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1、2.9 函数与方程 函数与方程 考情考向分析 利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断 或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以填空题为主， 也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度 1函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 yf(x)(xD)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)(xD)的零点 (2)三个等价关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点 (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f
2、(b)0)的图象与零点的关系 000)的图象 与 x 轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点 零点个数210 概念方法微思考 函数 f(x)的图象连续不断，是否可得到函数 f(x)只有一个零点？ 提示 不能 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点( ) (2)函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)f(b)0，得 f(x)在 R 上单调递增，又 f(1) 30，因此函 1 e 数 f(x)有且只有一个零点 3P97 习题 T8已知函数 f(x)x2xa 在区间(0,1)上
3、有零点，则实数 a 的取值范围 是 答案 (2,0) 解析 结合二次函数 f(x)x2xa 的图象(图略)知 Error!故Error!所以20，即 f(0)f(1)0)， g(x)xex， h(x)xln x(x0)的零点分别为 x1， x2， x3， 则 x1， x2，x x3的大小关系为 (用“0)，yex，yln x(x0)的图象，如图所示，可知 x20， 所以 f(1)f(8)0，f(1)f(2)log2210， f(3)log2(32)3log2530且a1) 当21，在同一坐标系中画 出函数 ylogax，yxb 的图象，判断两个函数图象的交点横坐标在(2,3)内，函数 f(x)
4、 的零点 x0(n，n1)时，n2. 题型二 函数零点个数的判断 例 2 (1)函数 f(x)Error!的零点个数是 答案 2 解析 当 x0 时，令 x220，解得 x(正根舍去)，所以在(，0上，f(x)有一个零2 点；当 x0 时，f(x)2 0 恒成立， 1 x 所以 f(x)在(0，)上是增函数 又因为 f(2)2ln 20， 所以 f(x)在(0，)上有一个零点， 综上，函数 f(x)的零点个数为 2. (2)函数 f(x)|x2|ln x 在定义域内的零点的个数为 答案 2 解析 由题意可知 f(x)的定义域为(0， )， 在同一直角坐标系中画出函数 y|x2|(x0)， y
5、ln x(x0)的图象，如图所示 由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2. (3)函数 f(x)cos x 在0，)内零点个数为 x 答案 1 解析 当 x时，因为 f(x)sin x，0，sin x0，所以 f(x)0，故 f(x)在0,1(0，1 1 2 x x 上单调递增， 且 f(0)10， 所以 f(x)在0,1内有唯一零点 当 x1 时， f(x) cos x0，故函数 f(x)在0，)上有且仅有一个零点x 思维升华 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点 (2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数 (3)利用函数图象的交点个数判断 跟踪训练 2 (1)已知
6、函数 f(x)Error!则函数 g(x)f(1x)1 的零点个数为 答案 3 解析 g(x)f(1x)1 Error! Error! 易知当 x1 时，函数 g(x)有 1 个零点；当 x1， 函数 f(x)的零点个数即为函数 y1sin 2x(x1)与 y2|ln(x1)|(x1)的图象的交点个数 分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点， 则 f(x)有两个零点 题型三 函数零点的应用 命题点 1 根据函数零点个数求参数 例 3 (1)若函数 f(x)x2ax1 在区间上有零点，则实数 a 的取值范围是 ( 1 2，3) 答案 2，10 3) 解析 由题意知方程 axx21 在上有解
7、， ( 1 2，3) 即 ax 在上有解，设 tx ，x，则 t 的取值范围是. 1 x ( 1 2，3) 1 x ( 1 2，3) 2， 10 3) 所以实数 a 的取值范围是. 2， 10 3) (2)已 知 函 数 f(x)Error!若 函 数 g(x) f(x) m 有 3 个 零 点 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 答案 (0,1) 解析 画出函数 f(x)Error!的图象， 如图所示 由于函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点，结合图象得 00，所以在(2，)内也有零点，不合题意 (2)已知函数若关于 x 的方程 f(x)k 有三个不同的实根， 则实数 k 的 2
8、 1 2 11 ( ) log1 xx f x xx 0)， 22x1 2x1 则 a t21 t1 (t 2 t11) 2，其中 t11， t1 2 t1 由基本不等式，得(t1)2， 2 t1 2 当且仅当 t1 时取等号，故 a22.22 (4)(2018全国改编)已知函数 f(x)Error!g(x)f(x)xa.若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取 值范围是 答案 1，) 解析 令 h(x)xa， 则 g(x)f(x)h(x) 在同一坐标系中画出 yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示 若 g(x)存在 2 个零点， 则 yf(x)的图象与 yh(x)的图象有 2 个交点
9、， 平移 yh(x)的图象可知， 当直线 yxa 过点(0,1)时，有 2 个交点， 此时 1a，a1. 当 yxa 在 yx1 上方，即 a1 时，有 2 个交点，符合题意 综上，a 的取值范围为1，) 1函数 f(x)2x a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是 2 x 答案 (0,3) 解析 因为 f(x)在(0，)上是增函数，则由题意得 f(1)f(2)(0a)(3a)0 的 解 集 是 答案 Error! 解析 f(x)x2axb 的两个零点是2,3. 2,3 是方程 x2axb0 的两根， Error!Error! f(x)x2x6.不等式 af(2x)0， 即
10、(4x22x6)02x2x30，则函数 yf(x)在(a，b)内一定不存在零点 答案 解析 在中，若 a1 时，令 mx20，得 m ，故20.当2a)，函数 g(x)f(x)b 有两个零点，即函数 yf(x)的图 象与直线 yb 有两个交点， 结合图象(图略)可得 ah(a)， 即 aa2， 解得 a1，故 a(，0)(1，) 9定义在 R 上的奇函数 f(x)满足：当 x0 时，f(x)2 019xlog2 019x，则在 R 上，函数 f(x)零 点的个数为 答案 3 解析 因为函数 f(x)为 R 上的奇函数， 所以 f(0)0，当 x0 时，f(x)2 019xlog2 019x 在
11、区间内存在一个零点， (0， 1 2 019) 又 f(x)为增函数， 因此在(0，)内有且仅有一个零点 根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一个零点， 从而函数 f(x)在 R 上的零点个数为 3. 10函数 f(x)Error!aR，当 0x1)在区间2，6内恰有三个零点，则实数 a 的取 ( 1 2) 值范围是 答案 (，2) 3 4 解析 根据题意得 f(x2)2f(x2)2，即 f(x)f(x4)，故函数 f(x)的周期为 4.若方程 f(x) loga(x2)0(a1)在区间2,6内恰有三个不同的实根，则函数 yf(x)和 yloga(x2)的图 象在区间2,6内恰有三个不同的交
12、点，根据图象可知，loga(62)3 且 loga(22)0时， f(x)是增函数， f(3)0， 则函数g(x)f(x)lg|x1| 的零点个数为 答案 3 解析 画出函数 yf(x)和 ylg|x1|的大致图象，如图所示 由图象知，函数 g(x)f(x)lg|x1|的零点的个数为 3. 16 已 知 函 数 f(x)Error!若 f(x) m 有 四 个 零 点 a， b， c， d， 则 abcd 的 取 值 范 围 是 答案 (10,12) 解析 作出函数 f(x)的图象，不妨设 abcd， 则log2alog2b，ab1. 又根据二次函数的对称性，可知 cd7， cdc(7c)7cc2(2c3)，10cd12， abcd 的取值范围是(10,12)