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1、限时规范训练限时规范训练(限时练限时练夯基练夯基练提能练提能练) A 级 基础夯实练级 基础夯实练 1已知点已知点 A(2，3)在抛物线在抛物线 C： y22px(p0)的准线上，记的准线上，记 C 的焦点为的焦点为 F，则直线，则直线 AF 的斜率为的斜率为( ) A B1 4 4 3 3 C D 3 3 4 4 1 1 2 2 解析：选解析：选 C.由已知，得准线方程为由已知，得准线方程为 x2，所以，所以 F 的坐标为的坐标为(2， 0)又又 A(2，3)，所以直线，所以直线 AF 的斜率为的斜率为 k . 3 3 0 22 3 3 4 4 2若点若点 A，B 在抛物线在抛物线 y22p
2、x(p0)上，上，O 是坐标原点，若正 三角形 是坐标原点，若正 三角形 OAB 的面积为的面积为 4，则该抛物线方程是，则该抛物线方程是( )3 3 Ay2x By2x 2 2 3 3 3 3 3 3 Cy22x Dy2x3 3 3 3 3 解析：选解析：选 A.根据抛物线的对称性，根据抛物线的对称性，ABx 轴，由于正三角形的 面积是 轴，由于正三角形的 面积是 4，故，故AB24，故，故 AB4，正三角形的高为，正三角形的高为 2，故，故3 3 3 3 4 4 3 33 3 可以设点可以设点A的坐标为的坐标为(2， 2)代入抛物线方程得代入抛物线方程得44p， 解得， 解得p，3 33
3、3 3 3 3 3 故所求的抛物线方程为故所求的抛物线方程为 y2x.故选故选 A. 2 2 3 3 3 3 3(2018皖北协作区联考皖北协作区联考)已知抛物线已知抛物线 C：x22py(p0)，若直 线 ，若直 线 y2x 被抛物线所截弦长为被抛物线所截弦长为 4，则抛物线，则抛物线 C 的方程为的方程为( )5 5 Ax28y Bx24y Cx22y Dx2y 解析：选解析：选 C.由得或由得或 x2 22py， y y2x) x x0， y y0) x x4p， y y8p，) 即两交点坐标为即两交点坐标为(0， 0)和和(4p， 8p)， 则， 则4， 得， 得 p（ （4p） ）2
4、 2（ （8p） ）2 25 5 1(舍去负值舍去负值)，故抛物线，故抛物线 C 的方程为的方程为 x22y. 4 (2018湖南省五市十校联考湖南省五市十校联考)已知抛物线已知抛物线 y22x 上一点上一点 A 到焦 点 到焦 点 F 的距离与其到对称轴的距离之比为的距离与其到对称轴的距离之比为 54，且，且|AF|2，则点，则点 A 到 原点的距离为 到 原点的距离为( ) A. B24 41 12 2 C4 D8 解析 ： 选解析 ： 选 B.令点令点 A 到点到点 F 的距离为的距离为 5a， 点， 点 A 到到 x 轴的距离为轴的距离为 4a， 则点 ， 则点 A 的坐标为， 代入的
5、坐标为， 代入 y22x 中， 解得中， 解得 a 或 或 a (舍舍)， (5 5a a 1 2， ，4 4a a) 1 1 2 2 1 8 此时此时 A(2，2)，故点，故点 A 到原点的距离为到原点的距离为 2 . 2 2 5 (2018太原模拟太原模拟)已知抛物线已知抛物线 C： y28x 的焦点为的焦点为 F， 准线为， 准线为 l， P 是是 l 上一点，上一点，Q 是直线是直线 PF 与与 C 的一个交点若的一个交点若4，则，则|QF|等于等于 F FP P F FQ Q ( ) A. B 7 7 2 2 5 5 2 2 C3 D2 解析：选解析：选 C.因为因为4，所以，所以|
6、4|，所以，所以 F FP P F FQ Q F FP P F FQ Q .如图， 过如图， 过 Q 作作 QQl，垂足为，垂足为 Q，设，设 l 与与 x | |P PQ Q| | | |P PF F| | 3 3 4 4 轴的交点为轴的交点为 A， 则， 则|AF|4，所以 ，所以 ， | |P PQ Q| | | |P PF F| | | |Q QQ Q| | | |A AF F| | 3 3 4 4 所以所以|QQ|3， 根据抛物线定义可知， 根据抛物线定义可知|QQ|QF|3. 6 (2018江西协作体联考江西协作体联考)设抛物线设抛物线C： y22px(p0)的焦点为的焦点为F，
7、点 ， 点 M 在在 C 上，上，|MF|5.若以若以 MF 为直径的圆过点为直径的圆过点(0，2)，则，则 C 的方 程为 的方 程为( ) Ay24x 或或 y28x By22x 或或 y28x Cy24x 或或 y216x Dy22x 或或 y216x 解析：选解析：选 C.由已知得抛物线的焦点由已知得抛物线的焦点 F，设点，设点 A(0，2)，抛，抛 ( p p 2 2， ，0 0) 物线上点物线上点 M(x0， y0)， 则， 则，.由已知得，由已知得， A AF F ( p p 2 2， ，2)A AM M ( y y 2 2p p， ，y y0 02)A AF F 0，即，即 y
8、 8y0160，因而，因而 y04，M.由由|MF|5 得，得， A AM M 2 2 0 0 ( 8 8 p p， ，4 4) 5， 又， 又p0， 解得， 解得p2或或p8， 即抛物线方程为， 即抛物线方程为y24x ( 8 8 p p p 2) 2 16 或或 y216x. 7 (2018云南大理州模拟云南大理州模拟)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中， 有一定点中， 有一定点 M( 1，2)，若线段，若线段 OM 的垂直平分线过抛物线的垂直平分线过抛物线 x22py(p0)的焦点，则 该抛物线的准线方程是 的焦点，则 该抛物线的准线方程是_ 解析：依题意可得线段解析：依题意可得线段
9、OM 的垂直平分线的方程为的垂直平分线的方程为 2x4y5 0， 把焦点坐标代入可求得把焦点坐标代入可求得 p ， ， (0 0， ，p p 2 2) 5 5 2 2 所以准线方程为所以准线方程为 y . 5 4 答案：答案：y5 5 4 4 8(2018河北六校模拟河北六校模拟)抛物线抛物线 C：y22px(p0)的焦点为的焦点为 F， 点 ， 点 O 是坐标原点，过点是坐标原点，过点 O，F 的圆与抛物线的圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆 的面积为 的准线相切，且该圆 的面积为 36，则抛物线的方程为，则抛物线的方程为_ 解析：设满足题意的圆的圆心为解析：设满足题意的圆的圆心为 M. 根
10、据题意可知圆心根据题意可知圆心 M 在抛物线上，在抛物线上， 又因为圆的面积为又因为圆的面积为 36， 所以圆的半径为所以圆的半径为 6，则，则|MF|xM 6，即，即 xM6 ， ， p p 2 2 p p 2 2 又由题意可知又由题意可知 xM ，所以 ，所以 6 ，解得 ，解得 p8. p p 4 4 p p 4 4 p p 2 2 所以抛物线方程为所以抛物线方程为 y216x. 答案：答案：y216x 9设设 P 是抛物线是抛物线 y24x 上的一个动点，则点上的一个动点，则点 P 到点到点 A(1，1) 的距离与点的距离与点 P 到直线到直线 x1 的距离之和的最小值为的距离之和的最
11、小值为_ 解析 ： 如图，易知抛物线的焦点为解析 ： 如图，易知抛物线的焦点为 F(1，0)，准线 方程是 ，准线 方程是 x1，由抛物线的定义知，点，由抛物线的定义知，点 P 到直线到直线 x 1 的距离等于点的距离等于点 P 到到 F 的距离于是问题转化为在抛 物线上求一点 的距离于是问题转化为在抛 物线上求一点 P， 使点， 使点 P 到点到点 A(1， 1)的距离与点的距离与点 P 到到 F(1，0)的距离之和最小，连接的距离之和最小，连接 AF 交抛物线于点交抛物线于点 P，此时最小值 为 ，此时最小值 为|AF|.1（ （1） ）2 2（ （01） ）2 25 5 答案：答案： 5
12、 5 10(2018湖北武汉调研测试湖北武汉调研测试)已知抛物线已知抛物线 C： x22py(p0)和定 点 和定 点 M(0，1)，设过点，设过点 M 的动直线交抛物线的动直线交抛物线 C 于于 A，B 两点，抛物线两点，抛物线 C 在在 A，B 处的切线的交点为处的切线的交点为 N. (1)若若 N 在以在以 AB 为直径的圆上，求为直径的圆上，求 p 的值；的值； (2)若若ABN 的面积的最小值为的面积的最小值为 4，求抛物线，求抛物线 C 的方程的方程 解 ： 由题意知， 直线解 ： 由题意知， 直线 AB 的斜率一定存在， 设直线的斜率一定存在， 设直线 AB： ykx 1，A(x
13、1，y1)，B(x2，y2)， 将直线将直线 AB 的方程代入抛物线的方程代入抛物线 C 的方程得的方程得 x22pkx2p0， 则则 x1x22pk，x1x22p. (1)由由 x22py 得得 y ，则 ，则 A，B 处的切线斜率的乘积为处的切线斜率的乘积为 x x p p x x1 1x x2 2 p p2 2 ， 2 2 p p 点点 N 在以在以 AB 为直径的圆上，为直径的圆上， ANBN， ， 1，p2. 2 2 p p (2)易得直线易得直线 AN：yy1(xx1)，直线，直线 BN：yy2(xx2)， x x1 1 p p x x2 2 p 联立，得结合式，联立，得结合式，
14、y yy1 1x 1 1 p p （ （xx1 1） ）， y yy2 2x 2 2 p p （ （xx2 2） ），) 解得即解得即 N(pk，1) x xpk， y y1，) |AB|x2x1|1 1k2 21 1k2 2（ （x1 1x2 2） ）2 24x1 1x x2 21 1k2 2 ，4 4p p2 2k k2 28p 点点 N 到直线到直线 AB 的距离的距离 d， | |k kx xN N1yN N| | 1 1 k2 2 | |p pk k2 22| 1 k2 2 则则S ABN |AB|d2， 当， 当k0时， 取等号，时， 取等号， 1 1 2 2 p p（ （pk2
15、22） ）3 32 2p p ABN 的面积的最小值为的面积的最小值为 4， 24，p2，故抛物线，故抛物线 C 的方程为的方程为 x24y.2 2p p B 级 能力提升练级 能力提升练 11 (2018河北邯郸质检河北邯郸质检)已知抛物线已知抛物线y22px(p0)过点过点A(1 1 2 2， ， 2 2 ) ， 其准线与， 其准线与 x 轴交于点轴交于点 B，直线，直线 AB 与抛物线的另一个交点为与抛物线的另一个交点为 M，若，若 ，则实数，则实数 为为( ) M MB B A AB B A. B 1 3 1 1 2 2 C2 D3 解析 ： 选解析 ： 选 C.把点把点 A代入抛物线
16、的方程得代入抛物线的方程得 22p ， 解得 ， 解得 p ( 1 1 2 2， ， 2 2 ) 1 1 2 2 2， 所以抛物线的方程为， 所以抛物线的方程为 y24x， 则， 则 B(1， 0)， 设， 设 M， 则， 则 ( y y 4 4， ，y yM M)A AB B ，(1 ， ，yM)，由，由，得，得 ( 3 2， ， 2)M MB B y y 4 4 M MB B A AB B 1y 4 4 3 2， ， yM 2，) 解得解得 2 或或 1(舍去舍去)，故选，故选 C. 12 (2018河南郑州模拟河南郑州模拟)已知抛物线已知抛物线 y28x， 点， 点 Q 是圆是圆 C：
17、x2y2 2x8y130上任意一点， 记抛物线上任意一点上任意一点， 记抛物线上任意一点P到直线到直线x2 的距离为的距离为 d，则，则|PQ|d 的最小值为的最小值为( ) A5 B4 C3 D2 解析 ： 选解析 ： 选 C.如图，由题意知抛物线如图，由题意知抛物线 y28x 的焦 点为 的焦 点为F(2， 0)，连 接，连 接PF， FQ， 则， 则d|PF|， 将圆， 将圆C的方程化 为 的方程化 为(x1)2(y4)24， 圆心为， 圆心为 C(1， 4)， 半径为， 半径为 2，则，则 |PQ|d|PQ|PF|，又，又|PQ|PF|FQ|(当且仅当当且仅当 F，P，Q 三点共线时取
18、得等号三点共线时取得等号)所以当所以当 F，Q，C 三点共线时取得最 小值，且为 三点共线时取得最 小值，且为|CF|CQ|23，故选，故选 C.（ （12） ）2 2（ （40） ）2 2 13(2018广东五校联考广东五校联考)已知过抛物线已知过抛物线 C：y28x 的焦点的焦点 F 的 直线 的 直线 l 交抛物线于交抛物线于 P，Q 两点，若两点，若 R 为线段为线段 PQ 的中点，连接的中点，连接 OR 并并 延长交抛物线延长交抛物线 C 于点于点 S，则的取值范围是，则的取值范围是( ) | |O OS S| | | |O OR R| | A(0，2) B2，) C(0，2 D(2
19、，) 解析：选解析：选 D.由题意知，抛物线由题意知，抛物线 y28x 的焦点的焦点 F 的坐标为的坐标为(2，0)， 直线 ， 直线 l 的斜率存在且不为的斜率存在且不为 0，设直线，设直线 l 的方程为的方程为 yk(x2)由 消去 由 消去 y 整理得整理得 k2x24(k22)x4k20，设，设 P(x1，y1)， y yk（ （x2） ）， y y2 28x) Q(x2， y2)， R(x0， y0)， S(x3， y3)， 则， 则 x1x2， 故， 故 x0 4 4（ （k2 22） ） k2 2 x x1 1x2 2 2 2 ，y0k(x02) ，所以 ，所以 kOS，直线，直
20、线 OS 的方程的方程 2 2（ （k2 22） ） k2 2 4 4 k k y y0 0 x x0 0 2k k2 22 为为 yx，代入抛物线方程，解得，代入抛物线方程，解得 x3，由条件知，由条件知 k20. 2 2k k k k2 22 2 2（ （k2 22） ）2 2 k k2 2 所以所以k222.选选 D. | |O OS S| | | |O OR R| | x x3 3 x x0 0 14 (2018河南洛阳统一考试河南洛阳统一考试)已知抛物线已知抛物线 C： x24y 的焦点为的焦点为 F， 直线 ， 直线 AB 与抛物线与抛物线 C 相交于相交于 A， B 两点， 若两
21、点， 若 230， 则弦， 则弦AB O OA A O OB B O OF F 中点到抛物线中点到抛物线 C 的准线的距离为的准线的距离为_ 解析 ： 依题意得，抛物线的焦点为解析 ： 依题意得，抛物线的焦点为 F(0，1)，准线方程是，准线方程是 y1， 因为 ， 因为 2()()0，即，即 20，所以，所以 F，A，B 三点三点 O OA A O OF F OB O OF F F FA A F FB B 共线设直线共线设直线 AB：ykx1(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由 得 ，则由 得 x24(kx1)，即，即 x24kx40，x1x24 ； ； y ykx1， x x
22、2 24y) 又又 20，因此，因此 2x1x20 . F FA A F FB B 由解得由解得x 2， 弦， 弦AB的中点到抛物线的中点到抛物线C的准线的距离为的准线的距离为 (y1 2 2 1 1 1 1 2 2 1)(y21) (y1y2)1 (x x )11 . 1 1 2 2 1 1 8 8 2 2 1 12 2 2 2 5 5x x 8 9 9 4 4 答案：答案：9 9 4 4 15已知已知 F 是抛物线是抛物线 y24x 的焦点，点的焦点，点 A，B 在该抛物线上且 位于 在该抛物线上且 位于 x 轴的两侧，轴的两侧，4(其中其中 O 为坐标原点为坐标原点)，则，则ABO 面积
23、面积 O OA A O OB B 的最小值是的最小值是_ 解析：不妨设解析：不妨设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，y10，由，由4， O OA A O OB B 即即 x1x2y1y24 得得y y y1y24， 得， 得 y1y28.所以所以 S ABO 1 1 1 16 6 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 |x1y2x2y1|y1y2|4， 当， 当y12， y22时取等号， 故时取等号， 故ABO2 22 22 2 面积的最小值为面积的最小值为 4 . 2 2 答案：答案：4 2 2 C 级 素养加强练级 素养加强练 16已知抛物线已知抛物线 C：y22px 过点过
24、点 P(1，1)过点作直线过点作直线 l (0 0， ，1 1 2 2) 与抛物线与抛物线 C 交于不同的两点交于不同的两点 M，N，过点，过点 M 作作 x 轴的垂线分别与直 线 轴的垂线分别与直 线 OP，ON 交于点交于点 A，B，其中，其中 O 为原点为原点 (1)求抛物线求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：求证：A 为线段为线段 BM 的中点的中点 解：解：(1)把把 P(1，1)代入代入 y22px 得得 p ，所以抛物线 ，所以抛物线 C：y2x， 1 1 2 2 所以焦点坐标为，准线：所以焦点坐标为，准线：x . (
25、1 1 4 4， ，0 0) 1 1 4 4 (2)证明：设证明：设 l：ykx ， ，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 1 1 2 2 OP：yx，ON：yx， y y2 2 x x2 2 由题知由题知 A(x1，x1)，B， (x 1 1， ，x x 1 1y y2 2 x x2 2) 由由y y kx1 2， ， y y2 2x， ) 消去消去 y 得得 k2x2(k1)x 0， 1 1 4 4 所以所以 x1x2，x1x2. 1 1k k2 2 1 1 4 4k k2 2 所以所以 y1kx1 2kx1， x x1 1y y2 2 x x2 2 1 1 2 2 x1 1(k kx x2 21 2) x2 2 x x1 1x2 2 2 2x x2 2 由由 x1x2，x1x2， 1 1k k2 2 1 1 4 4k k2 2 上式上式2kx12kx1(1k)2x12x1， 1 1k k2 2 2 2 1 1 4 4k k2 2x x1 所以所以 A 为线段为线段 BM 的中点的中点