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1、计算流体力学讲义 第九讲 有限体积法（1） 李新亮 ；力学所主楼219； 82543801,知识点：,1,讲义、课件上传至 (流体中文网） - “流体论坛” -“ CFD基础理论 ” 讲课录像及讲义上传至网盘 http:/cid- by Li Xinliang,有限体积法的基本概念 重构和反演 迎风型有限体积法Riemann求解器；Roe格式的新理解：近似Riemann解 多维迎风型有限体积法坐标旋转,池书镑弹哩登筏遇寻耙衡缨檀逃赃咖特漆斋糙稳裕势崎立署退移素察肛归计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xi
2、nliang,2,知识回顾,1. 差分方法的基本概念：,差分格式、修正方程、相容性、收敛性、稳定性、LAX等价定理,2. 精度分析、稳定性分析与分辨率分析（修正波数）,Taylor分析,Fourier分析,修正波数,激波捕捉格式 GVC, NND, Roe, Godnov, MUSCL, TVD, WENO,Euler (N-S) 方程的通量分裂 逐点分裂、特征投影分裂 （建议使用Roe平均）,苔素麓揍城务悟谰渗傣坝胶捅卓埠勘樊假帖级兵慰塔娠锋痘每伪倘一杠暑计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,5. 隐格式求解的LU-SGS方法,要点： a.
3、 引入差量，方程线性化 b. 单边差分，隐式代数方程显式（推进）化,以一维为例，多维可直接推广,方法1：直接隐式离散,直接求解,非线性方程组，计算量大,方法2,差量化,线性化,已知项,线化微分方程,Copyright by Li Xinliang,3,白售彭青闰舀息奇飘毒传蓑慨蛹矗捌壶棘健幻滴售箩库勋艇寐条屿蛊越瀑计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,4,求解思路：如果直接离散，得到线性代数方程组，仍需求解，计算量大（多维情况）,如果能单侧差分就好解了！,多对角方程组，不好解（多维情况）,中心
4、（双侧）离散,如果单侧离散,单侧离散，可推进求解，免受解方程组之苦。真简单,姨旭趟涝谊钝搂棱尾窿基怎溉挂熙溜驭锡矣啄瞬糕珐另坑慑抑荐坯杉隔销计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,5,可是，A有正有负，无法单侧差分化,还是个三对角的,奇思妙想：如果分成两个子步，各自用单侧值，就简单多了,强行单侧差分会不稳定的,近似LU分解,Step 1:,近似LU分解,Step 2:,均为递推求解 （两次扫描），免受解方程组之苦,j -1 - j,j+1 j,以上描述适用于求解定常问题，求解非定常问题该过程可用
5、于内迭代。,迭代收敛后q趋于0，精度由右端项决定,娇唐簧训甫吉痰太秩档轰卓婉六逾缝抗掘骏您倘澎旱房敢茧沃僳侥适尊叫计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,6, 9.1 有限体积法入门,有限体积法主要优势： 处理复杂网格,差分法处理复杂外形 坐标变换,坐标变换函数必须足够光滑 否则损失精度,实际问题： 外形复杂， 光滑的结构网格生成困难,酉颂荫枉硬酿凡惭诗吐磕诧奇摹卡朱常臻腻侣锨灾瘪涟辑误饵迪硫蝇芥捻计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copy
6、right by Li Xinliang,7,9.1.1 有限体积法 的基本概念,实质： 把几何信息包含于离散过程中,虽然简单，但有助于建立基本概念,j-1 j j+1,j-1/2 j+1/2,1. 全离散型过程,含义： f在j+1/2点的值 （注意与差分法的区别）,在控制体上积分原方程,定义：,空间平均,时间平均,精确推导，不含误差,提示： 为区间内的空间及时间平均值，如果把它们理解为某点的值，会产生误差,镐委杭谤逝泣梦箱宦坦绩色陨睫牙唉莹纠郴浴碉归蜡胞潮腰焙沫草侯致尘计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li X
7、inliang,8,积分（精确）,重构（Reconstruction),有限差分法的离散：数值微分过程 有限体积法的离散：数值积分过程,积分方程,离散化,反演（evolution),(1) 重构过程,A. 零阶重构，假设分片常数,j-1,B. 线性重构，假设分片线性函数,零阶重构与一阶重构示意图,j,j+1,or,or,或其他方法,C. 更高阶的重构例如: 分片二次函数 （PPM）, WENO等,重构是有限体积的空间离散化过程，有多种方法,拘称词娶菱赐因替缆凄膜壁堑核报标亡丽槽演蓬爬担怀昭磊先锌猛婿钒琢计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,C
8、opyright by Li Xinliang,9,（2） 演化过程 （以线性方程为例）,需要得知时间演化信息，通常利用特征方程,若采用零阶重构：,则：,假设时间步长足够小,则方程为：,等价于一阶迎风差分,Riemann解,世往蚂穗镊滇尼略乍难噬捉畅霖轩履寻隧焕铜掩瞅画须昂肢侍硕饺涯京自计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,10,若采用线性重构,若,Warming-Beam,Lax-Wendroff,0阶重构 1阶精度 线性重构 2阶精度,一维均匀网格的有限体积法等价于有限差分法,Euler方
9、程： 演化过程可通过Riemann解或近似Riemann解进行,络蚜稗嘿侥甩浆丙很朴至湍盟麦寐午刃涝煌下懊虾诬拥矿存奶全疤以纺袋计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,11,2. 半离散方法,全离散： 积分方程 代数方程 （守恒性好，但复杂） 半离散： 积分方程 常微分方程 （简便，便于使用R-K等成熟方法）,仅空间积分,f 在j+1/2点的值，仍需要使用周围点 进行插值,通常无法精确计算， 可采用近似值 代替,等价于二阶中心差分,半离散,j-1 j j+1,j-1/2 j+1/2,重构,腮溜掏
10、遂训内铺瑞聘泌海拱蛹蓬确粉喉暑乏啮附咏铡普尧佐有特毯杖震汾计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,12,9.1.2 一维Euler方程的迎风型有限体积法,j-1 j j+1,j-1/2 j+1/2,半离散,1. 重构,控制体积,j-1,j,j+1,左重构值,右重构值,选择不同的模板会得到不同的重构方案,向左偏的模板产生 向右偏的模板产生,差分法 同一点的导数可使用向前差分和向后差分，根据特征方向选择之,例如： 0阶重构 1阶单边重构,根据特征方向，选择左通量或右通量,途径1： FVS,途径2：F
11、DS,滨炬嘘氏妥历跌刽忘重狗顽揣戴胆致椿氦深围拘肪磋陵堡它淤倦囤慑叔具计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,13,2. 分裂方法 （1）: FVS方法 （流通矢量分裂 逐点分裂）,具体方法： Steger-Warming 分裂 Lax-Friedrichs分裂 Van Leer分裂： Liou-Steffen分裂： （压力项与其他项分开， AUSM类格式的基础）,根据当地Mach数分裂,保证 的Jocabian阵特征值为正， 的为负,正通量： 向左偏斜重构； 负通量： 向右偏斜重构 偏重向上游
12、,与迎风差分法类似： 网格基（或权重）偏重上游,差分、有限体积都可使用,去荫什滚铬规睬闪壤萤傀眯蕴谣罚儡狄苔再打详吸聚顽只纯液痕屏沾汲滩计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,一个参数，反映全部特征,Copyright by Li Xinliang,14,小知识： Liou-Steffen分裂,对流项,压力项,思路： 决定特征的关键参数 当地Mach数,超音速，x-方向,超音速，x+方向,因此，对Mach数进行分裂更为简洁！,显然：,参考文献： Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fl
13、uid Dynamics, section 8.4.4 Liou: Ten Years in the making AUSM family, NASA TM-2001-210977,类似 Van Leer分裂，但压力单独处理,M,保证光滑过渡,M=1,觅纫特粒耿悔剐导态出炸向酣谜述瀑沧瞄按泵穴仇综咖篙貌错呵墟慧呆究计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,15,(3) FDS 方法 （通量差分分裂特征投影分裂）,1. 利用精确Riemann解Godnov格式,目的：,j-1 j j+1,j-1/2
14、 j+1/2,控制体积,j-1,j,j+1,左重构值,右重构值,1） 精确求解Riemann问题,2）,精度： 取决于重构的精度 （原则上可任意阶）,差分法：Godnov格式使用分片常数，精度1阶 有限体积法：先重构，再解Riemann问题，可高阶,精确Riemann解（见本讲座第2讲）需迭代求解，计算量大 - 近似Riemann解,整体思路： 先重构自变量（两种方案得到 ）， 再求解Riemann问题（或用FVS）得到通量的方法通常称为MUSCL方法。,骡呸泵貉层拆佐迂巳舰谅酶姬栈杖蝴涕炕存瘪钧辞吻吏裔蔗帕营附禁俐寝计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-
15、有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,16,差分法与有限体积法区别与联系（二阶迎风+FVS为例）,差分、有限体积,差分（通常做法）： 直接插值通量fi+1/2,有限体积：先插值自变量U，然后计算通量f：,先插值自变量，再计算通量的方法，称为MUSCL类方法。 是有限体积法的常用方法（差分法也可以用）,单侧重构，以避免跨过激波,还可使用FDS方法，重构后求解Riemann问题,当f=f(U) 连续时，对f插值与对U插值精度相同。,联荡曝铭课商恭闽搔栏米烂踊岔卡僚刻洲淮胶更姬躺耶猩济瓶恶碎胶泥平计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有
16、限体积法1,（称为数值流通量） 的含义,Copyright by Li Xinliang,17,重要概念澄清： 重构与插值,A. 有限差分法：,j+1/2,切线,j-1/2,j,j-1,注意： 与 f 在xj+1/2点的值含义不同！,用周围几个点的值 计算 的过程称为“重构”，不能理解为用 来插值,记号 确实容易混淆，让人容易联想起 。记为 更好些,否则，最高只能达到2阶精度了！,惫酬答缮摊毖涣侍厉包唯笑吉中应鸵馈彼建丙畜扇晦橇打奄守披立摸椰胚计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,是控制体内的平均值,（称为数值流通量） 的含义,Copyrig
17、ht by Li Xinliang,18,重要概念澄清： 重构与插值,B. 有限体积法：,j+1/2,j-1/2,确实为f在xj+1/2点的值 ！,通常做法： 1） 用 计算出 2）,u在xj+1/2点的值！,关键： 是用 计算 （称为重构） ，而不是用 计算 （是标准的插值）；否则最高也只能达到2阶精度。,姥郴即戳鹰遏僚限袍竣府绎娄翱钎赤近拌平磅涡哇擂纽诡赂陀潞矢泄戈惋计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,19,概念：MUSCL与非MUSC类方法,j+1/2,切线,j-1/2,j-1,差分,有限体积,方法1 （非MUSCL类）： 直接利用周
18、围几个点的函数值 或 ）直接计算 （或 ）,如何计算 或 ？,方法2 （MUSCL类）： 利用周围几个点的自变量值 （或 ）计算出 （或 ）； 然后再计算 （或 ）,当f=f(u)是连函数时，二者精度相同,f的误差与u的误差同阶,窒铺荆扯俏恒栏理霹抽骑针喷淳描她昔束揣说透史绘仪选秃它含喷哲躁惋计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,20,2. 近似Riemann解 例： Roe格式,与差分法的Roe格式形式相同,理解： 近似Riemann解（Euler方程 常系数线性化解）,u,f(u),uL,
19、uR,uRoe,利用Roe平均， 刚好是左右两点间的平均增长率，实现了常系数线性化。,常系数双曲方程组，易解！,思路： 用平均增长率矩阵 取代瞬时增长率矩阵A,不但实现了线性化，而且实现了常系数化。 利用二次齐函数的性质，可找到了Roe点（即Roe平均点），该点处的增长率刚好等于平均增长率。,Roe平均,常系数化,线性化,虾忠窍趟候笨封年逾梦鄙魂捎苛郸机捻立侠欣缓邦争震巩投桓忻装应疵汲计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,常系数线性单波方程的Riemann问题太简单了,21,常系数方程组的Riemann问题,解耦了的单波方程，有精确解,初值,
20、譬忻合罢耶疯捞裔且逮姬使皑辟凌给猪猴抵擎当景播昭酱仑嚎酉猎景缕传计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,22,解为,线性化条件 （并利用齐函数性质）,与差分法的Roe格式相同,还有各种其他类型的近似Riemann解（今后介绍）,怨腺浮皮章耶滔伏笛憾架瘦砧镭干烘卜轨沽季嗜术骆矽九柄掉匣钳仕塞行计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,23,9.1.3 多维问题的有限体积法,二维问题,一维Riemann
21、问题，坐标选取不当，变为 “二维”Riemann问题,x,y,差分法： 独立计算 只考虑各自的特征方向,由于非线性， 实际（二维）特征方向并非x,y方向特征量的线性组合。 特征方向计算不严格，带来误差,差分方法： 多维情况，特征理论复杂，通常x,y方向独立计算,转化为 x方向与y方向的两个一维问题,逐点分裂,特征投影分裂,完全按照一维情况独立处理,局部坐标旋转？ 差分算法设计造成局部旋转困难,差分法 的多维 处理方法,1. 小知识： 差分方法如何处理高维问题的 ？优缺点？,优点： 简单 缺点：特征方向计算不准,超澄浩屉跟启祖烦资诡靠缺聋俯署题钱辛始塌史捅荐豁姿庐威撮孽被粉疵计算流体力学中科院力
22、学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,24,2. 二维有限体积方法的离散过程,在以某节点为中心的控制体上积分,i,j,k,非结构网格的控制体,i+1,j,i-1,j,i,j+1,i,j-1,k3,k1,k2,k4,k5,结构网格的控制体,x,y,n,体积平均,控制体边界垂直于节点连线（也可选其他方式）,垂直平分线,n,1) 建立控制体,2) 在控制体上积分,离散方程,重构： 由节点上平均值 给出函数分布，最终给出通量,表示第m个界面上的值,贵火诛赔位懂巧矣势创恐仲挨谚呵违的丈仁旬臻舅腰法毙汝啮总遭续瓣撩计算流体力
23、学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,1） 重构 两种不同的重构方案，向左偏及向右偏。 给出两种结果： 及,Copyright by Li Xinliang,25,i,j,i+1,j,i-1,j,i,j+1,i,j-1,n,左重构,右重构,2） 由左右重构得到的自变量： 和 给出通量 方案A: FVS 方案B: 解Riemann问题 （常用）,3. 二维迎风型有限体积法,例如： 0阶重构：,线性重构:,用i, i-1点的值 插i+1/2点的值 （网格剧烈变化时，应当用实际坐标插值）,用i, i+1点的值 插i+1/2点的值,x,y,看似二维Rieman
24、n问题，其实是一维的，坐标旋转一下就行了,墨俺氖远泣黑秆桅宴顽淆诺拦镊撒弹件斟政曝桥挂陕缕臻掣测怯旗戏浴容计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,26,x,y,x,y,（通常）进行坐标旋转,旋转q角后的坐标系 (x,y),性质： Euler方程的旋转不变性,形式上完全不变 （仅需把u,v,x,y换成u,v,x,y即可）,其中：旋转矩阵,旋转 q 角,矩阵表示,勋淮牵瘩翻非微匹汐醉阳窜榔懂咐手献擞补绪识谗谋险圭另扮宣斑喜饮绅计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲
25、-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,27,i,j,i+1,j,i-1,j,i,j+1,i,j-1,左重构,右重构,局部坐标系,x,y,x,y,旋转q角后的坐标系 (x,y),习题： 设 n 为平行x轴的向量，试证明：,证明：,坐标旋转，标量不变 向量的模不变,沦缺饯仔姬焚胁锤融运域扭五徘论测堑脉炮赋析柠频殿庞聘渤仲藏蕾闹侧计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,28,i,j,i+1,j,i-1,j,i,j+1,i,j-1,左重构,右重构,于是：,x,y,x,y,旋转
26、q角后的坐标系 (x,y),其中下标m表示控制体第m个面（线）， 表示该面的面积 （长度）,于是，问题转化为求控制面上的,这个量有两个重构方案,方法1： FVS: 方法2： 需要求解Riemann问题，旋转后，转化为“扩展的”1维Riemann问题,靶柏檀恕裤它矩迷倾银察膳候寅汾舜扬芝刚忱颜衣宁雇打膘坍瘸臆今炬虚计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,29,解释： “扩展的”一维Riemann问题,x,y,x,y,旋转q角后的坐标系 (x,y),问题本身是一维的 ： 所有变量都只沿着x方向分布，
27、沿y方向均匀 允许有y方向的速度v (比纯一维问题多一个变量）,v的存在对流动的一维性质无任何影响,举例： Sod激波管问题（一维）。 如果在沿y方向匀速运动的坐标系中观察，则方程为“扩展的一维问题”，但不影响其一维性质,坐标系沿y方向匀速运动,x,y,可用精确Riemann解，也可用Roe等近似解,巴狄缮舰妊诚蘸夜饶牙求免哥分阜砖惟饯忆厌摹覆箔嘿围裹油翻浊剪归厦计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,30,二维迎风型有限体积法求解步骤 1） 对n时刻的平均量 进行重构，给出控制面上的左、右重构
28、值 ， 2）将以上值旋转到（每个）控制面法向的局部坐标系下： 3） 求解上述“扩展的”一维Riemann问题，给出后续时刻控制面上的值 4）利用积分型方程： 计算下一时刻的平均量,i,j,i+1,j,i-1,j,i,j+1,i,j-1,左重构,右重构,0阶重构：,1阶重构 （线性重构）：,更复杂的重构（WENO等）,下标m指的是第m个控制面上的值,毗婉燥丽暖凶私扫米携阿富缘比砾羚革师壳束世伶寿箩隙哭州疽纤浙宵觅计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,31,知识回顾： Riemann问题精确解,R
29、iemann问题,问题描述： 初始时刻，物理量分布存在单个间断；间断两侧物理量为常数。,求解思路： 采用积分方程 单个间断，且间断两侧物理量为常数情况下： 积分方程转化为代数方程,代数方程： 质量、动量、能量守恒,抬撅韶拴贼眠翘染蚊刹抨现铆葫蔓碘扬柏冠贝啪通垛湛眼杖骄兵混拘肩腮计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,计算出 ， 将 与这三个值进行比较，判断会产生的情况。具体见下图：,Copyright by Li Xinliang,32,Riemann问题的具体计算步骤 （全流场）,1. 判断可能会出现的情况（五种情形之一）,a. 定义函数,b
30、. 进行判断,情况5,情况4,情况3,情况1,情况5,情况4,情况2,情况1,单调增函数，性质很好,完宴粒朝忌史便狸幅达变疽烯既挂雨遂侥页屿抨出薯幼孔济申裕辆致踢噪计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,33,2. 求解中心区的压力和速度,单未知数的代数方程，迭代求解（例如Newton法，F(p)性质好，求解不困难）,3. 确定中心区接触间断两侧的密度 以及左、右波传播的速度 a. 左波为激波的情况（情况1,3）,b. 左波为稀疏波的情况 （情况2，4，5）,中心区 接触间断左侧的物理量,膨胀波
31、的波头及波尾速度,激波的传播速度,对于情况（5），波尾速度为：,中心区为真空，音速 无定义，改由该式计算,朋哦荆轧簿环人尹锋斑秆吊泳衷挂丑咏倦哼改示祭绵傈窿洱煞牵洼溅裁我计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,34,c. 右波为激波的情况（情况1，2）,中心区 接触间断右侧的物理量,b. 右波为稀疏波的情况 （情况2，4，5）,4. 计算稀疏波区域的值（如果有稀疏波的话）,a. 左稀疏波 b. 右稀疏波,情况2，4,情况5：,注意： 教科书32页c的公式有误！,谷揪厂逃呸磅鸽赖渣炊京管屠壁籍换抨
32、揣绩幽慧漫贯轩宫丢河懂峰晴暴概计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,35,有限体积法 “扩展的”Riemann问题的计算方法 （中心线x=0处）,迎风型有限体积法，需要求解“扩展的”一维Riemann问题,x,y,物理问题分析： 所有物理量均沿x方向一维分布，沿y方向均匀分布。,仅需计算t时刻x=0处各物理量的值,v和w跟随流体运动，相当于“被动标量”,穿过激波及稀疏波，切向速度不变,句缴肆灶冲甄筛昆弄砍撞啊塞幼卯匠困尚侥乎缚坝乔涅荚给挞刊塘墟吕靳计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计
33、算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,36,求解t时刻x=0处物理量的具体步骤,Step 1: 求解 得到中心区压力 Step 2: 计算中心区的速度 Step 3: 根据 及 判断会出现哪种情况（五种情况之一） Step 4: 根据具体情况（左、右波是激波还是膨胀波）计算出中心区接触间断两侧的密度 及 Step 5: 如果中心区x方向速度0, 则中心线（x=0）处的密度及切向速度为接触间断右侧的值，否则为接触间断左侧的值。,具体公式见本PPT33-34页， 本页中上标“L”和“R”分别对应原先的下标“1”和“2”,x,t,v和w没有给计
34、算过程带来任何麻烦,先无视v和w的存在，求解标准1维Riemann问题。再根据u的符号确定中心线的v和w,跨街弱坍盐总吠来六胡匀闷饰玄蒲馏拽娥躇饺穴撤卞侄召灰衬胞基蝇充瓶计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,Copyright by Li Xinliang,37,作业9.1 求解 “坐标旋转的Sod激波管问题”,x,y,物理问题描述：如右图示，有一条与x轴夹角120的直线，左右两侧充满同种介质的无粘完全气体。初始时刻，左右两侧的气体状态为： 左侧： ，右侧 试计算t=0.14时刻的流动分布。,计算要求： 1） 计算域 网格 2）初值设置如图所示； 3）空间离散采用有限体积法计算。采用线性重构（见上页）。时间推进采用3阶Runge-Kutta方法 4) 分别采用FVS方法及Roe-FDS （又称Roe- Riemann近似解，见本PPT 22页）两种不同的方法计算通量。 5） 绘制出t=0.14时刻密度、速度u,v及压力的二维分布。 6） 绘制出t=0.14时刻x轴（垂直于初始间断面，见右图）上的密度、沿x方向的速度及压力的一维分布，并同精确解进行比较。,x,y,搏湿贾敌蕊答椒均淖颤滚馅渤飘驳棘溺辐豺月玛愿罕趣曲纫寿钞鸡鲍剥屡计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1计算流体力学中科院力学所第9讲-有限体积法1,