2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第六章 数列 6.3含解析.pdf

《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第六章 数列 6.3含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第六章 数列 6.3含解析.pdf（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、6.3 等比数列及其前 等比数列及其前 n 项和项和 考情考向分析 以考查等比数列的通项、 前 n 项和及性质为主， 等比数列的证明也是考查的 热点本节内容在高考中既可以以填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考 查解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查 1等比数列的有关概念 (1)定义 ： 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不 为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示， 定义的表达式为q(nN*，q 为非零常数) an1 an (2)等比中项：如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a

2、 与 b 的等比中项即 G 是 a 与 b 的 等比中项a，G，b 成等比数列G2ab. 2等比数列的有关公式 (1)通项公式：ana1qn1. (2)前 n 项和公式： SnError!Error!. 3等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*) (2)若 mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则 amanapaqa . 2 k (3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a ，anbn，(0)仍然是 1 an 2 n an bn 等比数列 (4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，ank，an2k，an 3k，为等比数列，

3、公比为 qk. 概念方法微思考 1将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列 的公比有何关系？ 提示 仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数 2任意两个实数都有等比中项吗？ 提示 不是只有同号的两个非零实数才有等比中项 3“b2ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？ 提示 必要不充分条件因为 b2ac 时不一定有 a，b，c 成等比数列，比如 a0，b0，c1. 但 a，b，c 成等比数列一定有 b2ac. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)满足 an1qan(nN*，q 为常数)的数列an为等比数列( )

4、 (2)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列( ) (3)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列( ) (4)数列an的通项公式是 anan，则其前 n 项和为 Sn.( ) a1an 1a (5)数列an为等比数列，则 S4，S8S4，S12S8成等比数列( ) 题组二 教材改编 2P54T3已知an是等比数列，a22，a5 ，则公比 q_. 1 4 答案 1 2 解析 由题意知 q3 ，q . a5 a2 1 8 1 2 3 P54T9公比不为 1 的等比数列an满足 a5a6a4a718， 若 a1am9， 则 m 的值为_ 答案 10 解析 由

5、题意得 2a5a618，a5a69， 又 a1am9，a1ama5a6，m10. 题组三 易错自纠 4若 1，a1，a2,4 成等差数列，1，b1，b2，b3,4 成等比数列，则的值为_ a1a2 b2 答案 1 2 解析 1，a1，a2，4 成等差数列， 3(a2a1)41，a2a11. 又1，b1，b2，b3，4 成等比数列，设其公比为 q， 则 b 144，且 b21q20，b22， 2 2 . a1a2 b2 a2a1 b2 1 2 5设 Sn为等比数列an的前 n 项和，8a2a50，则_. S5 S2 答案 11 解析 设等比数列an的公比为 q， 8a2a50，8a1qa1q40

6、. q380，q2， S5 S2 a11q5 1q 1q a11q2 11. 1q5 1q2 125 14 6一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存 1 MB，然后每 3 秒自身复制一次，复制 后所占内存是原来的 2 倍，那么开机_秒，该病毒占据内存 8 GB.(1 GB210 MB) 答案 39 解析 由题意可知， 病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an， 且a12， q2， an 2n， 则 2n8210213，n13. 即病毒共复制了 13 次 所需时间为 13339(秒) 题型一 等比数列基本量的运算 1已知等比数列an满足 a1 ，a3a54(a41)，则 a2_. 1

7、4 答案 1 2 解析 设等比数列an的公比为 q， 由题意知 a3a54(a41)a ， 2 4 则 a 4a440，解得 a42， 2 4 又 a1 ，所以 q38， 1 4 a4 a1 即 q2，所以 a2a1q . 1 2 2(2018全国)等比数列an中，a11，a54a3. (1)求an的通项公式； (2)记 Sn为an的前 n 项和，若 Sm63，求 m. 解 (1)设an的公比为 q，由题设得 anqn1. 由已知得 q44q2，解得 q0(舍去)，q2 或 q2. 故 an(2)n1或 an2n1(nN*) (2)若 an(2)n1，则 Sn. 12n 3 由 Sm63，得(

8、2)m188，此方程没有正整数解 若 an2n1，则 Sn2n1. 由 Sm63，得 2m64，解得 m6. 综上，m6. 思维升华 (1)等比数列的通项公式与前 n 项和公式共涉及五个量 a1，an，q，n，Sn，已知其中 三个就能求另外两个(简称“知三求二”) (2)运用等比数列的前 n 项和公式时，注意对 q1 和 q1 的分类讨论 题型二 等比数列的判定与证明 例 1 已知数列an满足对任意的正整数 n，均有 an15an23n，且 a18. (1)证明：数列an3n为等比数列，并求数列an的通项公式； (2)记 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn. an 3n 解 (1)因为 an

9、15an23n， 所以 an13n15an23n3n15(an3n)， 又 a18，所以 a1350， 所以数列an3n是首项为 5、公比为 5 的等比数列 所以 an3n5n，所以 an3n5n(nN*) (2)由(1)知，bn1 n， an 3n 3n5n 3n ( 5 3) 则数列bn的前 n 项和 Tn1 1121nn n ( 5 3) ( 5 3) ( 5 3) 5 31( 5 3) n 15 3 5n1 23n 5 2 (nN*) 思维升华 判定一个数列为等比数列的常见方法： (1)定义法：若q(q 是非零常数)，则数列an是等比数列； an1 an (2)等比中项法：若 aana

10、n2(nN*，an0)，则数列an是等比数列； 2n1 (3)通项公式法：若 anAqn(A，q 为非零常数)，则数列an是等比数列 跟踪训练 1 设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a11，Sn14an2. (1)设 bnan12an，证明：数列bn是等比数列； (2)求数列an的通项公式 (1)证明 由 a11 及 Sn14an2， 有 a1a2S24a12. a25，b1a22a13. 又Error!Error! ，得 an14an4an1(n2)， an12an2(an2an1)(n2) bnan12an，bn2bn1(n2)， 故bn是首项 b13，公比为 2 的等比数列 (2)

11、解 由(1)知 bnan12an32n1， ， an1 2n1 an 2n 3 4 故是首项为 ，公差为 的等差数列 an 2n 1 2 3 4 (n1) ， an 2n 1 2 3 4 3n1 4 故 an(3n1)2n2(nN*) 题型三 等比数列的综合应用 例 2 (2018扬州模拟)已知各项都是正数的数列an的前 n 项和为 Sn， 且 2Sna an， 数列bn 2 n 满足 b1 ，2bn1bn. 1 2 bn an (1)求数列an，bn的通项公式； (2)设数列cn满足 cn，求 c1c2cn的和 bn2 Sn 解 (1)由题意知 2Sna an， 2 n 2Sn1aan1，

12、2n1 得 2an1aa an1an， 2n12 n 即(an1an)(an1an1)0. 因为an是正数数列， 所以 an1an10，即 an1an1， 所以an是公差为 1 的等差数列 在 2Sna an中，令 n1，得 a11， 2 n 所以 ann. 由 2bn1bn，得 ， bn an bn1 n1 1 2 bn n 所以数列是等比数列，其中首项为 ，公比为 ， bn n 1 2 1 2 所以 n，即 bn . bn n ( 1 2) n 2n (2)由(1)知 Sn， a 1an n 2 n2n 2 所以 cn， bn2 Sn n2 n 2n2n1 1 n2n 1 n12n1 所以

13、 c1c2cn . 1 2 1 n12n1 思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形 (2)等比中项的变形 (3)前 n 项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题 的突破口 跟踪训练 2 (1)已知数列an是等比数列，若 a21，a5 ，则 a1a2a2a3anan1(nN*) 1 8 的最小值为_ 答案 2 解析 由已知得数列an的公比满足 q3 ， a5 a2 1 8 解得 q ，a12，a3 ， 1 2 1 2 故数列anan1是以 2 为首项，公比为 的等比数列， a2a3 a1a2 1 4 a1a2a2a

14、3anan1 21(1 4) n 11 4 . 8 31( 1 4) n 2， 8 3) (2)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 ，则_.(n2，且 nN*) S3 S6 8 9 an1 anan1 答案 1 2 解析 很明显等比数列的公比 q1， 则由题意可得 ， S3 S6 a1(1q3) 1q a1(1q6) 1q 1 1q3 8 9 解得 q ， 1 2 则 . an1 anan1 an1q2 an1qan1 q2 q1 1 4 1 21 1 2 等差数列与等比数列 关于等差(比)数列的基本运算在高考试题中频繁出现，其实质就是解方程或方程组，需要认 真计算，灵活处理已知条件

15、例 (1)已知等差数列an的首项和公差均不为 0， 且满足 a2， a5， a7成等比数列， 则a 3a6a11 a1a8a10 的值为_ 答案 13 14 解析 已知等差数列an的首项和公差均不为 0，且满足 a2，a5，a7成等比数列， a a2a7， (a14d)2(a1d)(a16d)， 10d2a1d， d0， 10da1， 2 5 a3a6a11 a1a8a10 . 3a117d 3a116d 30d17d 30d16d 13 14 (2)已知an为等比数列，数列bn满足 b12，b25，且 an(bn1bn)an1，则数列bn的 前 n 项和为_ 答案 (nN*) 3n2n 2

16、解析 b12，b25，且 an(bn1bn)an1， a1(b2b1)a2，即 a23a1， 又数列an为等比数列，数列an的公比 q3， bn1bn3， an1 an 数列bn是首项为 2，公差为 3 的等差数列， 数列bn的前 n 项和为 Sn2n3(nN*) nn1 2 3n2n 2 (3)(2018苏州调研)若数列an的前 n 项和 Sn满足 Sn (1an)(nN*)， 则 a4的值为_ 3 2 答案 81 解析 Sn (1an)(nN*)， 3 2 当 n1 时，a13， 当 n2 时，anSnSn1 (anan1)， 3 2 即3， an an1 an是首项为3，公比为 3 的等

17、比数列 an3n.a481. (4)(2018江苏省南京市秦淮中学模拟)已知数列an中， a11， a23， 若 an22an1an0 对任意 nN*都成立，则数列an的前 n 项和 Sn_. 答案 Error!Error! 解析 a11，a23，an22an1an0 对任意 nN*都成立， 可得 an2an1(an1an)，a2a14. 则数列an1an是等比数列，首项为 4，公比为1. an1an4(1)n1. anan14(1)n2， 当 n1 时，a11， 当 n2k1(kN*)时，a2k1a2k4， SnS2k1 a1a2a3a2ka2k1 a1(4k)32n， 当 n2k(kN*)

18、时，a2ka2k14， SnS2k4k2n. SnError!Error! 1已知等比数列an满足 a11，a3a716，则该数列的公比为_ 答案 2 解析 根据等比数列的性质可得 a3a7a a q8q81624， 2 52 1 所以 q22，即 q . 2 2 (2018苏州调研)设各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn， 已知 a26， a33a112， 则 S5_. 答案 242 解析 由题意得Error!Error!a12，q3. 所以 S5242. 2135 13 3 (2018江苏省南京金陵中学月考)设各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn， 若 a5a2 7

19、8，S313，则数列an的通项公式为 an_. 答案 3n1(nN*) 解析 因为数列an为等比数列，a5a278，S313， 所以Error!Error!解得Error!Error!或Error!Error!(舍去)， 所以 an3n1(nN*) 4等比数列an的前 n 项和为 Sn32n1r，则 r 的值为_ 答案 1 3 解析 当 n1 时，a1S13r， 当 n2 时，anSnSn132n132n3 32n3(321)832n3832n231 9n1， 8 3 即等比数列an的首项为 ，公比为 9， 8 3 所以 3r ，即 r . 8 3 1 3 5已知等比数列an的公比为2，且 S

20、n为其前 n 项和，则_. S4 S2 答案 5 解析 由题意可得， 1(2)25. S4 S2 a1124 12 a1122 12 6古代数学著作九章算术有如下问题 ： “今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织 几何？” 意思是 ： “一女子善于织布， 每天织的布都是前一天的 2 倍， 已知她 5 天共织布 5 尺， 问这女子每天分别织布多少？”根据问题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于 30，该女 子所需的天数至少为_ 答案 8 解析 由题意知其每天织布尺数构成公比为 2 的等比数列，可设该女子第一天织布 x 尺， 则5，解得 x， x125 12 5 31 所以前 n 天织布的尺数为

21、(2n1)， 5 31 由(2n1)30，得 2n187， 5 31 又因为 n 为正整数，所以 n 的最小值为 8. 7若正项等比数列an满足 anan122n(nN*)，则 a6a5的值是_ 答案 162 解析 设正项等比数列an的公比为 q0， anan122n(nN*)， 4q2，解得 q2， an1an2 anan1 22n1 22n a 222n，an0，解得 an， 2 n 21 2 2 n 则 a6a516. 11 2 2 9 2 22 8已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 a12 018，a2a42a3，则 S2 019_. 答案 2 018 解析 a2a42a3，

22、a2a42a30，a22a2qa2q20， q22q10，解得 q1. a12 018， S2 019 a11q2 019 1q 2 018 112 019 2 2 018. 9已知各项均为正数的等比数列an满足 a1 ，且 a2a82a53，则 a9_. 1 2 答案 18 解析 a2a82a53，a 2a53， 2 5 解得 a53(舍负)，即 a1q43， 则 q46，a9a1q8 3618. 1 2 10设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a3a112a ，且 S4S12S8，则 _. 2 5 答案 8 3 解析 a3a112a ，a 2a ，q42， 2 52 72 5 S4S

23、12S8， ， a11q4 1q a11q12 1q a11q8 1q 1q41q12(1q8)， 将 q42 代入计算可得 . 8 3 11(2018全国)已知数列an满足 a11，nan12(n1)an.设 bn. an n (1)求 b1，b2，b3； (2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由； (3)求an的通项公式 解 (1)由条件可得 an1an， 2n1 n 将 n1 代入得 a24a1，而 a11，所以 a24. 将 n2 代入得 a33a2，所以 a312. 从而 b11，b22，b34. (2)bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列 由条件可得，即 bn12bn， a

24、n1 n1 2an n 又 b11，所以bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列 (3)由(2)可得2n1， an n 所以 ann2n1(nN*) 12已知数列an满足 a11，a22，an2，nN*. anan1 2 (1)令 bnan1an，证明：bn是等比数列； (2)求数列an的通项公式 (1)证明 b1a2a11. 当 n2 时，bnan1anan an1an 2 (anan1) bn1， 1 2 1 2 bn是以 1 为首项， 为公比的等比数列 1 2 (2)解 由(1)知 bnan1an n1， ( 1 2) 当 n2 时， ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 11

25、 n2 ( 1 2) ( 1 2) 11 1(1 2) n1 1(1 2) 2 31( 1 2) n1 n1. 5 3 2 3( 1 2) 当 n1 时， 111a1， 5 3 2 3 ( 1 2) an n1(nN*) 5 3 2 3( 1 2) 13等比数列an的首项为 ，公比为 ，前 n 项和为 Sn，则当 nN*时，Sn的最大值与 3 2 1 2 1 Sn 最小值的比值为_ 答案 10 7 解析 等比数列an的首项为 ，公比为 ， 3 2 1 2 an n1， 3 2 ( 1 2) Sn1 n. 3 21( 1 2) n 1(1 2) ( 1 2) 当 n 为奇数时，Sn1 n随着 n

26、 的增大而减小，则 11 024 的最小 n 的值为_ 答案 9 解析 由数列an的前 n 项和为 Sn2n12， 则当 n2 时，anSnSn12n122n22n， a1S12，满足上式， 所以 bnlog2(a )log2a log22n2n， 2 n 2 n a 2 n 2 n a 所以数列bn的前 n 和为 Tn n22n 2 212n 12 n(n1)2n12， 易知当 nN*时，Tn随着 n 的增大而增大 又当 n9 时，T991021021 1121 024， 当 n8 时，T8892925821 024 的最小 n 的值为 9. 15 已知等比数列an的各项均为正数且公比大于

27、1， 前 n 项积为 Tn， 且 a2a4a3， 则使得 Tn1 的 n 的最小值为_ 答案 6 解析 an是各项均为正数的等比数列， 且a2a4a3， a a3， a31.又q1， a11(n3)， TnTn1(n4， nN*)， T11，故 n 的最小值为 6. 5 3 16在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一 次“扩展” 将数列 1,2 进行“扩展” ，第一次得到数列 1,2,2；第二次得到数列 1,2,2,4,2；. 设第n次 “扩展” 后得到的数列为1， x1， x2， xt,2， 并记anlog2(1x1x2xt2)， 其中t2n1， nN*，求数列an的通项公式 解 anlog2(1x1x2xt2)， 所以 an1log21(1x1)x1(x1x2)xt(xt2)2 log2(12x x x x 22)3an1， 3 13 23 33 t 所以 an1 3， 1 2 (a n1 2) 又 a1 log24 ， 1 2 1 2 3 2 所以数列是一个以 为首项，以 3 为公比的等比数列， a n1 2 3 2 所以 an 3n1，所以 an(nN*) 1 2 3 2 3n1 2