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1、第第 2 课时 函数的定义域与值域课时 函数的定义域与值域 题型一 函数的定义域 命题点 1 求函数的定义域 例 1 (1)(2018江苏)函数 f(x)的定义域为_log2x1 答案 x|x2 解析 由 log2x10，即 log2xlog22，解得 x2， 满足 x0， 所以函数 f(x)的定义域为x|x2log2x1 (2)函数 f(x) ln的定义域为_ 1 x x23x2x23x4 答案 4,0)(0,1) 解析 由Error!Error! 解得4x2a， B x|2a 1 2) 解 (1)(配方法) 因为 y3x2x23 2 ， (x 1 6) 23 12 所以函数 y3x2x2
2、在1,3上单调递增 当 x1 时，原函数取得最小值 4； 当 x3 时，原函数取得最大值 26. 所以函数 y3x2x2(x1,3)的值域为4,26 (2)(分离常数法) y3， 3x1 x2 3x27 x2 7 x2 因为0，所以 33， 7 x2 7 x2 所以函数 y的值域为y|y3 3x1 x2 (3)(换元法) 设 t，t0，则 x1t2，1x 所以原函数可化为 y1t24t(t2)25(t0)，所以 y5， 所以原函数的值域为(，5 (4)(基本不等式法) y 2x2x1 2x1 x2x11 2x1 xx ， 1 2x1 1 2 1 2 x1 2 1 2 因为 x ，所以 x 0，
3、 1 2 1 2 所以 x 2， 1 2 1 2 x1 2 (x 1 2) 1 2 (x 1 2) 2 当且仅当 x ，即 x时取等号 1 2 1 2 x1 2 12 2 所以 y ，即原函数的值域为.2 1 2 21 2，) 思维升华 配方法、 分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法， 但要注意各种方法所适用 的函数形式，还要注意函数定义域的限制换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归， 把无理式转化为有理式来解二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用基本不等式 求解 跟踪训练 2 (1)函数 y2x的值域是_x1 答案 15 8 ，) 解析 令t，则 t0 且 xt211，x1 于
4、是 y2x2t2t22 2 .x1 (t 1 4) 15 8 又因为 t0，所以 y. 15 8 因此值域为. 15 8 ，) (2)函数 f(x)的值域是_ 1e2x 1e2x 答案 (1,1) 解析 由 y，得 e2x0， 1e2x 1e2x 1y 1y 解得10 时， x1 x24x7 x1 x122x14 ，当且仅当 x1 时取等号 1 x1 4 x12 1 6 00 且 a1)的值域是4， )， 则实数 a 的取值范围是_ 答案 (1,2 解析 当x2时， x64， 要使得函数f(x)的值域为4， )， 只需当x2时， f(x)3logax 的值域在区间4，)内即可，故 a1，所以
5、3loga24，解得 10 且 a1)的定义域和值域都是1,0，则 ab_. 答案 3 2 解析 当 a1 时，Error!Error!该方程组无解； 当 00， 由 f(x)的图象可知，当 x(2,8时，f(x)0. 10设函数 f(x)Error!Error!若 a0，则 f(x)的最大值为_；若 f(x)无最大值，则实数 a 的 取值范围是_ 答案 1 (，1) 解析 函数 yx22x 与函数 yx 的图象相交于点(0,0)，(1,1)，结合分段函数 f(x)的 图象知(图略)， 当 a1) x24x5 x1 解 (1)方法一 (换元法) 令t，则 t0 且 x，12x 1t2 2 于是
6、 f(t)t (t1)21. 1t2 2 1 2 由于 t0，所以 f(t) ， 1 2 故函数的值域是. (， 1 2 方法二 (单调性法) 容易判断 f(x)为增函数，而其定义域应满足 12x0，即 x ， 1 2 所以 f(x)f ， ( 1 2) 1 2 即函数的值域是. (， 1 2 (2)y1. 1x2 1x2 2 1x2 因为 1x21，所以 00)， 所以 y t124t15 t t22t2 t t 2(t0) 2 t 因为 t 22， 2 t t2 t 2 当且仅当 t，即 x1 时，等号成立，22 故所求函数的值域为22，)2 12已知函数 f(x)12axa2x(a1)
7、(1)求函数 f(x)的值域； (2)若 x2,1时，函数 f(x)的最小值为7，求 a 的值及函数 f(x)的最大值 解 (1)f(x)(ax1)22. 因为 ax0，所以 f(x)1，所以当 x2,1时，a2axa， 于是(a1)22f(x)(a21)22， 因此(a1)227，得 a2(a4 舍去)， 此时 f(x)的最大值为(221)22. 7 16 13定义新运算“” ： 当 mn 时，mnm； 当 m1，函数 f(x)x33axa2，g(x)10x1. (1)求函数 f(x)在 x0,1上的值域 M； (2)若对x10,1，x20,1，使得 g(x2)f(x1)成立，求 a 的取值
8、范围 解 (1)f(x)3x23a3(x2a) 因为 x0,1且 a1， 所以 f(x)0，函数 f(x)为0,1上的减函数， 于是 f(x)minf(1)a23a1，f(x)maxf(0)a2， 从而 Ma23a1，a2 (2)g(x)10x1 在 x0,1上的值域 N1,9 由题意知，MN，即Error!Error! 解得 2a3，故 a 的取值范围为2,3 15.如图为一木制框架，框架的下部是边长分别为 x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三 角形， 要求框架围成的总面积为 4 m2， 设用 x 表示 y 的表达式为 f(x)， 则 f(x)_. 答案 (0x4) 4 x x 4 解析 由已知 xy x 4， 1 2 x 2 y ，即 f(x) . 4 x x 4 4 x x 4 又Error!Error!得 0x4. 16函数 y的值域为_x3216x524 答案 10，) 解析 函数 yf(x)的几何意义是平面内一点 P(x,0)到两点 A(3,4)和 B(5,2)的距离之和 由平 面几何知识，找出点 B 关于 x 轴的对称点 B(5，2)连结 AB，交 x 轴于一点 P，点 P 即为所求的最小值点，yminAB10.所以函数的值域为10，)8262