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1、课时规范练 50 抛物线课时规范练 50 抛物线 基础巩固组基础巩固组 1 1.(2018 山东春季联考)已知抛物线x2=ay(a0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M到x轴的 距离为 5,且|MF|=7,则焦点F到准线l的距离是( ) A.2B.3C.4D.5 2 2.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=4,则POF的面积为 ( ) A.2B.2C.2D.4 3 3.(2018 云南昆明一中模拟,5)已知点F是抛物线C:x2=2py(p0)的焦点,O为坐标原点,若以F为圆 心,|FO|为半径的圆与直线x-y+3=0 相切,则抛物线C的方程为( )
2、 A.x2=2yB.x2=4y C.x2=6yD.x2=8y 4 4.(2018 广东江门一模,10)F是抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上,点Q在抛物线的准线上,若=2, 则|PQ|=( ) A.B.4C.D.3 5 5.(2018 湖南师范大学附属中学三模,11)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F的直线l与抛物线 C相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,垂足为E,若|AB|=6,则|EM|的长为( ) A.2B.C.2D. 6 6.(2018 齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学冲刺,11)已知抛物线C:y2=2px(p0),焦点 为F,直线y=x与抛物线C交
3、于O,A两点(O为坐标原点),过F作直线OA的平行线交抛物线C于 B,D两点(其中B在第一象限),直线AB与直线OD交于点E,若OEF的面积等于 1,则抛物线C的准 线方程为( ) A.x=-1B.x=- C.y=-1D.y=- 7 7.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且 |AF|=3,则此抛物线的方程为( ) A.y2=9xB.y2=6x C.y2=3xD.y2=x 8 8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别 为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为 . 9 9
4、.(2018 安徽巢湖一模,15)已知抛物线C:y2=4x的焦点是F,直线l1:y=x-1 交抛物线于A,B两点,分 别从A,B两点向直线l2:x=-2 作垂线,垂足是D,C,则四边形ABCD的周长为 . 1010.(2017 广东江门一模,10 改编)F是抛物线y2=2x的焦点,以F为端点的射线与抛物线相交于点A, 与抛物线的准线相交于点B,若=4,则= . 综合提升组综合提升组 1111.(2018 山东烟台模拟,6)已知直线l1:x=2,l2:3x+5y-30=0,点P为抛物线y2=-8x上的任一点,则 P到直线l1,l2的距离之和的最小值为( ) A.2B.2C.D. 1212.过抛物
5、线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N 在l上且MNl,则M到直线NF的距离为( ) A.B.2C.2D.3 1313.已知抛物线的方程为y2=2px(p0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若OAB为等边三角形, 且面积为 48,则p的值为 . 1414.设动点P(x,y)(x0)到定点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大 1,记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)设D(x0,2)是曲线C上一点,与两坐标轴都不平行的直线l1,l2过点D,且它们的倾斜角互补.若直 线l1,l2与曲线C的另一交点分别是M,N,证明直线MN的斜
6、率为定值. 创新应用组创新应用组 1515. (2018 北京城六区一模,2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,BC=1,点P在侧面A1ABB1上,满 足到直线AA1和CD的距离相等的点P( ) A.不存在 B.恰有 1 个 C.恰有 2 个 D.有无数个 1616.(2018 河北衡水模拟,20)已知抛物线C:y2=2px(p0),斜率为 1 的直线l1交抛物线C于A,B两点, 当直线l1过点(1,0)时,以AB为直径的圆与直线x=-1 相切. (1)求抛物线C的方程; (2)与l1平行的直线l2交抛物线于C,D两点,若平行线l1,l2之间的距离为,且OCD的面积
7、是OAB 面积的倍,求l1和l2的方程. 参考答案 课时规范练课时规范练 50 抛物线 1.C 因为|MF|=7,点M到x轴的距离为 5,所以=7-5,所以|a|=8, 因此焦点F到准线l的距离是=4,故选 C. 2.C 利用|PF|=xP+=4,可得xP=3. yP=2.SPOF=|OF|yP|=2.故选 C. 3.B 由抛物线C的方程为x2=2py(p0),则焦点坐标F0, ,所以焦点F0, 到直线x-y+3=0 的距离为 d=,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y,故选 B. 4.A 设抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|.由QFK QP
8、M,得=,即=,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QF|=,所以|PQ|=|PF|+|QF|=.故选 A. 5.B 由已知得F(1,0),设直线l的方程为x=my+1,与y2=4x联立得y2-4my-4=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0),则y1+y2=4m,则y0=2m,x0=2m2+1,所以E(2m2+1,2m),又 |AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4=6,解得m2=,线段AB的垂直平分线为y-2m=-m(x-2m2-1),令y=0,得 M(2m2+3,0),从而|ME|=,故选 B. 6.A 7.C 如图,分别过点A,B作AA1l于点A
9、1,BB1l于点B1, 由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|. |BC|=2|BF|,|BC|=2|BB1|. BCB1=30,AFx=60. 连接A1F,则AA1F为等边三角形,过点F作FF1AA1于点F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于 点K, 则|KF|=|A1F1|=|AA1|=|AF|,即p=, 故抛物线方程为y2=3x. 8.2 由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB| 取得最小值. 依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4 时,为最小值,所以|AC|+|
10、BD|的最小值为 2. 9.18+4 由题知,F(1,0),准线l的方程是x=-1,p=2.设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得x2=-6x+1=0. 因为直线l1经过焦点F(1,0),所以|AB|=x1+x2+p=8.由抛物线上的点的几何特征知 |AD|+|BC|=|AB|+2=10,因为直线l1的倾斜角是,所以|CD|=|AB|sin =8=4,所以四边形ABCD的周 长是|AD|+|BC|+|AB|+|CD|=10+8+4=18+4. 10. 由题意,设点A的横坐标为m,过点A向准线作垂线交垂线于点C,设准线与x轴的交点为D, 则由抛物线的定义,|FA|=m+, 由BACB
11、FD,得=,m=. |FA|=,|FB|=3, =|FA|FB|=. 11.C 抛物线y2=-8x的焦点为F(-2,0),准线为l1:x=2, P到l1的距离等于|PF|,P到直线l1,l2的距离之和的最小值为F(-2,0)到直线l2的距离 d=.故选 C. 12.C 由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=(x-1),与抛物线 y2=4x联立,消去y得 3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3. 因为M在x轴的上方,所以M(3,2). 因为MNl,且N在l上,所以N(-1,2). 因为F(1,0),所以直线NF:y=-(x-1). 所以M到直线NF的
12、距离为=2. 13.2 设B(x1,y1),A(x2,y2). |OA|=|OB|,+=+.又=2px1,=2px2,-+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.又x1,x2与p同 号,x1+x2=2p0.x2-x1=0,即x1=x2. 根据抛物线对称性可知点B,A关于x轴对称, 由OAB为等边三角形,不妨设直线OB的方程为y=x,由解得B(6p,2p),|OB|=4p.OAB 的面积为 48,=48,p=2. 14.(1)解 由题意知,动点P的轨迹方程是以F(1,0)为焦点,以x=-1 为准线的抛物线,故曲线C的方 程为y2=4x. (2)证明 由D(x0,2)在曲
13、线C上,得 4=4x0,则x0=1,从而D(1,2). 设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l1:y=k(x-1)+2, 则l2:y=-k(x-1)+2, 由得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0, x1=, 同理x2=. x1+x2=,x1-x2=-. y1-y2=k(x1+x2)-2k=. kMN=-1,即直线MN的斜率为定值-1. 15.D 由于点P在侧面A1ABB1上,所以点P到直线AA1的距离为PA,所以点P为到定点A与到定直 线CD距离相等的点集合,满足抛物线的定义,有无数个.故选 D. 16.解 (1)设直线AB方程为y=x-b,代入y2=2px,得x2-(2
14、b+2p)x+b2=0, =(2b+2p)2-4b2=8bp+4p20.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2b+2p,x1x2=b2, |AB|=|x1-x2|=2, 当b=1 时,|AB|=2,AB的中点为(1+p,p), 依题意可知 2(1+p+1)=2,解得p=2. 所以抛物线方程为y2=4x. (2)点O到直线l1的距离为d=, SOAB=|AB|d=2=2|b|. 因为平行线l1,l2之间的距离为,所以直线CD方程为y=x-(b+1), SOCD=2|b+1|. 依题意可知2|b|=2|b+1|,即 3b2(b+1)=(b+1)2(b+2), 化简得 2b2-3b-2=0,所以b=-或b=2,满足0, 所以l1:y=x+,l2:y=x-或l1:y=x-2,l2:y=x-3.