 曲线的交点与方程组的关系 (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线( ) (2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2y2.( )
4、(3)ykx 与 x y 表示同一直线( ) 1 k (4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的( ) 题组二 教材改编 2P64T10已知点 F，直线 l：x ，点 B 是 l 上的动点，若过点 B 垂直于 y 轴的直 ( 1 4，0) 1 4 线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹方程是_ 答案 y2x 解析 由已知 MFMB，根据抛物线的定义知，点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线 的抛物线 3P64T9设圆 C 与圆 x2(y3)21 外切，与直线 y0 相切，则 C 的圆心的轨迹方程为 _ 答案 x28y8 4P64T8设 P 为曲线 y21 上一动点，
5、O 为坐标原点，M 为线段 OP 的中点，则点 M 的 x2 4 轨迹方程是_ 答案 x24y21 解析 设 P(x0，y0)，M(x，y)， 则 x02x，y02y，代入 y 1， x2 0 4 2 0 得 x24y21. 题组三 易错自纠 5方程(2x3y1)(1)0 表示的曲线是_x3 答案 一条直线和一条射线 解析 原方程可化为Error! 或10，x3 即 2x3y10(x3)或 x4， 故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线 6到定点(0,7)和到定直线 y7 的距离相等的点的轨迹方程是_ 答案 x228y 7已知 M(2,0)，N(2,0)，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶
6、点 P 的轨迹方程是 _ 答案 x2y24(x2) 解析 连结 OP， 则 OP2， P 点的轨迹是去掉 M， N 两点的圆， 方程为 x2y24(x2) 题型一 定义法求轨迹方程 例 1 已知圆 M： (x1)2y21，圆 N： (x1)2y29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切， 圆心 P 的轨迹为曲线 C，求 C 的方程 解 由已知得圆 M 的圆心为 M(1,0)，半径 r11； 圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R.因为圆 P 与圆 M 外切 并且与圆 N 内切，所以 PMPN(Rr1)(r2R)r1r242MN.由椭圆的
7、定义可知， 曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方3 程为 1(x2) x2 4 y2 3 思维升华 定义法求轨迹方程 (1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲 线的方程，写出所求的轨迹方程 (2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对 其中的变量 x 或 y 进行限制 跟踪训练 1 在ABC 中，BC4，ABC 的内切圆切 BC 于 D 点，且 BDCD2，则顶2 点 A 的轨迹方程为_ 答案 1(x) x2 2 y2 2 2 解析 以 BC 的中点为原点，
8、中垂线为 y 轴建立如图所示的坐标系，E，F 分别为两个切点 则 BEBD，CDCF，AEAF. 所以 ABAC2) x2 2 y2 2 2 题型二 直接法求轨迹方程 例 2 已知抛物线 C： y22x 的焦点为 F， 平行于 x 轴的两条直线 l1， l2分别交 C 于 A， B 两点， 交 C 的准线于 P，Q 两点 (1)若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明：ARFQ； (2)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程 (1)证明 由题意知，F，设 l1：ya，l2：yb， ( 1 2，0) 则 ab0， 且 A，B，P，Q，R. ( a2 2 ，a
9、) ( b2 2 ，b) ( 1 2，a) ( 1 2，b) ( 1 2， ab 2) 记过 A，B 两点的直线为 l，则 l 的方程为 2x(ab)yab0. 由于 F 在线段 AB 上，故 1ab0. 记 AR 的斜率为 k1，FQ 的斜率为 k2， 则 k1 ab 1a2 ab a2ab 1 a bk2. ab a b0 1 2 1 2 所以 ARFQ. (2)解 设过 AB 的直线为 l， 设 l 与 x 轴的交点为 D(x1，0)， 则 SABF |ba|FD |ba|， 1 2 1 2 |x 11 2| SPQF. |ab| 2 由题意可得|ba|， |x 11 2| |ab| 2
10、 所以 x11 或 x10(舍去) 设满足条件的 AB 的中点为 E(x，y) 当 AB 与 x 轴不垂直时， 由 kABkDE可得(x1) 2 ab y x1 而y，所以 y2x1(x1) ab 2 当 AB 与 x 轴垂直时，E 与 D 重合， 此时 E 点坐标为(1,0)，满足方程 y2x1. 所以所求轨迹方程为 y2x1. 思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程， 要注意 翻译的等价性通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后 的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意 检验方程的纯粹性和
11、完备性 跟踪训练 2 在平面直角坐标系 xOy 中， 点 P(a， b)为动点， F1， F2分别为椭圆1(ab0) x2 a2 y2 b2 的左、右焦点，已知F1PF2为等腰三角形 (1)求椭圆的离心率 e； (2)设直线 PF2与椭圆相交于 A，B 两点，M 是直线 PF2上的点，满足2，求点 MAM BM 的轨迹方程 解 (1)设 F1(c,0)，F2(c,0)(c0) 由题意，可得 PF2F1F2， 即2c，ac2b2 整理得 2 2 10， ( c a) c a 得 1(舍去)或 ，所以 e . c a c a 1 2 1 2 (2)由(1)知 a2c，bc，可得椭圆方程为 3x24
12、y212c2，直线 PF2的方程为 y(xc)33 A，B 两点的坐标满足方程组Error! 消去 y 并整理，得 5x28cx0. 解得 x10，x2 c， 8 5 代入直线方程得Error!Error! 不妨设 A，B(0，c) ( 8 5c， 3 3 5 c) 3 设点 M 的坐标为(x，y)，则，(x，yc)AM (x 8 5c，y 3 3 5 c)BM 3 由 y(xc)，得 cxy.3 3 3 于是，AM ( 8 3 15 y3 5x， 8 5y 3 3 5 x) (x，x)，由2，BM 3AM BM 即xx2. ( 8 3 15 y3 5x) ( 8 5y 3 3 5 x) 3
13、化简得 18x216xy150.3 将 y代入 cxy， 18x215 16 3x 3 3 得 c0.所以 x0. 10x25 16x 因此，点 M 的轨迹方程是 18x216xy150(x0)3 题型三 相关点法求轨迹方程 例 3 如图所示，抛物线 E：y22px(p0)与圆 O：x2y28 相交于 A，B 两点，且点 A 的横 坐标为 2.过劣弧 AB 上动点 P(x0，y0)作圆 O 的切线交抛物线 E 于 C，D 两点，分别以 C，D 为切点作抛物线 E 的切线 l1，l2，l1与 l2相交于点 M. (1)求 p 的值； (2)求动点 M 的轨迹方程 解 (1)由点 A 的横坐标为
14、2，可得点 A 的坐标为(2,2)， 代入 y22px，解得 p1. (2)由(1)知抛物线 E：y22x. 设 C， D， y10， y20， 切线 l1的斜率为 k， 则切线 l1： yy1k， 代入 y22x， ( y2 1 2 ，y1) (y 2 2 2 ，y2)( xy 2 1 2) 得 ky22y2y1ky 0，由 0，解得 k ， 2 1 1 y1 l1的方程为 y x ， 1 y1 y1 2 同理 l2的方程为 y x . 1 y2 y2 2 联立Error!解得Error! 易知 CD 的方程为 x0xy0y8， 其中 x0，y0满足 x y 8，x02,2， 2 02 0
15、2 由Error!得 x0y22y0y160， y1,2， 2y0 4y2 064x0 2x0 则Error!代入Error! 可得 M(x，y)满足Error!可得Error! 代入 x y 8，并化简，得 y21， 2 02 0 x2 8 考虑到 x02,2，知 x4，2，22 动点 M 的轨迹方程为 y21，x4，2 x2 8 2 思维升华 “相关点法”的基本步骤 (1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 Error! (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程 跟踪训练 3 如图，动圆 C
16、1：x2y2t2,1b0) y2 a2 x2 b2 由题意得Error!解得Error! 所以椭圆方程为 t2(t21)x2(t21)y2t2. (2)设点 P(x，y)，Q(x1，y1)， 解方程组Error! 得Error! 由t和， OP OQ t21 OP OQ |x| |x1| 得Error!或Error! 其中 t1.消去 t，得点 P 的轨迹方程为 x2y和 x2y. 2 2(x 2 2) 2 2(x 0，y0) 3 2 解析 设 A(a,0)，B(0，b)，a0，b0.由2，BP PA 得(x，yb)2(ax，y)，所以Error! 即 a x0，b3y0. 3 2 由题意得，
17、点 Q(x，y)， 故由1，得(x，y)(a，b)1，OQ AB 即 axby1.将 a，b 代入 axby1 得所求的轨迹方程为 x23y21(x0，y0) 3 2 5已知 A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以 C 为一个焦点作过 A，B 的椭圆，则椭圆的另一个 焦点 F 的轨迹方程是_ 答案 y21(y1) x2 48 解析 由两点间距离公式， 可得AC13， BC15， AB14， 因为A， B都在椭圆上， 所以AFAC BFBC， AFBFBCAC22，故 F 点 的轨迹是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点)，其方程为 1(y0) x2 4 y2 3 9
18、.如图， 斜线段 AB 与平面 所成的角为 60， B 为斜足， 平面 上的动点 P 满足PAB30， 则点 P 的轨迹是_ 答案 椭圆 解析 可构造如图所示的圆锥母线与中轴线夹角为 30，然后用平面 去截，使直线 AB 与 平面 的夹角为 60，则截口为 P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆 10如图，P 是椭圆1(ab0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O 为坐标原点， x2 a2 y2 b2 且，则动点 Q 的轨迹方程是_OQ PF1 PF2 答案 1 x2 4a2 y2 4b2 解析 由于，OQ PF1 PF2 又22，PF1 PF2 PM PO OP 设 Q
19、(x，y)，则，OP 1 2OQ ( x 2， y 2) 即 P 点坐标为，又 P 在椭圆上， ( x 2， y 2) 则有1，即1. ( x 2) 2 a2 ( y 2) 2 b2 x2 4a2 y2 4b2 11.如图，抛物线关于 y 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(2,1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在 抛物线上 (1)求抛物线的方程； (2)若APB 的平分线垂直于 y 轴，求证：直线 AB 的斜率为定值 (1)解 由已知可设抛物线的方程为 x22py(p0) 因为点 P(2,1)在抛物线上，所以 222p1，解得 p2. 故抛物线的方程为 x24y. (2)证明 由题意
20、知 kAPkBP0，所以0. y11 x12 y21 x22 所以0，所以0， x2 1 4 1 x12 x2 2 4 1 x22 x12 4 x22 4 所以 x1x24. 所以 kAB1. y1y2 x1x2 x2 1 4 x 2 2 4 x1x2 x1x2 4 所以直线 AB 的斜率为定值 12.如图，P 是圆 x2y24 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影是点 D，点 M 满足.DM 1 2DP (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程，并说明轨迹是什么图形； (2)过点 N(3,0)的直线 l 与动点 M 的轨迹 C 交于不同的两点 A，B，求以 OA，OB 为邻边的平 行四边形 OA
21、EB 的顶点 E 的轨迹方程 解 (1)设 M(x，y)，则 D(x,0)， 由知，P(x,2y)，DM 1 2DP 点 P 在圆 x2y24 上，x24y24， 故动点 M 的轨迹 C 的方程为 y21，轨迹 C 为椭圆 x2 4 (2)设 E(x，y)，由题意知 l 的斜率存在， 设 l：yk(x3)，代入 y21， x2 4 得(14k2)x224k2x36k240，(*) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1,2， 24k2 24k22414k236k2 4 214k2 x1x2， 24k2 14k2 y1y2k(x13)k(x23) k(x1x2)6k 6k. 24k3
22、 14k2 6k 14k2 四边形 OAEB 为平行四边形， (x1x2，y1y2)OE OA OB ， ( 24k2 14k2， 6k 14k2) 又(x，y)，Error!OE 消去 k，得 x24y26x0， 由(*)中 (24k2)24(14k2)(36k24)0， 得 k20，满足题意 x2 16 y2 9 y2 9 14 设 点 P(x， y)是 曲 线 a|x| b|y| 1(a0， b0)上 的 动 点 ， 且 满 足x2y22y1 2，则 ab 的取值范围为_x2y22y122 答案 2，) 解析 设 F1(0，1)，F2(0,1)， 则满足2的点 P 的轨迹是以 F1(0，
23、 1)， F2(0,1)为焦点的椭圆，x2y12x2y122 其方程为 1.曲线 a|x|b|y|1(a0，b0)为如图所示的菱形 ABCD， x2 1 y2 2 C，D. ( 1 a，0) (0， 1 b) 由于2，x2y12x2y122 所以菱形 ABCD 在椭圆上或其内部， 所以 1， ，即 a1，b. 1 a 1 b 2 2 2 所以 ab12.22 2 2 15已知过点 A(3,0)的直线与 x3 相交于点 C，过点 B(3，0)的直线与 x3 相交于点 D， 若直线 CD 与圆 x2y29 相切，则直线 AC 与 BD 的交点 M 的轨迹方程为_ 答案 1(y0) x2 9 y2
24、9 4 解析 设点 M(x，y)，C(3，m)，D(3，n)，则直线 CD 的方程为(mn)x6y3(mn)0， 因为直线 CD 与圆 x2y29 相切，所以3，所以 mn9，又直线 AC 与 BD 的 3|mn| mn236 交点为 M， 所以Error!解得Error! 所以9， 36y2 x29 所以点 M 的轨迹方程为 1(y0) x2 9 y2 9 4 16曲线 C 是平面内与两个定点 F1(2,0)和 F 2(2,0)的距离的积等于常数 a2(a24)的点的轨 迹给出下列三个结论： 曲线 C 过坐标原点； 曲线 C 关于坐标原点对称； 若点 P 在曲线 C 上，则F1PF2的面积不大于 a2. 1 2 其中，所有正确结论的序号是_ 答案 解析 因为原点 O 到两个定点 F1(2,0)，F2(2,0)的距离的积是 4，又 a24，所以曲线 C 不过 原点，即错误； 设动点 P 在曲线 C 上， 因为 F1(2,0)， F2(2,0)关于原点对称， 所以 PF1PF2a2对应的轨迹关于原点对称， 即正确 ； 因为 PF1PF2sinF1PF2 PF1PF2 a2， 12 F PF S 1 2 1 2 1 2 即F1PF2的面积不大于 a2，即正确 1 2