lesson7（微分方程模型）.ppt

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1、连续型模型,一、微分方程模型建模步骤 二、微分方程模型 三、案例分析,一、微分方程模型建模步骤,（1）建模步骤 （2）关于建模步骤的一个例子 （3）建立微分方程的其他方法,1、建模步骤(1),1、翻译或转化： 在实际问题中许多表示导数的常用词，如 “速率”、增长”(在生物学以及人口问题研究中)， “衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经 济学中)等 2、建立瞬时表达式： 根据自变量有微小改变t时，因变量的增 量W，建立起在时段t上的增量表达式，令 t 0，即得到 的表达式,建模步骤(2),3、配备物理单位： 在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位 4、确定条件： 这些条件是关于系统在某

2、一特定时刻或边界 上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确 定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学 陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。,2、关于建模步骤的一个例子,例1：某人的食量是10467焦天，其中5038焦 天，用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在 健身训练中，他所消耗的热量大约是69焦 公斤.天乘以他的体重 (公斤)假设以脂肪形 式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪台 热量41868焦。试研究此人的体重随时间变 化的规律,3、例子分析,1、翻译或转化： 2、配备物理单位： 3、建立表达式： 4、确定条件：,1、“每天”：体重的变化输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈

3、代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗(WPE) 2、上述陈述更好的表示结构式： 体重的变化天=净吸收量天一WPE天 其中： 净吸收量天10467 5038 5429（焦天) 净输出量天69(焦公斤天)W(公斤 69W(焦天) 3、体重的变化天 (公斤天),3、例子分析,1、翻译或转化： 2、配备物理单位： 3、建立表达式： 4、确定条件：,有些量是用能量(焦)的形式给出的，而另外 一些量是用重量的形式(公斤)给出，考虑单位 的匹配，利用,单位匹配,3、例子分析,1、翻译或转化： 2、配备物理单位： 3、建立表达式： 4、确定条件：,建立表达式,4、建立微分方程的其他方法,1、按变

4、化规律直接列方程，如： 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等 学科中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的 放射规律等。对某些实际问题直接列出微分方程 2、模拟近似法，如： 在生物、经济等学科中，许多现象所满足的 规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需 根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设， 在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律， 然后利用适当的数学方法得出微分方程。,5、一个考古问题,（1）问题分析与模型的建立,1、,2、,（2）解,（3）一个事实,6、堂上问答,（1）问题分析,（2）模型建立,1、要注意体积：,2、模型：,3、解：,4、流完的时间：,连续型模型,一、微分方程模

5、型建模步骤 二、微分方程模型 三、案例分析,微分方程模型,一、几何问题 二、化学问题,一、几何问题,1、速降线问题 2、追线问题,1、速降线问题,历史背景 问题： 确定一个连接二定点A、B的曲线，使 质点在这曲线上用最短的时间由A滑至B点 (介质的摩擦力和阻力忽略不计)。,速降线问题实验,速降线是否连接A和B的直线段？,X,牛顿的实验（1630年） 在铅垂平面内，取同样的两个球，其中一个 沿圆弧从A滑到B，另一个沿直线从A滑到B。发 现沿圆弧的球先到B。伽利赂也曾研究过这个问 题，他认为速阵线是圆弧线。,坐标系的建立,x,y,O,模型的建立,以s表示曲线从A点算起到P(x，y)的弧长 几个表达

6、式： （1）速度与路程的关系： （2）弧微分公式： （3）下降的时间：,模型：,模型求解泛函的极值问题,(1),函数f满足： (3) 函数化简： (4) 方程的解：,2、追线问题,我缉私舰雷达发现，距c海里处有一艘走私 船正以匀速度a沿直线行驶，缉私舰立即以最大 的速度b追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬 时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐 路线和追上的时间。,图示,(c,0),x,D(x,y),R=(0,at),y 敌艇,几何关系,如何消去时间t?,1、求导： 2、速度与路程的关系： 3、分解 得： （这里有负号是因为s随x的减小而增大） 4、将第2、3步代入第1步，可得模型,追线模型

7、：,模型的解：,解的进一步讨论,另一种方法：,作业： 用数值模拟法，用matlab编程，讨论 出现的各种情况，并作出追线曲线。另外， 假设敌艇也装有雷达系统，可随时改变逃 跑方向，问敌艇有逃脱的方案吗？,二、化学问题,溶液混合问题： 设有一容器装有某种浓度的溶液，以流量v1 注入浓度为c1的同样溶液，假定溶液立即被搅 匀，并以v2的流量流出这种混合后的溶液，试 建立容器中浓度与时间关系的数学模型。,模型的建立,参数设定：设容器中溶液溶质的质量为x(t)，原 来的初始质量为x0，t0时溶液的体 积为v0。 在t的时间间隔内，容器内溶质的改变量： 其中c1：输入溶液浓度， c2：t时刻溶液浓度,模

8、型：,适用范围： 气体、液体、固体,1、油画真假辨别,历史背景： 二战后，荷兰保安机关开始嫂捕纳粹分子的合作者， 于1945年5月29月以通敌罪逮捕了一名三流画家H.A.Va- nmeegren，此人曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer创 作的一批名贵油画盗卖给德国。 但H.A.Vanmeegren被捕后宣称自己从未出卖过荷兰 利益，所有油画均是自己伪造的，这件事在当时轰动了 全世界，为了证明自己是一个高明的伪造者，他开始在 牢房里作画，当面快要完成时，他又得悉通敌罪可能会 改为伪造罪，为了逃避判决，他末将此画画完并拒绝 将画老化，以免留下罪证。,放射物质衰变原理：,记N(t)为t时

9、刻存在的原于数，则dN/dt为单 位时间内蜕变的原子数，因此有：,其中是衰变系数,半衰期T：为给定数量的放射性原于蜕变一半 所需的时间。 如何通过来计算T？,半衰期T的计算：,假设N(t0)N0，于是得初值问题：,解：,两边取对数后：,放射性测定年龄法：,如碳14，其T5568年； 铀一238，其T45亿年。,衰变史：,油画小知识：所有油画都含少量放射性元素铅 210以及更少量的镭226。,铅矿石,金属铅,铅白 铅-210,半衰期：22年,镭-226,半衰期：1600年,化炼,铅-206,衰变,衰变,模型建立：,记y(t)为t时刻每克铅白所含Pb210的数量，y0 为制造时刻t0每克铅白所含铅

10、一210的数量，r为 镭在每克铅白中镭-226在每分钟的蜕变量，是 铅-210的衰变常数，则油画中铅-210含量应满足：,解：,问题：y0既不能直接测量，计算也有困难,因为镭-226衰变为铅一210,鉴别油画的方法：,要区别17世纪的油画和现代膺品，可根据下 述简单事实：如果颜料的年头比起铅的半哀期22 年长得多，那么颜料中铅-210的放射作用量就几 乎接近于颜料中镭的放射作用量，即两者每克铅 白中每分钟蜕变的原子数应非常接近。另一方面， 如果油画是现代作品(大约20年左右)，那么铅-210 的放射作用量就要比镭的放射作用量大得多。 因此，一般只要测得每克铅白中铅-210及镭 的衰变率就能判定

11、。,是否现代膺品的判别,模型变形： 取t-t0=300年，可算出铅白中铅-210的蜕变 率y0会大得出奇，然后能分析发现原矿中含铀 量是否合理。 由于矿石中含铀量达23%已极罕见，而由 铅-210单位时间蜕变的原子数来计算矿石中含 铀量的方法也不难，只要铅白中铅-210每分钟 蜕变超过3万个原子，就知矿石中含铀超过4%， 就判定出必为膺品。,鉴定结果：,取t-t0=300，铅-210的 =ln2/22,后两幅画不可能是伪制品，因为铅-210和镭-226非常接近于放射性 平衡，这种平衡在19世纪或20世纪油画的任何样品中都观察不到。,思考题1,1950年在巴比伦发掘出一根刻有Hammurabi

12、(汉摸拉比)王朝字样的木炭，经测定C14衰减数为 4.09个每克每分钟，新砍伐烧成的木炭中C14衰 减数为6.68个每克每分钟，已知C14的半衰期为 5568年，请推出该王朝约存在的年限。,连续型模型,一、微分方程模型建模步骤 二、微分方程模型 三、案例分析,案例1,一场降雪开始于午前的某个时刻，并持续 到下午，雪量稳定。某人从正午开始清扫某条 街的人行道，他的铲雪速度（以ft3/h度量）和 清扫面的宽度均不变。到下午2点他扫了两个街 区，到下午4点他扫了一个街区。请问：雪是从 什么时候开始下的？（可假设他没有回头清扫 落在已扫过的路面上的雪）,1,1,示 意 图,下雪速度：a(单位)3/小时

13、.面积 铲雪速度：b(单位)3/小时 S(t)： 正午后t小时的铲雪位移 下雪时间：午前x0 已知量：S(0)=0，S(2)=2，S(4)=3,模 型,t到t+t时刻： （1）铲雪容量：b* t （2）忽略t下雪量，雪量减少容量：,（3）微分表达式：,（4）模型：,求解,解：,案例2,房屋管理部门想在房顶的边缘 安装一个檐槽，其目的是为了雨天 出入方便。简单说来，从屋脊到屋檐的房顶可以看 成是一个12米长，6米宽的矩形平面，房顶与水平方向的 倾斜角度要视具体的房屋而定，一般说来，这个角度通常 在200500之间。 现在有一个公司想承接这项业务，他们允诺：提供一 种新型的可持久的檐槽，它包括一个

14、横截面为半圆形(半径 为75厘米)的水槽和一个竖直的排水管(直径为10厘米)， 并且不管天气情况如何，这种檐槽都能排掉房顶的雨水 但是房管部门还在犹豫，考虑公司的承诺能否实现，于 是想请你用数学的方法给一个详细的分析，论证它这个方案 的可行性,思考题2,设某城市共有n+1人，其中一人出于某种目 的编造了一个谣言。该城市具有初中以上文化 程度的人占总人数的一半，这些人只有1/4相信 这一谣言，而其他人约有1/3会相信。又设凡相 信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人 数正比于当时尚未听说此谣言的人数，而不相 信此谣言的人不传播谣言。试建立一个反映谣 传情况的微分方程模型。,思考题3,汽车停车距

15、离可分为两段：一段为发现情况到 开始制动这段时间里驶过的距离DT，这段时间为反 应时间；另一段则为制动时间驶过的距离DR，现考 核某司机，考核结果如下： 行驶速度 DT DR 36公里/小时 3米 45米 50公里/小时 5米 125米 70公里/小时 7米 245米 （1）作出停车距离D的经验公式 （2）设制动力正比于车重，建立理论分析模型并求 出D的公式。,BYE!BYE,速降线问题的历史背景,1696年，瑞士著名数学家约翰伯努利 Johann Bernoullil667-1748)在教师报上 发表了一封公开信。请全世界的数学家来解 决当时的一个难题“速降线问题”，并向 全世界最精明的数学家挑战，此信的发表哄 动了欧洲，引起了数学家的极大兴趣。此后 问题为牛顿、莱卜尼兹和伯努利兄弟二人所 解决，从而产生了一门应用极为广泛的新学 科变分法。,