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1、课时规范练 54 相关性、最小二乘估计与统计案例课时规范练 54 相关性、最小二乘估计与统计案例 基础巩固组基础巩固组 1 1.(2018 福建莆田模拟,3)设一个线性回归方程y=3+1.2x,当变量x每增加一个单位时,则y的变化 情况正确的是( ) A.y平均增加约 1.2 个单位 B.y平均增加约 3 个单位 C.y平均减少约 1.2 个单位 D.y平均减少约 3 个单位 2 2.(2018 黑龙江模拟十,6)下列表格所示的五个散点,原本数据完整,且利用最小二乘法求得这五个 散点的线性回归直线方程为y=0.8x-155,后因某未知原因使第 5 组数据的y值模糊不清,此位置数 据记为m(如下
2、表所示),则利用回归方程可求得实数m的值为( ) x196197200203204 y1367m A.8.3B.8.2C.8.1D.8 3 3.(2018 广东佛山二模,5)某同学用收集到的 6 组数据对(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)制作成如图所示的 散点图(点旁的数据为该点坐标),并由最小二乘法计算得到回归直线l的方程为y=bx+a,相关系数 为r.现给出以下 3 个结论:r0;直线l恰好过点D;b1.其中正确结论是( ) A.B. C.D. 4 4.(2018 辽南协作校一模,3)根据如下样本数据得到回归直线方程y=bx+a,其中a=10.5,则当x=6 时,y 的估计值是(
3、 ) x4 2 3 5 y4 9 2 6 3 9 5 4 A.57.5B.61.5 C.64.5D.67.5 5 5.(2018 黑龙江仿真模拟十一,5)某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响.部分 统计数据如下表: 使用智能 手机 不使用智能 手机 总 计 学习成绩优 秀 4812 学习成绩不 优秀 16218 总 计201030 附表: P(2 k0) 0.1 0 0.0 5 0.0 10 k0 2.7 06 3.8 41 6.6 35 经计算2=10,则下列选项正确的是( ) A.有 99%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B.有 99%的把握认为使用智能手机对学习无影响
4、 C.有 95%的把握认为使用智能手机对学习有影响 D.有 95%的把握认为使用智能手机对学习无影响 6 6.(2018 河南洛阳质检,13)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟订的 价格进行试销,得到如下数据. 单价 x/元 4 5 6 7 8 9 销量 y/件 9 0 8 4 8 3 8 0 7 5 6 8 由表中数据求得线性回归方程y=-4x+a,则x=10 元时预测销量为 件. 7 7.(2018 河南商丘模拟,19)已知具有线性相关关系的两个变量x,y之间的几组数据如下表所示: x2468 1 0 y3671 0 1 2 (1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法
5、求出y关于x的线性回归方程y=bx+a,并估计当x=20 时,y的值; (2)将表格中的数据看作五个点的坐标,则从这五个点中随机抽取 2 个点,求恰有 1 个点落在直线 2x-y-4=0 右下方的概率. 参考公式:b=,a=-b. 综合提升组综合提升组 8 8.(2018 河北保定一模,3)已知具有线性相关的变量x,y,设其样本点为Ai(xi,yi)(i=1,2,8),回 归直线方程为y=x+a,若+=(6,2),(O为原点),则a=( ) A.B.-C.D.- 9 9.(2018 安徽合肥一中最后 1 卷,文 13)为了研究某班学生的脚长x(单位:cm)和身高y(单位:cm)的 关系,从该班
6、随机抽取 10 名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设 其回归直线方程为y=bx+a.已知xi=225,yi=1 600,b=4.该班某学生的脚长为 24 cm,据此估计其身高 为 cm. 1010.(2018 安徽蚌埠一模,文 19)某图书公司有一款图书的历史收益率(收益率=利润每本收入)的 频率分布直方图如图所示: (1)试估计平均收益率;(用区间中点值代替每一组的数值) (2)根据经验,若每本图书的收入在 20 元的基础上每增加x元,对应的销量y(万本)与x(元)有较强 线性相关关系,从历史销售记录中抽样得到如下 5 组x与y的对应数据: x元253038455
7、2 销量y万本7.57.16.05.64.8 据此计算出的回归方程为y=10.0-bx. 求参数b的估计值; 若把回归方程y=10.0-bx当作y与x的线性关系,x取何值时,此产品获得最大收益?求出该最大 收益. 1111.(2018 山东日照 5 月校际联考,19)为了缓解日益拥堵的交通状况,不少城市实施车牌竞价策略, 以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是:“盲拍”,即所有参与竞拍的人都要网络报价一次, 每个人不知晓其他人的报价,也不知道参与当期竞拍的总人数;竞价时间截止后,系统根据当期车 牌配额,按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加 2018 年 5 月份的车牌竞拍,他为了预测
8、 最低成交价,根据竞拍网站的数据,统计了最近 5 个月参与竞拍的人数(见下表): 月 份2017.122018.01 2018.02 2018.03 2018.04 月份编号t12345 竞拍人数y(万人) 0.50.611.41.7 (1)由收集数据的散点图发现,可用线性回归模型拟合竞拍人数y(万人)与月份编号t之间的相关 关系.请用最小二乘法求出y关于t的线性回归方程:y=bt+a,并预测 2018 年 5 月份参与竞拍的人 数. (2)某市场调研机构从拟参加 2018 年 5 月份车牌竞拍人员中,随机抽取了 200 人,对他们的拟报价 价格进行了调查,得到如下频数分布表和频率分布直方图:
9、 报价区间(万元)1,2)2,3)3,4)4,5) 5,6)6,7)7,8) 频数1030a60302010 求a,b的值及这 200 位竞拍人员中报价大于 5 万元的人数; 若 2018 年 5 月份车牌配额数量为 3 000,假设竞拍报价在各区间分布是均匀的,请你根据以上抽 样的数据信息,预测(需说明理由)竞拍的最低成交价. 参考公式及数据:y=bx+a,其中b=,a=-b;=55,tiyi=18.8. 创新应用组创新应用组 1212.(2018 黑龙江哈尔滨三中一模,10)千年潮未落,风起再扬帆,为实现“两个一百年”奋斗目标、 实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础,哈三中积极响应国家
10、号召,不断加大拔尖人才的培 养力度,据不完全统计: 年份(届) 201 4 201 5 201 6 201 7 学科竞赛获省级 一等奖 及以上学生人数x 51495557 被清华、北大等 世界名校 录取的学生人数y 103 96108 107 根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为 1.35,我校 2018 届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学 生人数为 63 人,据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为( ) A.111B.115C.117D.123 1313.(2018 湖北七校联盟 2 月联考,19)已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关,为了确定下一个时段鸡舍 的控制温度,
11、某企业需要了解鸡舍的温度x(单位:),对某种鸡的时段产蛋量y(单位:t)和时段投 入成本z(单位:万元)的影响,为此,该企业收集了 7 个鸡舍的时段控制温度xi和产蛋量 yi(i=1,2,7)的数据,对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值. 17.4082.30 3. 6 140 (xi-)(yi -) (xi-)(ki- ) 9.72 935.1 35.0 其中ki=ln yi,ki. (1)根据散点图判断,y=bx+a与y=c1哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量y关于鸡舍时段控制温 度x的回归方程类型?(给判断即可,不必说明理由) (2)若用y=c1作为回归方程模型,根据
12、表中数据,建立y关于x的回归方程; (3)已知时段投入成本z与x,y的关系为z=e-2.5y-0.1x+10,当时段控制温度为 28 时,鸡的时段产 蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少? 附:对于一组具有有线性相关关系的数据(i,vi)(i=1,2,3,n),其回归直线v=u+的斜率 和截距的最小二乘估计分别为=,=- e- 2.5 e- 0.75 ee3e7 0.0 8 0.4 7 2.7 2 20. 09 1 096. 63 参考答案 课时规范练课时规范练 54 相关性、最小二乘估计与统计案例 1.A 令x=a,y=3+1.2a,令x=a+1,则y=3+1.2(a+1)=4.2+1.2a
13、,所以当变量x每增加一个单位时,则 y平均增加约 1.2 个单位,故选 A. 2.D 由题意可得:=200,=,回归方程过样本中心点,则:=0.8200-155,解得m=8,故选 D. 3.A 由题图可知这些点分布在一条斜率大于零的直线附近,所以为正相关,即相关系数r0; 因为=3,=3, 所以回归直线l的方程必过点(3,3),即直线l恰好过点D.因为直线l斜率接近于AD斜率,而 kAD=6. 635,据此结合独立性检验的思想可知:有 99%的把握认为使用智能手机对学习 有影响,故选 A. 6.66 由已知得= (4+5+6+7+8+9)=,= (90+84+83+80+75+68)=80,
14、a=80+4=106,当x=10 时,y=106-40=66,故答案为 66. 7.解 (1)= (2+4+6+8+10)=6,= (3+6+7+10+12)=7.6, =4+16+36+64+100=220,xiyi=6+24+42+80+120=272, b=1.1,a=7.6-61.1=1, 回归直线方程为y=1.1x+1,故当x=20 时,y=23. (2)可以判断,落在直线 2x-y-4=0 右下方的点满足 2x-y-40, 故符合条件的点的坐标为(6,7),(8,10),(10,12),共有 10 种取法,满足条件的有 6 种,所以P=. 8.B 因为+=(x1+x2+x8,y1+
15、y2+y8)=(8,8)=(6,2),所以 8=6,8=2=,=,因此=+a,即a=-, 故选 B. 9.166 由xi=225,yi=1 600,利用平均值公式求得=22.5,=160, b=4,a=160-422.5=70,从而当x=24 时,y=424+70=166,故答案为 166. 10.解 (1)区间中值依次为:0.05,0.15,0.25,0.35,0.45,0.55,取值的估计概率依次 为:0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05,故平均收益率为 0.050.10+0.150.20+0.250.25+0.350.30+0.450.10+0.550.05=0.275.
16、(2)=38,=6.2, 将(38,6.2)代入y=10-bx,得b=0.10. 设每本图书的收入是 20+x元,则销量为y=10-0.1x,则图书总收入为 f(x)=(20+x)(10-0.1x)=200+8x-0.1x2=360-0.1(x-40)2(万元), 当x=40 时,图书公司总收入最大为 360 万元,预计获利为 3600.275=99 万元. 11.解 (1)易知=3,=1.04,b=0.32,a=-b=1.04-0.323=0.08, 则y关于t的线性回归方程为y=0.32t+0.08,当t=6 时,y=2.00,即 2018 年 5 月份参与竞拍的 人数估计为 2 万人.
17、(2)由=0.20 解得a=40.由频率和为 1,得(0.052+0.10+2b+0.20+0.30)1=1,解得 b=0.15,200 位竞拍人员报价大于 5 万元的人数为(0.05+0.10+0.15)200=60 人. 2018 年 5 月份实际发放车牌数量为 3 000,根据竞价规则,报价在最低成交价以上人数占总 人数比例为100%=15%;又由频率分布直方图知竞拍报价大于 6 万元的频率为 0.05+0.10=0.15, 所以,根据统计思想(样本估计总体)可预测 2018 年 5 月份竞拍的最低成交价为 6 万元. 12.C 由题意得=53,=103.5. 数据的样本中心点在线性回归
18、直线上,y=bx+a中的b为 1.35,103.5=1.3553+a,即 a=31.95,线性回归方程是y=1.35x+31.95. 2018 届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学生人数为 63 人, 今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为 1.3563+31.95=117,故选 C. 13.解 (1)y=c1适宜. (2)由y=c1得 ln y=c2x+ln c1,令 ln y=k,c2=,=ln c1,由图表中的数据可知=,=-, k=x-,y关于x的回归方程为y=0.47. (3)当x=28 时,由回归方程得y=0.471 096.63=515.4,z=0.08515. 4-2.8+10=48.432. 即鸡舍的温度为 28 时,鸡的时段产量的预报值为 515.4,投入成本的预报值为 48.432.