《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第二章 函数 2.10含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第二章 函数 2.10含解析.pdf（20页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.10 函数模型及其应用 函数模型及其应用 考情考向分析 考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、 最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度 1几类函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)axb(a，b 为常数，a0) 反比例函数模型f(x) b(k，b 为常数且 k0) k x 二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0) 指数函数模型f(x)baxc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1) 对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1) 幂函数模型f(x)axnb (a，b 为常数，a
2、0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0) 在(0，)上 单调递增单调递增单调递增 的增减性 增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表 现为与 y 轴平行 随x的增大逐渐表 现为与 x 轴平行 随 n 值变化而各 有不同 值的比较存在一个 x0，当 xx0时，有 logax0，b1)增长速度越来越快的形象比喻( ) 题组二 教材改编 2P104 习题 T1某县目前人口 100 万人，经过 x 年后为 y 万人，若人口年增长率是 1.2%， 则 y 关于 x 的函数关系式是_ 答案 y100(11.2%)x(xN*) 解析 本
3、题属于简单的指数模型的应用问题，依题意有 y100(11.2%)x(xN*) 3P99 例 3生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x) x22x20(万元)一万件售价为 20 万元，为获取更大利润，该 1 2 企业一个月应生产该商品数量为_万件 答案 18 解析 利润 L(x)20xC(x) (x18)2142， 1 2 当 x18 时，L(x)有最大值 4P77 例 8某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该民企 2016 年全年投 入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该民企全年
4、 投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是_年(参考数据 ： lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30) 答案 2020 解析 设从 2016 年起， 过了 n(nN*)年该民企全年投入的研发资金超过 200 万元， 则 130(1 12%)n200，则 n3.8， lg 20 13 lg 1.12 0.300.11 0.05 由题意取 n4，则 n2 0162 020. 题组三 易错自纠 5某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这 两年生产总值的年平均增长率为_ 答案 1p1q1 解析 设年平均增长率为 x，则(1x)2(1p
5、)(1q)， x1.1p1q 6已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 yalog3(x1)，设这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到_只 答案 200 解析 由题意知 100alog3(21)， a100，y100log3(x1) 当 x8 时，y100log39200. 题型一 已知函数模型的实际问题 例 1 (1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率” 在特定 条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 pat2btc(a，b，c 是常数)， 如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加
6、工时间为 _分钟 答案 3.75 解析 根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式， 联立方程组得Error! 消去 c 化简得Error!解得Error! 所以 p0.2t21.5t22 2 ，所以当 t3.75 1 5(t 215 2 t225 16) 45 16 1 5(t 15 4) 13 16 15 4 时，p 取得最大值，即最佳加工时间为 3.75 分钟 (2)某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为 p 元，销售量 为 Q 件，则销售量 Q(单位：件)与零售价 p(单位：元)有如下关系：Q8 30
7、0170pp2，则 最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)_元 答案 23 000 解析 设毛利润为 L(p)元，则由题意知 L(p)pQ20QQ(p20) (8 300170pp2)(p20) p3150p211 700p166 000， 所以 L(p)3p2300p11 700. 令 L(p)0，解得 p30 或 p130(舍去) 当 p(0,30)时，L(p)0，当 p(30，)时，L(p)0，m是不超过 m 的最大整数(如33，3.73，3.13)，则甲、乙两地通话 6.5 分钟的电话费为_元 答案 4.24 解析 m6.5，m6， 则 f(6.5)1.06(0.561)4.24. (
8、2)某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万 元又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数，K(Q)40QQ2，则总利润 L(Q)的最大值是 1 20 _万元 答案 2 500 解析 L(Q)40QQ210Q2 000 1 20 Q230Q2 000(Q300)22 500. 1 20 1 20 则当 Q300 时，L(Q)的最大值为 2 500 万元 题型二 构建函数模型的实际问题 命题点 1 构造一次函数、二次函数模型 例 2 某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量 x(kg)与其运费 y(元)之间的关系由如图所示 的一次函数图象确定，那么乘客
9、可免费携带行李的质量最大为_kg. 答案 19 解析 由图象可求得一次函数的解析式为 y30x570，令 30x5700，解得 x19. 命题点 2 构造指数函数、对数函数模型 例 3 一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐 到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 ，已 1 4 知到今年为止，森林剩余面积为原来的. 2 2 (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解 (1)设每年降低的百分比为 x(00)型函数 a x 例 4 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据
10、市场分析，每辆客车营运的总利 润 y(万元)与营运年数 x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每 辆客车营运年数为_ 答案 5 解析 根据图象求得 y(x6)211， 年平均利润 12， y x (x 25 x) x10，当且仅当 x5 时等号成立 25 x 要使平均利润最大，客车营运年数为 5. (2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为 60(如图)，考虑防洪堤 坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为 9 平方米，且高度不低于 米记33 防洪堤横断面的腰长为 x 米，外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y 米要使防洪堤 的
11、上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长 x_米 答案 2 3 解析 由题意可得 BC (2x40 时， WxR(x)(16x40)16x7 360. 40 000 x 所以 WError! (2)当 040 时，W16x7 360， 40 000 x 由于16x21 600， 40 000 x 40 000 x 16x 当且仅当16x，即 x50(40，)时，取等号， 40 000 x 所以 W 取最大值 5 760. 综合，当年产量 x32 万只时，W 取最大值 6 104 万美元 思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，
12、 将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的 限制 跟踪训练 2 (1)某化工厂生产一种溶液， 按市场要求杂质含量不超过 0.1%， 若初时含杂质 2%， 每过滤一次可使杂质含量减少 ，至少应过滤_次才能达到市场要求(参考数据 ： lg 1 3 20.301 0，lg 30.477 1) 答案 8 解析 设至少过滤 n 次才能达到市场要求， 则 2% n0.1%，即n ， (1 1 3) ( 2 3) 1 20 所以 nlg 1lg 2，所以 n7.39，所以 n8. 2 3 (2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为 20 00
13、0 元，每天需 要房租、水电等费用 100 元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益 R(元)与门面经营天数 x 的关系是 R(x)Error!则当总利润最大时，该门面经营的天数是 _ 答案 300 解析 由题意，总利润 yError! 当 0x400 时，y (x300)225 000， 1 2 所以当 x300 时，ymax25 000； 当 x400 时，y60 000100x280)，则有 (p0.25)%， 280 p%x280p2% x 解得 x320.故该公司的年收入为 320 万元 5某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过 10 m3的
14、，按每 立方米 m 元收费；用水超过 10 m3的，超过部分加倍收费某职工某月缴水费 16m 元，则该 职工这个月实际用水为_ m3. 答案 13 解析 设该职工用水 x m3时，缴纳的水费为 y 元，由题意得 yError! 则 10m(x10)2m16m，解得 x13. 6 某食品的保鲜时间 y(单位 ： 小时)与储藏温度 x(单位 ：)满足函数关系 yekxb(e2.718 为自然对数的底数，k，b 为常数)若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时，在 22 的保鲜 时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是_小时 答案 24 解析 由题意得Error!e22k ， 48 19
15、2 1 4 e11k ，x33 时，ye33kb(e11k)3eb 3192 19224(小时) 1 2 ( 1 2) 1 8 7.某人根据经验绘制了 2018 年春节前后， 从 12 月 21 日至 1 月 7 日自己种植的西红柿的销售 量 y(千克)随时间 x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在 12 月 26 日大约卖出了西红柿 _千克 答案 190 9 解析 前 10 天满足一次函数关系，设为 ykxb(k0)，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解 析式得Error!解得 k，b， 20 9 70 9 所以 yx，则当 x6 时，y. 20 9 70 9 190 9 8.在
16、如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)， 则其边长 x 为_m. 答案 20 解析 设内接矩形另一边长为 y m， 则由相似三角形性质可得，解得 y40x， x 40 40y 40 所以面积 Sx(40x)x240x (x20)2400(00)(空闲率：空闲量与最大养殖量的比值) (1)写出 y 关于 x 的函数关系式，并求其定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值； (3)当鱼群的年增长量达到最大时，求 k 的取值范围 解 (1)ykxkx(0x0，所以 00， 则(150x) 100 150x 221020，150x 100 150x 当且仅当 150x，
17、100 150x 即 x140 时等号成立，此时，Pmax20120100. 所以每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，最大值为 100 元 13一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度 v 的平方成正比，且比例系数为 k， 除燃料费外其他费用为每小时 96 元当速度为 10 海里/时时，每小时的燃料费是 6 元若匀 速行驶 10 海里，当这艘轮船的速度为_海里/时时，总费用最小 答案 40 解析 设每小时的总费用为 y 元， 则 ykv296，又当 v10 时，k1026， 解得 k0.06， 所以每小时的总费用 y0.06v296，匀速行驶 10 海里所用的时间为 小时，
18、 10 v 故总费用为 Wy(0.06v296)0.6v248， 10 v 10 v 960 v 0.6v 960 v 当且仅当 0.6v，即 v40 时等号成立 960 v 故总费用最小时轮船的速度为 40 海里/时 14商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价 a，最 高销售限价 b(ba)以及实数 x(0x1)确定实际销售价格 cax(ba)这里，x 被称为乐观 系数经验表明，最佳乐观系数 x 恰好使得(ca)是(bc)和(ba)的等比中项据此可得， 最佳乐观系数 x_. 答案 51 2 解析 由题意得 x，(ca)2(bc)(ba)， ca ba bc(b
19、a)(ca)， (ca)2(ba)2(ba)(ca)， 两边同除以(ba)2，得 x2x10， 解得 x.0x1，x. 1 5 2 51 2 15物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是 T0，经过一 定时间 t(单位：min)后的温度是 T，则，其中 Ta称为环境温度，h 称 0 1 () 2 t h aa TTTT 为半衰期现有一杯用 85 热水冲的速溶咖啡，放在 21 的房间中，如果咖啡降到 37 需 要 16 min，那么这杯咖啡要从 37 降到 29 ，还需要_ min. 答案 8 解析 由题意知 Ta21 . 令 T085 ，T37 ， 得h8. 16 1
20、 3721(8521), 2 h 令 T037 ，T29 ，则t8. 8 1 2921(3721), 2 t 16.某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似 满足如图所示的曲线 (1)写出服用毒品后 y 与 t 之间的函数关系式； (2)据进一步测定， 每毫升血液中含毒量不少于 0.50 微克时会有重度躁动状态， 求服用毒品后 重度躁动状态的持续时间 解 (1)由题中图象，设 yError! 当 t1 时，由 y4，得 k4； 由 1a4，得 a3.所以 yError! ( 1 2) (2)由 y0.50，得Error!或Error! 解得 t4， 1 8 因此服用毒品后重度躁动状态持续 4 (小时) 1 8 31 8