2020高考人教数学（理）大一轮复习检测：第二章 第三节　导数与函数的极值、最值 Word版含解析.pdf

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1、限时规范训练限时规范训练(限时练限时练夯基练夯基练提能练提能练) A 级 基础夯实练级 基础夯实练 1(2018聊城二模聊城二模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 ( ) Ayx3 Byln(x) Cyxe x Dyx2 2 x x 解析：选解析：选 D.由题可知，由题可知，B，C 选项中的函数不是奇函数；选项中的函数不是奇函数；A 选项 中，函数 选项 中，函数 yx3单调递增单调递增(无极值无极值)；D 选项中的函数既为奇函数又存 在极值 选项中的函数既为奇函数又存 在极值 2(2018南京模拟南京模拟)函数函数 f(x)x25x2ex的极值点所在的

2、区间 为 的极值点所在的区间 为( ) A(0，1) B(1，0) C(1，2) D(2，1) 解析 ： 选解析 ： 选 A.f(x)2x52ex为增函数，为增函数，f(0)30，f (1)2e30， f(x)2x52ex的零点在区间的零点在区间(0， 1)上， 上， f(x)x25x2ex 的极值点在区间的极值点在区间(0，1)上上 3 (2018南昌调研南昌调研)已知已知 e 为自然对数的底数， 设函数为自然对数的底数， 设函数 f(x)(ex 1)(x1)k(k1，2)，则，则( ) A当当 k1 时，时，f(x)在在 x1 处取得极小值处取得极小值 B当当 k1 时，时，f(x)在在

3、x1 处取得极大值处取得极大值 C当当 k2 时，时，f(x)在在 x1 处取得极小值处取得极小值 D当当 k2 时，时，f(x)在在 x1 处取得极大值处取得极大值 解析：选解析：选 C.当当 k1 时，时，f(x)exx1，f(1)0， x1 不是不是 f(x)的极值点的极值点 当当 k2 时，时，f(x)(x1)(xexex2)， 显然显然 f(1)0，且在，且在 x1 附近的左侧附近的左侧 f(x)0， 当当 x1 时，时，f(x)0， f(x)在在 x1 处取得极小值故选处取得极小值故选 C. 4 (2018佛山调研佛山调研)设函数设函数 f(x)ax2bxc(a， b， cR) 若

4、 若 x 1 为函数为函数 f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为的一个极值点，则下列图象不可能为 yf(x)图象的是图象的是 ( ) 解析 ： 选解析 ： 选 D.因为因为f(x)exf(x)exf(x)(ex)f(x)f(x)ex， 且， 且 x 1 为函数为函数 f(x)ex的一个极值点， 所以的一个极值点， 所以 f(1)f(1)0； 选项； 选项 D 中，中， f(1)0，f(1)0，不满足，不满足 f(1)f(1)0. 5 (2018山东临沂模拟山东临沂模拟)已知已知 yf(x)是奇函数， 当是奇函数， 当 x(0， 2)时，时， f(x) ln xax，当，当 x(2，0)

5、时，时，f(x)的最小值为的最小值为 1，则，则 a( ) (a 1 2) A. B 1 1 4 4 1 1 3 3 C. D1 1 1 2 2 解析：选解析：选 D.因为因为 f(x)是奇函数，所以是奇函数，所以 f(x)在在(0，2)上的最大值为 上的最大值为 1.当当 x(0，2)时，时，f(x) a，令，令 f(x)0，得，得 x ，又 ，又 a ， ， 1 1 x x 1 1 a a 1 2 所以所以 0 2.当当 x 时， 时，f(x)0，f(x)在上单调递增 ； 当在上单调递增 ； 当 x 1 1 a a 1 1 a a(0 0， ，1 1 a a) 时，时，f(x)0，f(x)

6、在上单调递减，所以在上单调递减，所以 f(x)maxf 1 1 a a( 1 1 a a， ，2 2) ( 1 1 a a) ln a 1，解得，解得 a1. 1 1 a a 1 1 a a 6(2018南通调研南通调研)已知函数已知函数 f(x)2f(1)ln xx，则，则 f(x)的极大 值为 的极大 值为_ 解析 ： 因为解析 ： 因为 f(x)1， 所以， 所以 f(1)2f(1)1， 所以， 所以 f(1) 2 2f f（ （1） ） x 1，故，故 f(x)2ln xx，f(x) 1，则，则 f(x)在在(0，2)上为增函上为增函 2 2 x x 2 2 x x 数，在数，在(2，

7、)上为减函数，所以当上为减函数，所以当 x2 时时 f(x)取得极大值，且取得极大值，且 f(x) 极大值极大值 f(2)2ln 22. 答案：答案：2ln 22 7 (2018大同模拟大同模拟)f(x)x(xc)2在在 x2 处有极大值， 则常数处有极大值， 则常数 c 的值为的值为_ 解析 ：解析 ： f(x)x32cx2c2x， f(x)3x24cxc2， f(2)0c 2 或或 c6， 若， 若 c2， f(x)3x28x4， 令， 令 f(x)0x 或 或 x2， f 2 2 3 3 (x)0 x2，故函数在及，故函数在及(2，)上单调递增，在上单调递增，在 2 2 3 3( ，2

8、2 3 3) 上单调递减， 所以上单调递减， 所以 x2 是极小值点， 故是极小值点， 故 c2(不合题意， 舍去)，不合题意， 舍去)， c ( 2 2 3 3， ，2 2) 6. 答案：答案：6 8 (2018遵义模拟遵义模拟)不等式不等式 exkx 对任意实数对任意实数 x 恒成立， 则实数恒成立， 则实数 k 的最大值为的最大值为_ 解析：解析：(1)不等式不等式 exkx 对任意实数对任意实数 x 恒成立，即为恒成立，即为 f(x)ex kx0 恒成立，即有恒成立，即有 f(x)min0， 由由 f(x)的导数为的导数为 f(x)exk， 当当 k0 时，时，ex0，可得，可得 f(

9、x)0 恒成立，恒成立，f(x)递增，无最值；递增，无最值； 当当k0时，时， xln k时时f(x)0， f(x)递增 ；递增 ； xln k时时f(x)0， f(x) 递减递减 即在即在 xln k 处取得最小值，且为处取得最小值，且为 kkln k， 由由 kkln k0，解得，解得 ke，即，即 k 的最大值为的最大值为 e. 答案：答案：e 9已知函数已知函数 f(x)(a0)的导函数的导函数 yf(x)的两个零的两个零 a ax x2 2bxc e ex x 点为点为3 和和 0. (1)求求 f(x)的单调区间的单调区间 (2)若若 f(x)的极小值为的极小值为e3， 求， 求

10、f(x)在区间在区间5， ， )上的最大值上的最大值 解：解：(1)f(x)（ （2ax b） ）e ex x（ （ax2 2bxc） ）e ex x （ （e ex x） ）2 2 ， ax2 2（ （2ab） ）xbc e ex x 令令 g(x)ax2(2ab)xbc， 因为因为ex0， 所以， 所以yf(x)的零点就是的零点就是g(x)ax2(2ab)xb c 的零点，且的零点，且 f(x)与与 g(x)符号相同符号相同 又因为又因为 a0，所以，所以3x0 时，时， g(x)0，即，即 f(x)0， 当当 x3 或或 x0 时，时，g(x)0，即，即 f(x)0， 所以所以f(x)的

11、单调增区间是的单调增区间是(3， 0)， 单调减区间是， 单调减区间是(， ， 3)， (0， ， ) (2)由由(1)知，知，x3 是是 f(x)的极小值点，所以有的极小值点，所以有 9 9a a3bc e e 3 e e3 3， g g（ （0） ）bc0， g g（ （3） ）9a3（ （2ab） ）bc0，) 解得解得 a1，b5，c5， 所以所以 f(x). x x2 25x5 e ex x 因为因为f(x)的单调增区间是的单调增区间是(3， 0)， 单调减区间是， 单调减区间是(， ， 3)， (0， ， )， 所以所以 f(0)5 为函数为函数 f(x)的极大值，的极大值， 故故

12、 f(x)在区间在区间5，)上的最大值取上的最大值取 f(5)和和 f(0)中的最大 者而 中的最大 者而 f(5)5e55f(0)， 5 5 e e 5 所以函数所以函数 f(x)在区间在区间5，)上的最大值是上的最大值是 5e5. 10已知常数已知常数 a0，f(x)aln x2x. (1)当当 a4 时，求时，求 f(x)的极值；的极值； (2)当当 f(x)的最小值不小于的最小值不小于a 时，求实数时，求实数 a 的取值范围的取值范围 解：解：(1)由已知得由已知得 f(x)的定义域为的定义域为 x(0，)， f(x) 2.当当 a4 时，时，f(x). a a x x a a2x x

13、 2 2x x4 x 当当 0x2 时，时，f(x)0，即，即 f(x)单调递减；单调递减； 当当 x2 时，时，f(x)0，即，即 f(x)单调递增单调递增 f(x)只有极小值，且在只有极小值，且在 x2 时，时，f(x)取得极小值取得极小值 f(2)44ln 2，无极大值，无极大值 (2)f(x)， a a2x x 当当 a0，x(0，)时，时，f(x)0， 即即 f(x)在在 x(0，)上单调递增，没有最小值；上单调递增，没有最小值； 当当 a0 时，由时，由 f(x)0 得，得，x ， ， a a 2 2 f(x)在上单调递增；在上单调递增； ( a 2， ，) 由由 f(x)0 得，

14、得，0x ， ，f(x)在上单调递减在上单调递减 a a 2 2(0 0， ，a 2) 当当 a0 时，时，f(x)的最小值为的最小值为 faln2. ( a 2) ( a 2) ( a 2) 根据题意得根据题意得 faln2a， ( a 2) ( a 2) ( a 2) 即即 aln(a)ln 20. a0，ln(a)ln 20，解得，解得2a0， 实数实数 a 的取值范围是的取值范围是2，0) B 级 能力提升练级 能力提升练 11设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为 R，x0(x00)是是 f(x)的极大值点，以 下结论一定正确的是 的极大值点，以 下结论一定正确的是( ) AxR

15、，f(x)f(x0) Bx0是是 f(x)的极小值点的极小值点 Cx0是是f(x)的极小值点的极小值点 Dx0是是f(x)的极小值点的极小值点 解析：选解析：选 D.函数函数 f(x)的极大值的极大值 f(x0)不一定是最大值，故不一定是最大值，故 A 错误；错误； f(x)与与f(x)关于原点对称，故关于原点对称，故 x0(x00)是是 f(x)的极大值点时，的极大值点时，x0 是是f(x)的极小值点，故选的极小值点，故选 D. 12 (2018武汉模拟武汉模拟)若函数若函数 f(x)2x2ln x 在其定义域内的一个 子区间 在其定义域内的一个 子区间(k1，k1)内存在最小值，则实数内存

16、在最小值，则实数 k 的取值范围是的取值范围是( ) A1，) B1 1， ，3 3 2 2) C1，2) D3 3 2 2， ，2 2) 解析 ： 选解析 ： 选 B.因为因为 f(x)的定义域为的定义域为(0，)，又因为，又因为 f(x)4x ， ， 1 1 x x 所以由所以由 f(x)0 解得解得 x ，由题意得解得 ，由题意得解得 1k . 1 1 2 2 k k11 2 k1， k k1 0， ) 3 3 2 2 13(2018江苏卷江苏卷)若函数若函数 f(x)2x3ax21(aR)在在(0，)内 有且只有一个零点，则 内 有且只有一个零点，则 f(x)在在1，1上的最大值与最小

17、值的和为上的最大值与最小值的和为 _ 解析：解析：f(x)6x22ax2x(3xa)(x0) 当当 a0 时，时，f(x)0，f(x)在在(0，)上递增，上递增， 又又 f(0)1，f(x)在在(0，)上无零点上无零点 当当 a0 时，由时，由 f(x)0 解得解得 x ， ， a a 3 3 由由 f(x)0 解得解得 0x ， ， a a 3 3 f(x)在上递减，在上递增在上递减，在上递增 (0 0， ，a a 3 3)( a 3， ，) 又又 f(x)只有一个零点，只有一个零点，f10，a3. ( a a 3 3) a a3 3 2 27 7 此时此时 f(x)2x33x21，f(x)

18、6x(x1)， 当当 x1，1时，时，f(x)在在1，0上递增，在上递增，在0，1上递减上递减 又又 f(1)0，f(1)4， f(x)maxf(x)minf(0)f(1)143. 答案：答案：3 14(2018北京卷北京卷)设函数设函数 f(x)ax2(4a1)x4a3ex. (1)若曲线若曲线 yf(x)在点在点(1，f(1)处的切线与处的切线与 x 轴平行，求轴平行，求 a； (2)若若 f(x)在在 x2 处取得极小值，求处取得极小值，求 a 的取值范围的取值范围 解 ：解 ： (1)因为因为 f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以，所以 f(x)ax2 (2a1)x2ex. f(

19、1)(1a)e. 由题设知由题设知 f(1)0，即，即(1a)e0，解得，解得 a1. 此时此时 f(1)3e0. 所以所以 a 的值为的值为 1. (2)由由(1)得得 f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex. 若若 a ，则当 ，则当 x时，时，f(x)0； 1 1 2 2( 1 1 a a， ，2 2) 当当 x(2，)时，时，f(x)0. 所以所以 f(x)在在 x2 处取得极小值处取得极小值 若若 a ，则当 ，则当 x(0，2)时，时，x20，ax1 x10，所以，所以 1 1 2 2 1 2 f(x)0. 所以所以 2 不是不是 f(x)的极小值点的极小值点 综上

20、可知，综上可知，a 的取值范围是的取值范围是. ( 1 1 2 2， ，) 15(2017浙江卷浙江卷)已知函数已知函数 f(x)(x)e x .2 2x x1 (x x 1 1 2 2) (1)求求 f(x)的导函数；的导函数； (2)求求 f(x)在区间上的取值范围在区间上的取值范围 1 2， ，) 解：解：(1)因为因为(x)1，2 2x x1 1 1 2 2x x1 (e x) e x， ， 所以所以 f(x)e x (x)e x (1 1 1 2x 1) 2 2x x1 . （ （1x） ）（ （ 2x12） ）e e x 2 2x x1 (x x 1 2) (2)由由 f(x)0，

21、 （ （1x） ）（ （ 2x12） ）e e x 2 2x x1 解得解得 x1 或或 x . 5 5 2 2 因为因为 x 1 1 2 2( 1 1 2 2， ，1 1)1 (1 1， ，5 2) 5 5 2 2( 5 5 2 2， ，) f(x)00 f(x)e 1 1 2 2 1 1 2 2 0e 1 1 2 2 5 5 2 2 又又 f(x) (1)2e x 0， 1 1 2 2 2 2x x1 所以所以 f(x)在区间上的取值范围是在区间上的取值范围是. 1 2， ，) 0 0， ，1 1 2 2e e 1 2 C 级 素养加强练级 素养加强练 16 (2018辽宁省五校联考辽宁省

22、五校联考)已知函数已知函数f(x)2ln xx22ax(a0) (1)讨论函数讨论函数 f(x)的单调性；的单调性； (2)若函数若函数f(x)有两个极值点有两个极值点x1， x2(x1x2)， 且， 且f(x1)f(x2) 2ln 3 3 2 2 2 恒成立，求恒成立，求 a 的取值范围的取值范围 解：解：(1)由题意知，函数由题意知，函数 f(x)的定义域是的定义域是(0，)， f(x)，令，令 x2ax10，则，则 a24， 2 2（ （x2 2ax1） ） x 当当 0a2 时，时，0，f(x)0 恒成立，恒成立， 函数函数 f(x)在在(0，)上单调递增；上单调递增； 当当 a2 时

23、，时，0，方程，方程 x2ax10 有两个不同的实根， 分别设为 有两个不同的实根， 分别设为 x3，x4，不妨令，不妨令 x3x4， 则则 x3，x4，此时，此时 0x3x4， a a a2 24 2 a a a2 24 2 因为当因为当 x(0，x3)时，时，f(x)0，当，当 x(x3，x4)时，时，f(x)0， 当 ， 当 x(x4，)时，时，f(x)0， 所 以 函 数所 以 函 数f(x)在上 单 调 递 增 ， 在在上 单 调 递 增 ， 在 (0 0， ，a a a2 2 4 2 ) 上单调递减，在上单调递减，在(，)上单调递上单调递 ( a a2 2 4 2 ，a a a2

24、2 4 2 ) a a a2 24 2 增增 (2)由由(1)得得 f(x)在在(x1， x2)上单调递减，上单调递减， x1x2a， x1x21， 则， 则 f(x1) f(x2)2ln(x1x2)(x1x22a)2ln2ln， x x1 x x2 2 x x1 1 x x2 2 x xx x x1 1x x2 2 x x1 1 x x2 2 x x2 2 x x1 1 x x1 1 x x2 2 令令 t，则，则 0t1，f(x1)f(x2)2ln t t， x x1 1 x x2 2 1 1 t t 令令 g(t)2ln t t(0t1)，则，则 g(t)0， 1 1 t t （ （t1

25、） ）2 2 t t2 2 故故 g(t)在在(0，1)上单调递减且上单调递减且 g 2ln 2， ( 1 1 2 2) 3 3 2 2 故故 g(t)f(x1)f(x2) 2ln 2g，即，即 0t ， ， 3 3 2 2( 1 1 2 2) 1 1 2 2 而而 a2(x1x2)22t 2， 其中， 其中 0t ， 令 ， 令 h(t)t x x1 1 x x2 2 x2 2 x x1 1 1 1 t t 1 1 2 2 2，t， 1 1 t t(0 0， ，1 1 2 2 所以所以 h(t)10 在在 t上恒成立，上恒成立， 1 1 t t2 2(0 0， ，1 1 2 2 故故 h(t)t 2 在上单调递减，从而在上单调递减，从而 a2 ， ， 1 1 t t(0， ，1 1 2 2 9 9 2 2 故故 a 的取值范围是的取值范围是. 3 3 2 2 2 2 ，)