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1、2.8 函数的图象 函数的图象 考情考向分析 函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，题型以填空 题为主，中档难度 1函数的图象 将自变量的一个值 x0作为横坐标，相应的函数值 f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一 个点的坐标，当自变量取遍定义域 A 内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组 成的集合(点集)用符号表述为(x， y)|yf(x)， xA， 所有这些点组成的图形就是函数的图象 2描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期 性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象
2、3图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 yf(x)yf(x)； 关于x轴对称 yf(x)yf(x)； 关于y轴对称 yf(x)yf(x)； 关于原点对称 yax (a0 且 a1)ylogax(a0 且 a1) 关于yx对称 (3)伸缩变换 yf(x)yf(ax) a 1，横坐标缩短为原来的1 a倍，纵坐标不变 yf(x)yaf(x) a 1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变 0 f(x1)f(x2)，则称 f(x) ( x1x2 2 ) 1 2 是(a，b)上的凸函数在下列图象中，为凸函数图象的是_(填序号) 答案 题组三 易错自纠 5把函数 f(x)ln x 的图象上各点的横坐标扩大
3、到原来的 2 倍，得到的图象的函数解析式是 _ 答案 yln(1 2x) 解析 根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为 yln. ( 1 2x) 6下列图象是函数 yError!的图象的是_(填序号) 答案 7若关于 x 的方程|x|ax 只有一个解，则实数 a 的取值范围是_ 答案 (0，) 解析 在同一个坐标系中画出函数 y|x|与 yax 的图象，如图所示 由图象知，当 a0 时，方程|x|ax 只有一个解 题型一 作函数的图象 分别画出下列函数的图象： (1)y|lg(x1)|；(2)y2x11；(3)yx2|x|2；(4)y. 2x1 x1 解 (1)首先作出 ylg x 的图象，然
4、后将其向右平移 1 个单位，得到 ylg(x1)的图象，再 把所得图象在 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方，即得所求函数 y|lg(x1)|的图象，如图所 示(实线部分) (2)将 y2x的图象向左平移 1 个单位， 得到 y2x1的图象， 再将所得图象向下平移 1 个单位， 得到 y2x11 的图象，如图所示 (3)yx2|x|2Error!其图象如图所示 (4)y2，故函数的图象可由 y 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得 1 x1 1 x 到，如图所示 思维升华 图象变换法作函数的图象 (1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函
5、数、 形如 yx 的函数 1 x (2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换 作出，但要注意变换顺序 题型二 函数图象的变换 例 1 作出函数 f(x)x22x3 的图象，然后根据 f(x)的图象作出函数 yf(x)的图象，并说 明两函数图象的关系 解 f(x)x22x3(x1)24， yf(x)的图象是开口向上的抛物线，其顶点为(1，4)，与 x 轴的两个交点是(3,0)，(1,0)， 和 y 轴交点是(0，3)，图象如图(1)，yf(x)的图象如图(2)两图象关于 x 轴对称 引申探究 本例中， 通过图象的变换分别画出函数 yf(x)， yf(x)
6、， yf(|x|)， y|f(x)|， yf(x1)， y f(x)1 的图象，并说明各图象和函数 f(x)图象的关系 解 各个函数图象如下图实线部分所示： 各图象和 yf(x)的图象关系如下： (1)函数 yf(x)的图象与 yf(x)的图象关于 y 轴对称； (2)函数 yf(x)的图象与 yf(x)的图象关于原点对称； (3)函数 yf(|x|)Error!即在 y 轴上及其右侧图象与函数 yf(x)图象相同， 再将 y 轴右侧图象 作 y 轴的对称图象可得 x0. (0， 2) 当 x时，ycos x = 数 k 的取值范围是_ 答案 (0,1 解析 作出函数 yf(x)与 yk 的图
7、象，如图所示，由图可知 k(0,1 (2)已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取 值范围是_ 答案 (1 2，1) 解析 先作出函数 f(x)|x2|1 的图象， 如图所示， 当直线 g(x)kx 与直线 AB 平行时斜率 为 1，当直线 g(x)kx 过 A 点时斜率为 ，故 f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k 的取值范围 1 2 为. ( 1 2，1) 思维升华 (1)注意函数图象特征与性质的对应关系 (2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题 跟踪训练 2 (1)已知函数 f(x)Error!若关于
8、 x 的方程 f(x)k(x1)有两个不同的实数根，则实 数 k 的取值范围是_ 答案 (0，1 2) 解析 在同一个直角坐标系中， 分别作出函数 yf(x)及 yk(x1)的图象， 则函数 f(x)maxf(1) 1， 设 A(1,1)， B(1,0)， 函数 yk(x1)过点 B， 则由图可知， 要使关于 x 的方程 f(x)k(x1) 有两个不同的实数根，则 00 且 a1，bR)的图象如图所示，则 ab 的值是 _ 答案 9 2 解析 由图象可知，函数过点(3,0)，(0，2)， 所以得Error!解得Error! 故 ab . 9 2 (2)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长
9、度，所得图象与曲线 yex关于 y 轴对称，则 f(x) _. 答案 ex1 解析 与yex图象关于y轴对称的函数为yex.依题意， f(x)的图象向右平移一个单位长度， 得 yex的图象 f(x)的图象由 yex的图象向左平移一个单位长度得到 f(x)e(x1) ex1. (3)已知 a0，且 a1，若函数 y|ax2|与 y3a 的图象有两个交点，则实数 a 的取值范围 是_ 答案 (0，2 3) 解析 当 01 时，作出函数 y|ax2|的图象，如图 b，若直线 y3a 与函数 y|ax2|(a1)的图 象有两个交点，则由图象可知 00.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b
10、有三个不同 的根，则 m 的取值范围是_ 答案 (3，) 解析 在同一坐标系中，作 yf(x)与 yb 的图象 当 xm 时， x22mx4m(xm)24mm2， 所以要使方程 f(x)b 有三个不同的根， 则有 4m m20.又 m0，解得 m3. (2)不等式 3sin0，得 x1， 由 f(x)0 的部分是将 x(1,0的部分 周期性向右平移 1 个单位长度得到的，其部分图象如图所示 若方程 f(x)xa 有两个不同的实数根，则函数 f(x)的图象与直线 yxa 有两个不同交点， 故 a0 在 R 上恒成立，求 m 的取值范围 解 (1)令 F(x)|f(x)2|2x2|， G(x)m，
11、画出 F(x)的图象如图所示 由图象可知，当 m0 或 m2 时，函数 F(x)与 G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解； 当 00)，H(t)t2t，t0， 因为 H(t) 2 在区间(0，)上是增函数， (t 1 2) 1 4 所以 H(t)H(0)0. 因此要使 t2tm 在区间(0，)上恒成立，应有 m0，即所求 m 的取值范围为(，0 13已知定义在 R 上的函数 f(x)Error!关于 x 的方程 f(x)c(c 为常数)恰有三个不同的实数 根 x1，x2，x3，则 x1x2x3_. 答案 0 解析 方程f(x)c有三个不同的实数根等价于yf(x)与yc的图象有三个交点，
12、画出函数f(x) 的图象(图略)，易知 c1，且方程 f(x)c 的一根为 0，令 lg|x|1，解得 x10 或 10，故 方程 f(x)c 的另两根为10 和 10，所以 x1x2x30. 14 已 知 函 数 f(x)， g(x) 1， 若 f(x)1 时，由 1x1，解得 x 1 1x 51 2 1 x1 .结合图象可知，满足 f(x) f(x1)g(x2)成立，则实数 k 的取值范围为_ 答案 (， 7 4 9 4，) 解析 对任意的 x1，x2R，都有 f(x1)g(x2)成立，即 f(x)maxg(x)min. 观察的图象可知， 2 1 3 ,1, ( ) log,1, xx x
13、 f x x x - + = 当 x 时，函数 f(x)max . 1 2 1 4 因为 g(x)|xk|x2|xk(x2)|k2|， 所以 g(x)min|k2|，所以|k2| ， 1 4 解得 k 或 k . 7 4 9 4 故实数 k 的取值范围是. (， 7 4 9 4，) 16 已知函数 f(x)Error!若在该函数的定义域0,6上存在互异的 3 个数 x1， x2， x3， 使得 fx1 x1 k，则实数 k 的取值范围是_ fx2 x2 fx3 x3 答案 (0，1 6 解析 由题意知，直线 ykx 与函数 yf(x)的图象至少有 3 个公共点函数 yf(x)的图象如 图所示，由图知 k 的取值范围是. (0， 1 6