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1、江苏省南通基地 2018 年高考数学密卷（5）理江苏省南通基地 2018 年高考数学密卷（5）理 第卷（必做题，共 160 分） 第卷（必做题，共 160 分） 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1集合，若，则 2若复数(为虚数单位，)满足，则= 3某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为 45 s，黄灯时间为 3 s，绿灯时间为 60 s从西 向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为 4函数，的单调减区间为 5下面求的值的伪代码中，正整数的最大值为 I2 S0 While Im SSI II3 En
2、d While Print S 第 5 题 6如图是某学生次考试成绩的茎叶图，则该学生次考试成绩的标准差= 7已知， ，且，则的最小值为 8已知平面 ，直线， ，给出下列命题： 若， ，则； 若， ，则； 若，则； 若， ，则. 其中是真命题的是 （填写所有真命题的序号） 9等差数列的前项和为，已知，且数列也为等差数列，则= 10设a为实数，已知函数f(x)|x1|x1|，且f(2a3)f(a)，则满足条件的a构 成的集合为 11已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是 两曲线的一个交点，若直线AF的斜率为，则双曲线的离心率为 12已知向量满足，且与的夹角的正切值为，与的夹角 的正切值为， ，
3、则的值为 13在平面直角在平面直角坐标系中，已知圆，圆，动点在直线上的两点之间，过点分别作 圆的切线，切点为，若满足，则线段的长度为 14已知函数若对任意实数，总存在实数，使得成立，求实数 的取值集合为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 1515 （本小题满分 14 分） 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知， 且 （1）求角的大小； （2）若ABC 的外接圆的半径为，若，求的值 1616 （本小题满分 14 分） 如图，已知四棱锥PABCD的底面是边长为 2 的菱形，BCD60，点E是BC边 的中点，AC，D
4、E交于点O，PO2，且PO平面ABCD.3 （1）求证：PDBC； （2）在线段AP上找一点F，使得BF平面PDE， 并求此时四面体PDEF的体积 1717 （本小题满分 14 分） 为建设美丽乡村，政府欲将一块长 12 百米，宽 5 百米的矩形空地ABCD建成生态休 闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分） 以AB所在直线为x 轴，AB的垂直 平分线为y 轴，建立平面直角坐标系（如图所示） 景观湖的边界曲线符合函数 模型园区服务中心P在x 轴正半轴上，PO=百米 （1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的 最短长度； （2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试
5、确定Q的位置，使通道PQ最短 F CD ABOP GE M （第 17 题） y x 1818 （本小题满分 16 分） 如图，已知椭圆的离心率为，并且椭圆经过点P， 直线的方程为 （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆内一点，过点E作一条斜率为的直线与椭圆交于A，B两点， 交直线于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为问：是否存在常数， 使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 1919 （本小题满分 16 分） 设数列的前项和，对任意，都有（为 常数） （1）当时，求； （2）当时， （）求证：数列是等差数列； （）若对任意，必存在使得，已知， 且，求数列的通项公式 2020 （本小题满分
6、 16 分） 已知函数， （1）若在处取得极值，求的值； （2）设，试讨论函数的单调性； （3）当时，若存在正实数满足， 求证： 2018 年高考模拟试卷（5）2018 年高考模拟试卷（5） 数学(附加题)数学(附加题) 21 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答21 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答 AA选修 41：几何证明选讲（本小题满分 10 分） 如图，已知为半圆的直径，点为半圆上一点，过点作半圆的切线， 过点作于点. 求证： B B选修 42：矩阵与变换 （本小题满分 10 分） 设点在矩阵对
7、应变换作用下得到点 （1）求矩阵的逆矩阵； （2）若曲线C在矩阵对应变换作用下得到曲线，求曲线C的 方程 C C选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 已知曲线的极坐标方程是以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平 面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数） ，直线与曲线相交于两点 （1）求的长； （2）求点到两点的距离之积 D D选修 45：不等式选讲 （本小题满分 10 分） 已知，且，求证： 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指
8、定区域内作答 2222如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC2，ABAC，M是棱BC的中点，点P在 线段A1B上 （1）若P是线段A1B的中点，求直线MP与直线AC所成角的大小； （2）若是的中点，直线与平面所成角的正弦值为， 求线段BP的长度 A1 C1B1 P A B CM （第 22 题） N 2323 （本小题满分 10 分） 已知抛物线，过直线：上任一点向抛物线引两条切线 （切点为，且点在轴上方） （1）求证：直线过定点，并求出该定点； （2）抛物线上是否存在点，使得 2018 年高考模拟试卷（5）参考答案 数学 一、填空题： 1 【答案】0 【解析】因为，所以，又，所
9、以，所以 2 【答案】 【解析】因为，所以，所以 3 【答案】 【解析】遇到红灯的概率为 4 【答案】 【解析】 ，由，及得 函数的单调减区间为 5 【答案】2021 【解析】满足条件的正整数m的取值为 2019，2020，2021， 所以正整数m的最大值为 2021 6 【答案】 【解析】学生 8 次考试成绩的平均值为 87，则标准差为 7 【答案】 【解析】由， ，得，当且仅当时 等号成立，又，则，所以的最小值为 8 【答案】 【解析】对于，平行的传递性仅限于相同的元素(点、线、面)，因此均不对 9 【答案】19 【解析】因为数列是等差数列，设公差为，则，所以，又也为等差数列，所以，所以
10、10 【答案】 【解析】由由，得或 或解得或 11 【答案】 【解析】如图所示AF的斜率为，所以 且AFAB，所以是等边三角形， 所以，所以， 所以，由双曲线的定义可知， 所以双曲线的离心率为 12 【答案】 【解析】令，则， 所以，所以， 由正弦定理可得，所以 13 【答案】 【解析】由得，所以， 所以，设，所以， 即，点P在圆上及圆内， 所以EF为直线截圆所得的弦，所以EF= 14 【答案】 【解析】令， ，所以函数在上递增，在 上递减，又，所以，当且仅当时等号成立，因为对任 意实数，总存在实数，使得成立，且过原点的直线与 切于点，所以函数的图象是不间断的，故 二、解答题： 1515解：（
11、1）由， 得，即 所以，即， 所以 因为，所以 （2）因为ABC 的外接圆的半径为，由正弦定理得， ， 所以，所以 由余弦定理知， ， 即，所以，即， 因为所以 所以ABC 为直角三角形，且 所以。 1616 （1）由题可得BCD为正三角形，E为BC中点，故DEBC. 又PO平面ABCD，BC平面ABCD，则POBC， 而DEPOO，平面， 所以BC平面PDE. 又PD平面PDE，故PDBC. . （2）取AP中点为F，再取PD中点为G，连结FG. 则FG为PAD中位线，故FG AD， 1 2 又BE AD，所以FGBE，于是四边形BFGE为平行四边形， 1 2 因此BFEG.又BF平面PDE
12、，EG平面PDE, 所以BF平面PDE. 由（1）知，BC平面PDE.则有BCPE，BCDE， 而BCFG，故FGPE，FGDE，且DEPEE， 所以FG平面PDE. 于是四面体PDEF的体积为V= SPDEFG 211. 1 3 1 3 1 2 33 另解（等体积转化）：因为BF/面PDE，则B，F两点到平面PDE的距离相等， 所以四面体PDEF的体积等于四面体PDEB， 因为PO平面ABCD，所以VP-BDE= POSBDE=1. 1 3 1717解：（1） （方法一）设， ， 则 ， 当且仅当，即时取等号 所以的最小值为百米 （方法二）设直线（其中斜率一定存在） ，代入， 得，化简为 设
13、则， （） 所以， 令，则， 当且仅当等号成立，即时成立 综上，的最短长度为百米 （2）当直线与边界曲线相切时，最短 设切点为，由得， 所以切线的方程为 因为在轴正半轴上，且PO=，所以点坐标为 因为切线过点，所以， 整理得，解得，或 因为，所以，此时切点为，切线方程为 令，得，即点在线段上且距离轴百米 答：当点在线段上且距离轴百米，通道PQ最短 1818解：（1）因为椭圆的离心率为，所以， 又椭圆过点，所以， 所以， ，所以椭圆方程为 （2）设直线的方程为：，令，则，所以点， 设， 所以 由，可得 所以， ， 所以 又因为，所以， 所以存在，使得 1919解：（1）当， ，时， 当时， ，所
14、以 当时， 得：因为，所以，所以， 所以是以 1 为首项，3 为公比的等比数列， 所以 （2） （）当， ，时， 当时， 得：， 所以 得： 因为，所以即， 所以是等差数列 （）因为，所以 因为，所以，所以 因为，所以又因为， 所以，所以或 当时， ， ， ， 所以 不符合题意 当时， ， ， 所以满足题意 所以 2020 （1）解：因为，所以， 因为在处取得极值， 所以，解得 验证：当时， ， 易得在处取得极大值 （2）解：因为， 所以 若，则当时， ，所以函数在上单调递增； 当时， ，函数在上单调递减 若， ， 当时，易得函数在和上单调递增， 在上单调递减； 当时，恒成立，所以函数在上单调
15、递增； 当时，易得函数在和上单调递增， 在上单调递减 （3）证明：当时， ， 因为， 所以， 即， 所以 令， ， 则， 当时， ，所以函数在上单调递减； 当时， ，所以函数在上单调递增 所以函数在时，取得最小值，最小值为 所以， 即，所以或 因为为正实数，所以 当时， ，此时不存在满足条件， 所以 数学（附加题） 2121 【选做题】 A A证明：证明：因为为圆的切线，弧所对的圆周角为， 所以 又因为为半圆的直径， 所以 又BDCD，所以 由得， 所以 B B （1） ， ，所以 （2）设曲线上任意一点在矩阵对应变换作用下得到点， 则，所以 又点在曲线上，所以，即 所以曲线的方程为 C C
16、（1）由，得，所以， 即，所以曲线是以为圆心，为半径的圆 直线的普通方程为 所以圆心到直线的距离为， 所以 （2）点在直线上，设两点对应的参数分别为 将与联立可得， 所以 所以 D D证法一：证法一：因为 所以 证法二：证法二：分析法， 要证， 即证， 即证， 即证， 由基本不等式易得 2222以为正交基建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， ， ， （1）若P是线段A1B的中点， 则， ， 所以 又，所以 所以直线MP与直线AC所成的角的大小为 （2）由，得 设， ， ， 则， 所以，所以，所以 设平面的法向量， 则， ， 所以取 因为，设直线与平面所成角为 由，得 所以，所以 2323 （1）设 当时， ，则，所以直线AT的方程为： 代入点得，所以，又， 所以，得，同理， 所以直线：，所以直线过定点 （2）因为直线过定点，故设：， 由得，所以 A1 C1B1 P A CBM 第 22 题 xy z N 设，因为，所以， 所以， 即， ， ， 又， 所以，所以， 所以或因为点B不在直线ST上， 所以因为， 所以当或时，抛物线上存在点B； 当时，抛物线上不存在点B