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1、必备二 审题方法秘籍必备二 审题方法秘籍 审题是解题的基础,深入细致地审题是成功解题的前提,审题不仅存在于解题的开端,还贯穿于解题 的全过程和解后的反思回顾.正确的审题要从多角度观察,由表及里,由条件到结论,由数式到图形,洞察 问题的实质,选择正确的解题方向.事实上,很多考生往往对审题掉以轻心,或不知从何处入手,致使解题 错误而丢分,下面结合实例,教你正确的审题方法,帮你铺设一条“审题路线”,攻克高考解答题. 一审 审条件挖隐含 有的题目条件隐于概念、存于性质或含于图中.审题时,就要注意深入挖掘这些隐含条件和信息,解 题时可避免因忽视隐含条件而出现错误. 典型例题 例 1 (2018 江苏扬州
2、高三第一次模拟)已知函数 f(x)=sinx-x+,则关于 x 的不等式 f(1- 1 - 4x 2x x2)+f(5x-7)7-5x 答案 (2,3) 解析 f(x)的定义域为 R,且 f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数,f(x)=cosx-1-2xln2, ln2 2x f(x)7- 5x,解得 20 时,h(x)0, (x)在(0,+)上单调递增. (x)在 x=0 处有唯一的极小值 (0)=0, 即 (x)在 R 上的最小值为 (0)=0. (x)0(当且仅当 x=0 时,等号成立), (x)在 R 上是单调递增的, (x)在 R 上有唯一的零点, 故曲线 y=f(x)与曲线 y
3、= x2+x+1 有唯一的公共点. 1 2 跟踪集训 2.(2018 江苏南通海安高级中学高三阶段检测)已知二次函数 g(x)对任意实数 x 都满足 g(x-1)+g(1- x)=x2-2x-1,且 g(1)=-1.令 f(x)=g+mlnx+ (mR,x0).(x + 1 2) 9 8 (1)求 g(x)的表达式; (2)若x0,f(x)0 成立,求实数 m 的取值范围; (3)设 11000. 1 1000 |1 - 1 2n - 1| 1 1000 因为 29=512 0,0 0)的图象如图所示,则 f(2)= . 五审 审图表找规律 题目中的图表、数据包含着问题的基本信息,往往也暗示着
4、解决问题的方向.在审题时,认真观察分 析图表、数据的特征和规律,常常可以找到解决问题的思路和方法. 典型例题 例 5 把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数表,设 aij(i,jN*)是这个三角形数表中从 上往下数第 i 行,从左往右数第 j 个数,如 a42=8,若 aij=2015,则 i+j= . 1 2,4 3,5,7 6,8,10,12 9,11,13,15,17 14,16,18,20,22,24 审题指导 i 是奇数2015 位于奇数行 的位置,求出 i判断这一行数的个数求出 j求出 i+j 答案 110 解析 由三角形数表可以看出,奇数行中的数都是奇数,偶数行中的数都是偶
5、数,2015=21008-1,所 以 2015 为第 1008 个奇数,又每一个奇数行中奇数的个数就是行数,且前 31 个奇数行内奇数的总个数为 311+2=961,前 32 个奇数行内奇数的总个数为 321+2=1024,故 2015 在第 32 个奇数 31 30 2 32 31 2 行内,所以 i=63,因为第 31 个奇数行的最后一个奇数是 9612-1=1921,所以第 63 行的第一个数为 1923, 所以 2015=1923+2(j-1),故 j=47,从而 i+j=63+47=110. 跟踪集训 5.已知数列an,an=2,把数列an的各项排成三角形状,如图所示,记A(m,n)
6、表示第m行,第n列的项,( 1 3) n 则 A(10,8)= . a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 6.下表给出一个“三角形数阵”. 1 4 1 2 1 4 3 4 3 8 3 16 已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第 i 行第 j 列 的数为 aij(ij,i,jN*). (1)求 a83; (2)试写出 aij关于 i,j 的表达式; (3)记第 n 行的和为 An,求数列An的前 m 项和 Bm的表达式. 六审 审范围防易错 范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件.审视范围要适时利
7、用 相关量的约束条件,从整体上把握问题. 典型例题 例 6 已知函数 f(x)=lnx+a(1-x). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围. 审题指导 (1)f(x)=lnx+a(1-x)f(x)= -a 1 x 结论 (2)由(1)中结论f(x)的最大值lna+a-10,所以 f(x)在(0,+)上单调递增. 若 a0,则当 x时,f(x)0;当 x时,f(x)0时,f(x)在x= 处取得最大值,最大值为f 1 a ( 1 a) =ln +a=-lna+a-1.因此 f2a-2 等价于 lna+a-10,g(a)= +1
8、0, 1 a 则 g(a)在(0,+)上单调递增,又 g(1)=0, 于是,当 01 时,g(a)0. 因此,a 的取值范围是(0,1). 跟踪集训 7.在三角形 ABC 中,已知 2=|,设CAB=,ABACABAC (1)求角 的值; (2)若 cos(-)=,其中 ,求 cos 的值. 43 7 ( 3, 5 6) 七审 审方法寻捷径 方法是解题的手段,数学思想方法是解决问题的主线.选择适当的解题方法往往使问题的解决事半 功倍. 典型例题 例 7 已知椭圆 C: + =1(ab0)的左焦点为 F(-2,0),离心率为. x2 a2 y2 b2 6 3 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2
9、)设 O 为坐标原点,T 为直线 x=-3 上一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P,Q 两点.当四边形 OPTQ 是平 行四边形时,求四边形 OPTQ 的面积. 审题指导 (1) (2)四边形 OPTQ 是平行四边形SOPTQ=2SOPQSOPQ= |OF|y1-y2|y1与 y2 1 2 的关系联立直线 PQ 的 方程与椭圆的方程 解析 (1)由已知可得 =,c=2,所以 a=. c a 6 3 6 由 a2=b2+c2,得 b=,所以椭圆 C 的标准方程是 + =1.2 x2 6 y2 2 (2)设 T 点的坐标为(-3,m), 则直线 TF 的斜率 kTF=-m. m - 0 -
10、3 - ( - 2) 当 m0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ= , 1 m 则直线 PQ 的方程是 x=my-2. 当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-2, 也满足方程 x=my-2. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得消去 x,得(m2+3)y2- x = my - 2, x2 6 + y2 2 = 1, 4my-2=0, =16m2+8(m2+3)0,y1+y2=,y1y2=, 4m m2+ 3 - 2 m2+ 3 则 x1+x2=m(y1+y2)-4=. - 12 m2+ 3 因为四边形 OPTQ 是平行四边形, 所以=,即(
11、x1,y1)=(-3-x2,m-y2).OP QT 所以解得 m=1. x1+ x2= - 12 m2+ 3 =- 3, y1+ y2= 4m m2+ 3 = m, 所以 S四边形 OPTQ=2SOPQ=2 |OF|y1-y2| 1 2 =2=2. ( 4m m2+ 3) 2 - 4 - 2 m2+ 3 3 跟踪集训 8.(2018常州教育学会学业水平检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: + =1(ab0)的右焦点为F, x2 a2 y2 b2 点 A 是椭圆的左顶点,过原点的直线 MN 与椭圆交于 M,N 两点(M 在第三象限),与椭圆的右准线交于点 P. 已知 AMMN,且= b
12、2.OAOM 4 3 (1)求椭圆 C 的离心率 e; (2)若 SANM+SPOF= a,求椭圆 C 的标准方程. 10 3 答案精解精析答案精解精析 一审 审条件挖隐含 跟踪集训 1.答案 a|a1 或 a-8 解析 因为 f(x)=2x是单调增函数, 所以由 f(x+1)f(2x+a)2得 x+1(2x+a)2, 则问题转化为 x+1(2x+a)2对 x0,3恒成立, 即 4x2+(4a-1)x+a2-10 对 x0,3恒成立, 令 h(x)=4x2+(4a-1)x+a2-1, 若3,则 h(3)0,此时 a-8; 1 - 4a 8 若 03,则 =(4a-1)2-16(a2-1)0,此
13、时无解. 1 - 4a 8 综上,a 的取值范围是a|a1 或 a-8. 二审 审结论会转换 跟踪集训 2.解析 (1)设 g(x)=ax2+bx+c,a0,于是 g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)2+2c=(x-1)2-2,所以 a = 1 2, c =- 1. 又 g(1)=-1,则 b=- .所以 g(x)= x2- x-1. 1 2 1 2 1 2 (2)f(x)=g+mlnx+ = x2+mlnx(mR,x0).(x + 1 2) 9 8 1 2 当 m0 时,由对数函数性质知 f(x)的值域为 R; 当 m=0 时,f(x)= ,x0,f(x)0 恒成立; x2 2 当 m
14、0-e 0, m 0,f(x)0 恒成立,则实数 m 的取值范围是(-e,0. 故x0,f(x)0 成立,实数 m 的取值范围(-,-e(0,+). (3)证明:因为x1,m,H(x)=0, (x - 1)(x - m) x 所以 H(x)在1,m内单调递减. 于是|H(x1)-H(x2)|H(1)-H(m)= m2-mlnm- , 1 2 1 2 |H(x1)-H(x2)|0, 1 2 1 m 3 2m2 3 2( 1 m - 1 3) 2 1 3 所以函数 h(m)= m-lnm- 在(1,e上是单调增函数, 1 2 3 2m 所以 h(m)h(e)= -1- =0,即 M1M3M4. (
15、Mn)max=M2=10-1= .( 1 3 + 1 4) 29 6 因此数列S2n-Sn的最大值为 . 29 6 四审 审图形抓特点 跟踪集训 4.答案 - 2 2 解析 由三角函数的图象可得 T=3-1=2,所以最小正周期 T= =,解得 =.又 f(1)=sin=1, 3 4 8 3 2 3 4 ( 3 4 + ) 解得 =- +2k,kZ, 4 所以 f(x)=sin,kZ,( 3 4 x - 4 + 2k) 则 f(2)=sin=sin=-.( 3 2 - 4) 5 4 2 2 五审 审图表找规律 跟踪集训 5.答案 2( 1 3) 53 解析 由题意知:第一行共 1 项,第二行共
16、2 项,第三行共 3 项,可以猜测第 n 行共 n+1 项,因为 A(10,8)是第十行第八列,故前九行的项数总和是 S9=45,再加上第十行的 8 项就是 9 (1 + 9) 2 A(10,8)=a53=2,( 1 3) 53 故答案为 2. ( 1 3 53) 6.解析 (1)由题知,ai1成等差数列,因为 a11= ,a21= , 1 4 1 2 所以公差 d= ,a81= +(8-1) =2.又从第三行起,各行成等比数列,公比都相等,a31= ,a32= ,所以,每行的 1 4 1 4 1 4 3 4 3 8 公比 q= ,故 a83=2= . 1 2 ( 1 2) 2 1 2 (2)
17、由(1)知 ai1= +(i-1) = ,所以 aij=ai1= =i. 1 4 1 4 i 4 ( 1 2) j - 1 i 4 ( 1 2) j - 1 ( 1 2) j + 1 (3)An=an11 + 1 2 +( 1 2) 2 + +( 1 2) n - 1 = -n. n 42 - ( 1 2) n - 1 n 2 ( 1 2) n + 1 Bm= (1+2+m)- 1 2 . 1 2( 1 2 + 2 4 + 3 8 + + m 2m) 设 Tm= + + + , 1 2 2 4 3 8 m 2m 则 Tm= + + +, 1 2 1 4 2 8 3 16 m 2m + 1 由-
18、,得 Tm= + + +-=1- -=1-, 1 2 1 2 1 4 1 8 1 2m + 1 m 2m + 1 1 2m m 2m + 1 m + 2 2m + 1 所以 Bm= -=+-1. 1 2 m(1 + m) 2 (1 - m + 2 2m + 1) m(1 + m) 4 m + 2 2m + 1 六审 审范围防易错 跟踪集训 7.解析 (1)由 2=|,ABACABAC 得 2|cos=|,ABACABAC 所以 cos= ,又因为 为三角形 ABC 的内角,所以 = . 1 2 3 (2)由(1)知 sin=,且 -,又 cos(-)=,所以 sin(-)= , 3 2 (0,
19、 2) 43 7 1 7 故 cos=cos(-+)=cos(-)cos-sin(-)sin= - =. 43 7 1 2 1 7 3 2 33 14 七审 审方法寻捷径 跟踪集训 8.解析 (1)由题意知消去 y, x2 a2 + y2 b2 = 1, (x + a 2) 2 + y2=( a 2) 2 , 得 x2+ax+b2=0, c2 a2 解得 x1=-a,x2=-, ab2 c2 所以 xM=-(-a,0),=xMxA=a= b2, = ,所以 e=. ab2 c2 OAOM ab2 c2 4 3 c2 a2 3 4 3 2 (2)由(1)知 M,右准线方程为 x=b,(- 2 3b, - 22 3 b) 43 3 直线 MN 的方程为 y=x,所以 P,2( 43 3 b, 46 3 b) SPOF= OFyP=bb=2b2, 1 2 3 2 46 3 2 SAMN=2SAOM=OA|yM|=2bb=b2, 22 3 42 3 所以 2b2+b2= a,2 42 3 10 3 b2= b2,所以 b=,a=2, 102 3 20 3 22 椭圆 C 的标准方程为 + =1. x2 8 y2 2