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1、2.5 指数与对数 指数与对数 考情考向分析 幂的运算是解决与指数函数有关问题的基础，对数的概念和运算性质，换 底公式等是研究指数函数、对数函数的前提，在高考中涉及面比较广 1根式 (1)根式的概念 根式的概念符号表示备注 如果 axn，那么 x 叫做 a 的 n 次实数方根n1 且 nN* 当 n 为奇数时，正数的 n 次实数方根是一个正数， 负数的 n 次实数方根是一个负数 n a 0 的 n 次实数方根是 0 当 n 为偶数时，正数的 n 次实数方根有两个，它们 互为相反数 n a 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 Error!(n 为偶数)； n an ()na(注意 a 必须使有
2、意义) n a n a 2有理指数幂 (1)分数指数幂的表示 正数的正分数指数幂是(a0，m，nN*，n1)； m n a n am 正数的负分数指数幂是(a0，m，nN*，n1)； m n a - 1 m n a 1 n am 0 的正分数指数幂是 0,0 的负分数指数幂无意义 (2)有理指数幂的运算性质 asatast(a0，t，sQ)； (as)tast(a0，t，sQ)； (ab)tatbt(a0，b0，tQ) 3对数的概念 (1)对数的定义 一般地，如果 a(a0，a1)的 b 次幂等于 N，即 abN，那么称 b 是以 a 为底 N 的对数， 记作 blogaN，其中，a 叫做对数
3、的底数，N 叫做真数 底数的对数是 1，即 logaa1,1 的对数是 0，即 loga10. (2)几种常见对数 对数形式特点记法 一般对数底数为 a(a0 且 a1)logaN 常用对数底数为 10lg N 自然对数底数为 eln N 4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 N(a0 且 a1，N0)； logaN a logaaNN(a0 且 a1) (2)对数的重要公式 换底公式：logbN(a，b 均大于零且不等于 1，N0)； logaN logab logab(a，b 均大于零且不等于 1) 1 logba (3)对数的运算法则 如果 a0 且 a1，M0，N0，那么 log
4、a(MN)logaMlogaN； logalogaMlogaN； M N logaMnnlogaM(nR)； logaM.log m n a M n m 概念方法微思考 根据对数的换底公式， (1)思考 logab，logba 的关系； (2)化简.log m n a b 提示 (1)logablogba1； (2) logab.log m n a b n m 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)()na(nN*)( ) n an n a (2)分数指数幂可以理解为 个 a 相乘( ) m n a m n (3)2a2b2ab.( ) (4)若 MN0，则
5、 loga(MN)logaMlogaN.( ) (5)若 lg x21，则 x.( )10 题组二 教材改编 2P61 例 2计算： . 12 2 23 0 9273 ( 9.6) 482 - + - 答案 3 2 3P80 习题 T6计算：(lg 5)2lg 2lg 50 . 答案 1 4P80 习题 T12已知 lg 6a，lg 12b，那么用 a，b 表示 lg 24 . 答案 2ba 题组三 易错自纠 5要使(a4)0有意义，则 a 的取值范围是 4 a2 答案 2,4)(4，) 解析 要使原式有意义，则满足Error! 解得 2a4. 6有下列结论： lg(lg 10)0； lg(l
6、n e)0； 若 lg x1，则 x10； 若 log22x，则 x1； 若 logmnlog3m2，则 n9. 其中正确结论的序号是 答案 解析 lg 101，则 lg(lg 10)lg 10； lg(ln e)lg 10； 底的对数等于 1，则 x10； 底的对数等于 1； logmn，log3m，则2， lg n lg m lg m lg 3 lg n lg 3 即 log3n2，故 n9. 题型一 指数幂的运算 1.(a0)的值是 a3 a 5 a4 答案 17 10 a 解析 a3 a 5 a4 14173 3 2510 41 52 . a aa aa - = 2化简：(a0) .
7、41 223 3 33 3 22 53 3 33 82 42 aa bbaa a a aa baba - - - + 答案 a2 解析 原式 1111121 33 3333332 1111111 22 3333352 ()(2) 2() ()(2)(2)() aababa a a aabbaa 5 111 6 2 333 111 336 (2). 2 aa aaba abb 3已知 xx13，则的值为 33 22 xx - + 答案 2 5 解析 x2x15， 11 2 22 ()xx - + 11 22 5,xx - += 3311 1 2222 ()(1)xxxxxx - - +=+-+
8、(31)2.55 4已知 a，b 是方程 x26x40 的两根，且 ab0，则 . a b a b 答案 5 5 解析 由已知得，a3，b3，55 所以 ab6，ab4， 所以 2 . ( a b a b) ab2 ab ab2 ab 62 4 62 4 1 5 因为 ab0，所以，所以.ab a b a b 5 5 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算， 还应注意： 必须同底数幂相乘，指数才能相加； 运算的先后顺序 (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数 (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 题型二
9、对数的运算 1设 2a5bm，且 2，则 m . 1 a 1 b 答案 10 解析 由已知，得 alog2m，blog5m， 则 logm2logm5logm102. 1 a 1 b 1 log2m 1 log5m 解得 m.10 2计算： . 1 2 1 lglg 25100 4 - - 答案 20 解析 原式(lg 22lg 52)lg10 1 2 100 ( 1 22 52) lg 1021021020. 3计算： . 1log6 3 2log62log618 log64 答案 1 解析 原式 12log63log6 3 2log66 3log 66 3 log64 12log 63lo
10、g6 3 21log6 3 2 log64 1. 21log6 3 2log62 log66log63 log62 log62 log62 思维升华 对数运算的一般思路 (1)拆 ： 首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简， 然后利用对数运算性质化简合并 (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对 数真数的积、商、幂的运算 题型三 指数与对数的综合运算 例 (1)已知均不为 1 的正数 a，b，c 满足 axbycz，且 0，求 abc 的值 1 x 1 y 1 z 解 令 axbyczk. 由已知 k0 且 k1，
11、 于是 xlg aylg bzlg clg k， 故 ， ， . 1 x lg a lg k 1 y lg b lg k 1 z lg c lg k 因为 0， 1 x 1 y 1 z 所以0， lg alg blg c lg k 即0. lgabc lg k 故 lg(abc)0，得 abc1. (2)设 logaC，logbC 是方程 x23x10 的两根，求的值loga b C 解 由题意，得Error!即Error! 于是有Error! (logCalogCb)2(logCalogCb)24logCalogCb3245， 故 logCalogCb . 5 于是 1 .loga b C
12、(log Ca b) 1 logCalogCb 5 5 思维升华 指数、对数的综合运算，要充分利用对数的定义、指数、对数的运算性质，建立已 知条件和所求式子间的联系 跟踪训练 (1)若 alog231，blog351，则 9a5b . 答案 7 解析 alog32，blog53，于是 3533 log 2log 32log 2log 4 95953333437. ab (2)方程 3x1的实数解为 3 3x 5 6 答案 xlog32 解析 原方程可化为 2(3x)253x180， 即(3x2)(23x9)0,3x2(23x9 舍去)， 得 xlog32. (3)若 log2log3xlog3
13、log2ylog2log2z1，则 x2，y3，z4从小到大的排列为 答案 x20)，则 a2aa2a1的值为 1 a 答案 11 13 解析 由 a 3，得 29， 1 a (a 1 a) 即 a229，故 a2a211. 1 a2 又(aa1)2a2a2211213， 且 a0，所以 aa1.13 于是 a2aa2a111.13 4设 alog310，blog37，则 3ab . 答案 10 7 解析 alog310，blog37，3a10,3b7， 3ab. 3a 3b 10 7 5lg22lg 250lg25lg 40 . 答案 1 解析 lg22lg 250lg25lg 40 lg2
14、2(1lg 2)2(2lg 21) (lg 1 000 4 ) lg22(32lg 2)(lg222lg 21)(2lg 21)1. 6已知 alog32，那么 log382log36 用 a 表示为 答案 a2 解析 log382log36log3232(log32log33) 3log322(log321)3a2(a1)a2. 7若 3x4y36，则 . 2 x 1 y 答案 1 解析 3x4y36，两边取以 6 为底的对数，得 xlog63ylog642， log63， log64，即 log62， 2 x 2 y 1 y 故 log63log621. 2 x 1 y 8设 f(x)Er
15、ror!则 f(f(2) . 答案 1 2 解析 因为 f(2)22 ， 1 4 所以 f(f(2)f 11 . ( 1 4) 1 4 1 2 1 2 9若 a0，且 ax3，ay5，则 . 2 2 y x a + 答案 9 5 解析 11 2 22 222 ()()359 5. y x xy aaa + = 10(2018徐州、连云港、宿迁检测)设函数 f(x)Error!则 f(f(1)的值为 答案 2 解析 因为 f(1)41 ， 1 4 所以 f(f(1)f log22. ( 1 4) 1 4 11化简下列各式： (1) 0.50.12 30； (2 7 9) 2 3 10 2 27
16、- 37 48 (2) 7 3 3331 2 .aaaa - 解 (1)原式3 1 2 25 9 1 0.12 2 3 64 27 - 37 48 1003100. 5 3 9 16 37 48 (2)原式 7331 33 2222 aaaa - . 3 a2 3 a2 4 3 a 12若 lg(xy)lg(x2y)lg 2lg xlg y，求 的值 x y 解 由已知得 lg(xy)(x2y)lg(2xy)， 则(xy)(x2y)2xy，即 x2xy2y20， 也即(x2y)(xy)0. 因为 x0，y0，所以 xy0，于是有 x2y，即 2. x y 13若 a1，b1，b1. 又(aba
17、b)2a2ba2b28， a2ba2b6， (abab)2a2ba2b24， abab2. 14已知 loga18p，loga24q，用 p，q 表示 loga1.5. 解 依题意有Error!即Error! 变形为Error!解得Error! 所以 loga1.5logaloga3loga2 3 2 ， 3pq 5 2qp 5 4p3q 5 即 loga1.5. 4p3q 5 15已知 ab1，若 logablogba ，abba，则 ab . 5 2 答案 8 解析 ab1，logba1， 又由 logablogba ，得logba ， 5 2 1 logba 5 2 可得 logba2，ab2， 又 abba，b2b， 2 b b b2(b0 舍去)，a4，故 ab8. 16已知 m，n 为正整数，a0，a1，且 loga(mn)logamlogan，求 m，n 的值 解 loga(mn)logamloganloga(mn) 比较真数得 mnmn，即(m1)(n1)1. m，n 为正整数，Error!解得Error!