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1、三角形,第2章,等腰三角形,2.3,在一般的三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系?,即：若ABC中,B=C,则AB与AC有什么关系？,数学符号表示：,我测量后发现AB与AC相等.,事实上,如图, 在ABC中,B=C.沿过点A 的直线把BAC 对折,得BAC 的平分线AD 交BC 于点, 则12.又BC. 由三角形内角和的性质得ADB ADC.,沿AD所在直线折叠, 由于ADBADC, 12,所以射线DB与射线DC重合,射线AB与射线AC重合从而点B与点C重合, 于是AB AC,已知ABC中,ABC=ACB. 求证：AB=AC.,D,有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角
2、对等边”）.,由此并且结合三角形内角和定理, 还可以得到等边三角形的判定定理：,三个角都是60的三角形是等边三角形.,举 例,例1 已知：如图,在ABC 中, AB = AC, 点D, E 分别是AB,AC上的点, 且DEBC. 求证：ADE为等腰三角形.,证明 AB = AC， B =C. 又 DEBC， ADE =B， AED =C. ADE =AED. 于是ADE为等腰三角形.,已知：如图,在等边三角形ABC的AC边上的取中点D,BC的延长线上取一点E,使得CE=CD. 求证：BD=DE.,证明： ABC是等边三角形,D是AC中点 ACB=60,CBD=30 CD=CE E=CDE BC
3、D=E+CDE=2E=60 E=30=CBD BD=DE,有一个角是60的等腰三角形是等边三角形吗? 为什么?,在等腰三角形ABC中， AB = AC. 由三角形内角和定理得A +B +C = 180. 如果顶角A = 60， 则B +C = 180 60 = 120. 又AB = AC， B =C. B =C =A = 60. ABC是等边三角形.,如果底角B=60（或C=60）， 同样可以证明ABC是等边三角形.,有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.,例2 已知：如图,ABC 是等边三角形, 点D, E 分别在BA,CA的延长线上,且AD = AE. 求证：ADE是等边三角形.,举 例
4、,证明 ABC是等边三角形， BAC =B =C = 60. EAD =BAC = 60， 又AD = AE， ADE是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形）.,如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？,由折叠可知：EBD=CBD， 在矩形ABCD中，ADBC，则CBD=FDB, 所以FDB=EBD 所以BF=DF,例3 如图，ABC中,ACB的平分线交AB于点E,过点E作FE/BC,交AC于点O,交ACD的平分线于点F,求证：EO=FO.,举 例,举 例,证明： CE平分ACB，CF平分ACD， 1=2，3=4. EF BC, 2=5，3=6, 1
5、=5，4=6, EO=CO,FO=CO, EO=FO.,等腰三角形的判定方法有哪些？,等边三角形的判定方法有哪些？,例1,如图，已知点D为等腰直角ABC内一点， CADCBD15，E为AD延长线上的一点，且CECA （1）求证：DE平分BDC； （2）若点M在DE上，且DC=DM， 求证： ME=BD,（1）在等腰直角ABC中， CAD=CBD=15o， BAD=ABD=45o-15o=30o， BD=AD，BDCADC， DCA=DCB=45o 由BDM=ABD+BAD=30o+30o=60o， EDC=DAC+DCA=15o+45o=60o， BDM=EDC， DE平分BDC；,（2）如图，连接MC， DC=DM，且MDC=60， MDC是等边三角形，即CM=CD 又EMC=180-DMC=180-60=120， ADC=180-MDC=180-60=120， EMC=ADC 又CE=CA， DAC=CEM=15， ADCEMC， ME=AD=DB,结 束,