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1、2.3 函数的奇偶性与周期性 函数的奇偶性与周期性 考情考向分析 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期 性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以填空题为主，中等 偏上难度 1函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数 关于 y 轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数 ： 对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常
2、数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时， 都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期 概念方法微思考 1如果已知函数 f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数 f(x)g(x)，f(x)g(x)的奇偶性有什么结论？ 提示 在函数 f(x)，g(x)公共定义域内有 ： 奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶， 奇偶奇 2已知函数 f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？ (1)f(xa)f(x)(a0) (2)f(xa)(a0) 1 fx (
3、3)f(xa)f(xb)(ab) 提示 (1)T2|a| (2)T2|a| (3)T|ab| 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数 yx2，x(0，)是偶函数( ) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点( ) (3)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)关于直线 xa 对称( ) (4)若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ，n0)也是函数的周期( ) 题组二 教材改编 2P45 习题 T11已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)x(1x)，则 f(1) _. 答案 2 解析 f(1)122，
4、又 f(x)为奇函数， f(1)f(1)2. 3P43 练习 T4函数 yf(x)为(，)上的偶函数，且 f(|a|)3，则 f(a)_. 答案 3 解析 若 a0，则 f(a)f(a)f(|a|)3； 若 a0， 则 f(x)(x)2xx2xf(x)； 当 x0 时，x0 时，x0 时， f(x)x2ax1a， 若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 a 的取值范围是_ 答案 1,0 解析 因为函数 f(x)是 R 上的奇函数， 所以 f(0)0， 若函数 f(x)为 R 上的减函数， 则满足当 x0 时，函数为减函数，且1a0，此时Error! 即Error!即1a0. 命题点 3 利用函
5、数的性质解不等式 例 4 (1)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在0，)上单调递增，若 f(ln x)f(2x1)成立的x的取值范围为_ 1 1x2 答案 (1 3，1) 解析 由已知得函数 f(x)为偶函数，所以 f(x)f(|x|)， 由 f(x)f(2x1)，可得 f(|x|)f(|2x1|) 当 x0 时，f(x)ln(1x)， 1 1x2 因为 yln(1x)与 y在(0，)上都单调递增， 1 1x2 所以函数 f(x)在(0，)上单调递增 由 f(|x|)f(|2x1|)，可得|x|2x1|， 两边平方可得 x2(2x1)2，整理得 3x24x1f(x)，则实数 x 的取值范围
6、是_ 答案 (3,2) 解析 g(x)是奇函数， 当 x0 时，xf(x)，可得 6x2x， 即 x2x60.给出下列命题： fx1fx2 x1x2 f(3)0； 直线 x6 是函数 yf(x)的图象的一条对称轴； 函数 yf(x)在9，6上为增函数； 函数 yf(x)在9,9上有四个零点 其中所有正确命题的序号为_ 答案 解析 f(36)f(3)f(3) 又 f(x)是 R 上的偶函数，所以 f(3)0，故正确； 由知 f(x6)f(x)，所以 f(x)的周期为 6. 又因为 f(x)是 R 上的偶函数，所以 f(x6)f(x)， 而 f(x)的周期为 6，所以 f(x6)f(6x)， f(
7、x)f(x6)， 所以 f(6x)f(6x)，所以直线 x6 是函数 yf(x)的图象的一条对称轴故正确； 当 x1， x20,3， 且 x1x2时， 都有0， 所以函数 yf(x)在0,3上为增函数 因为 f(x) fx1fx2 x1x2 是 R 上的偶函数， 所以函数 yf(x)在3,0上为减函数， 而 f(x)的周期为 6， 所以函数 yf(x) 在9，6上为减函数故错误； f(3)0，f(x)的周期为 6，所以 f(9)f(3)f(3)f(9)0，所以函数 yf(x)在9,9上有 四个零点故正确 二、函数性质的综合应用 例 2 (1)(2018全国改编)已知 f(x)是定义域为(，)的
8、奇函数，满足 f(1x)f(1 x)若 f(1)2，则 f(1)f(2)f(3)f(50)_. 答案 2 解析 f(x)是奇函数，f(x)f(x)， f(1x)f(x1)f(1x)f(1x)， f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)， f(x4)f(x2)f(x)f(x)， 函数 f(x)是周期为 4 的周期函数 由 f(x)为奇函数且定义域为 R 得 f(0)0， 又f(1x)f(1x)， f(x)的图象关于直线 x1 对称， f(2)f(0)0，f(2)0. 又 f(1)2，f(1)2， f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200， f(1)f(2)f(3
9、)f(4)f(49)f(50) 012f(49)f(50)f(1)f(2)202. (2)(2018南京、盐城模拟)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，)上是单调增 函数如果实数 t 满足 f(ln t)f 2f(1)，那么 t 的取值范围是_ (ln 1 t) 答案 1 e，e 解析 f(ln t)f f(ln t)f(ln t) (ln 1 t) 2f(ln t)2f(|ln t|)， 于是 f(ln t)f 2f(1)， (ln 1 t) 所以 f(|ln t|)f(1)， 所以|ln t|1，所以1ln t1，所以 te. 1 e (3)(2018扬州期末)已知函数
10、f(x)sin xx，则关于 x 的不等式 f(1x2)f(5x7)75x，即 x25x60 时，x0， f(x)(x)22(x)3 (x22x3)f(x) 由(1)(2)(3)可知，当 xR 时，都有 f(x)f(x)， f(x)为奇函数 4 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 其最小正周期为 4， 且当 x时， f(x) ( 3 2，0) log2(3x1)，则 f(2 021)_. 答案 2 解析 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 其最小正周期为 4， f(2 021)f(45051)f(1) f(1)1，且当 x时， ( 3 2，0) ( 3 2，0) f(x)log
11、2(3x1)， f(1)log23(1)12， f(2 021)f(1)2. 5已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在(，0上是减函数，且 f(1)2，则不等式 f(log2x)2 的 解集为_ 答案 (2，) (0， 1 2) 解析 f(x)是 R 上的偶函数，且在(，0上是减函数，所以 f(x)在0，)上是增函数， 所以 f(log2x)2f(1)f(|log2x|)f(1)|log2x|1log2x1 或 log2x2 或 00 时，f(x)ln x，则 f 的值为_ (f ( 1 e2) 答案 ln 2 解析 由已知可得 f ln 2， ( 1 e2) 1 e2 所以 f f(2) (
12、f ( 1 e2) 又因为 f(x)是奇函数， 所以 f f(2)f(2)ln 2. (f ( 1 e2) 9 奇函数f(x)在区间3,6上是增函数， 且在区间3,6上的最大值为8， 最小值为1， 则f(6)f( 3)的值为_ 答案 9 解析 由于 f(x)在3,6上为增函数，所以 f(x)的最大值为 f(6)8，f(x)的最小值为 f(3)1， 因为 f(x)为奇函数，所以 f(3)f(3)1，所以 f(6)f(3)819. 10 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数， 在区间1,1)上， f(x)Error!其中 aR.若 f ( 5 2) f ，则 f(5a)的值是_ ( 9
13、 2) 答案 2 5 解析 由已知 f f f a， ( 5 2) ( 5 22) ( 1 2) 1 2 f f f . ( 9 2) ( 9 24) ( 1 2) | 2 5 1 2| 1 10 又f f ，则 a，a ， ( 5 2) ( 9 2) 1 2 1 10 3 5 f(5a)f(3)f(34)f(1)1 . 3 5 2 5 11已知函数 f(x)Error!是奇函数 (1)求实数 m 的值； (2)若函数 f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数 a 的取值范围 解 (1)设 x0，所以 f(x)(x)22(x)x22x. 又 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)， 于是 x
14、0，f(x2)对任意 xR 恒成立，则 f(2 023) 1 fx _. 答案 1 解析 因为 f(x)0，f(x2)， 1 fx 所以 f(x4)f(x2)2 f(x)， 1 fx2 1 1 fx 即函数 f(x)的周期是 4， 所以 f(2 023)f(50641)f(1) 因为函数 f(x)为偶函数， 所以 f(2 023)f(1)f(1) 当 x1 时，f(12)，得 f(1). 1 f1 1 f1 由 f(x)0，得 f(1)1，所以 f(2 023)f(1)1. 14(2018如东、丰县联考)已知函数 f(x). 3xa 3x1b (1)当 ab1 时，求满足 f(x)3x的 x
15、的取值集合； (2)若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，存在 tR，使得不等式 f(t22t) 所以 f(x1)f(x2)， 因此 f(x)在 R 上单调递减 因为 f(t22t)2t2k， 即 t22tk0，解得 k1. 所以 k 的取值范围为(1，) 15已知函数 f(x)sin xx，对任意的 m2,2，f(mx2)f(x)0 恒成立，则 x 的取值范 围为_ 答案 (2，2 3) 解析 易知f(x)在R上为单调递增函数， 且f(x)为奇函数， 故f(mx2)f(x)0等价于f(mx2) f(x)f(x)， 则 mx2x， 即 mxx20 对所有 m2,2恒成立， 令 h(m)mx
16、x2， m2,2，此时，只需Error!即可，解得2x . 2 3 16 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(x1)是偶函数， 当 x(2,4)时， f(x)|x3|， 求 f(1)f(2) f(3)f(4)f(2 020)的值 解 因为 f(x)为奇函数， f(x1)为偶函数， 所以 f(x1)f(x1)f(x1)， 所以 f(x2) f(x)，所以 f(x4)f(x2)f(x)，所以函数 f(x)的周期为 4， 所以 f(4)f(0)0，f(3)f(1)f(1) 在 f(x1)f(x1)中，令 x1，可得 f(2)f(0)0，所以 f(1)f(2)f(3)f(4)0. 所以 f(1)f(2)f(3)f(4)f(2 020)0.