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1、4.1 任意角三角函数4.1 任意角三角函数 A 组 基础题组A 组 基础题组 1.“ 是第二象限角”是“sin tan 0)上的角 构成的集合有以下四种表示形式:3 ;| = 2k + 3,k Z | = 2k - 3,k Z ;.| = 2k - 5 3 ,k Z| = k 3,k Z 其中正确的是( ) A.B.C.D. 答案 B 在平面直角坐标系中作出图形,观察知符合题意的角的集合为. 3.在平面直角坐标系中,点 M(3,m)在角 的终边上,点 N(2m,4)在角 + 的终边上,则 m=( ) 4 A.-6 或 1B.-1 或 6C.6 D.1 答案 A 由题意得,tan = ,tan
2、= = , m 3 ( + 4) 4 2m 2 m =,m=-6 或 1,故选 A. 2 m 1 + m 3 1 - m 3 4.图为一个大风车的示意图,其中圆的半径为 4.8 m,圆上最低点与地面的距离为 0.8 m,图中 OA 与地面垂 直,将 OA 逆时针转动 (0)角到 OB,设 B 点与地面的距离为 h,则 h 与 的关系式为( ) A.h=5.6+4.8sin B.h=5.6+4.8cos C.h=5.6+4.8cosD.h=5.6+4.8sin( + 2) ( - 2) 答案 D 过点O向右作与地面平行的射线,将该射线逆时针转动- 时经过点B,根据三角函数的定义 2 知,点 B
3、到该射线的距离为 4.8sin,所以 h=5.6+4.8sin.( - 2) ( - 2) 5.(2019 绍兴一中月考)已知 l1l2,圆心在 l1上,半径为 1 m 的圆 O 在 t=0 时与 l2相切于点 A,圆 O 沿 l1 以 1 m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线 l2所截上方圆弧长记为 x,令 y=cos x,则 y 与时间 t(0t1,单 位:s)的函数 y=f(t)的图象大致为( ) 答案 B 如图,设MON=, 由弧长公式知 x=,在 RtAOM 中, 由 0t1 知|AO|=1-t,cos =1-t, x 2 |OA| |OM| y=cos x=2cos2-1=2(t-
4、1)2-1. x 2 故选 B. 6.终边在直线 y=x 上的角的集合是 . 答案 | = k + 4,k Z 解析 终边在直线 y=x 上,且在0,2)内的角为 ,写出与其终边相同的角的集合,整合即得. 4 5 4 7.已知扇形的半径为 10 cm,圆心角为 120,则扇形的弧长为 ,面积为 . 答案 cm; cm2 20 3 100 3 解析 易知圆心角 =,则弧长 l=r= (cm),面积 S= r2=(cm2). 2 3 20 3 1 2 100 3 8.周长为c的扇形,当扇形的圆心角= 弧度时,其面积最大,最大面积是 (00,且a1)的图象恒过定点P,若角的终边过点P, 则 cos2
5、+sin 2 的值等于( ) A.- B. 1 2 1 2 C.D.- 7 10 7 10 答案 A 由题意知,点 P 的坐标为(-1,3),所以 sin =,cos =-,所以 sin 2=2sin cos 3 10 1 10 =- ,所以 cos2+sin 2= - =- ,故选 A. 3 5 1 10 3 5 1 2 3.如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在0,上的图象 大致为( ) 答案 C
6、由题图可知,当 x= 时,OPOA, 2 此时 f(x)=0,排除 A、D;当 x时,OM=cos x,(0, 2) 设点 M 到直线 OP 的距离为 d,则 =sin x, d OM 即 d=OMsin x=sin xcos x, f(x)=sin xcos x= sin 2x ,排除 B,故选 C. 1 2 1 2 4.如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A,点 B,C 在圆 O 上,点 B 的坐标为(-1,2),点 C 位于第一象 限,AOC=.若|BC|=,则 sin cos +cos2-= . 5 2 2 3 2 3 2 答案 25 5 解析 因为点 B 的坐标为(-1,2),
7、所以|OC|=|OB|=,又因为|BC|=,所以OBC 是等边三角形,则55 AOB=+ . 3 所以 sin cos +cos2-= sin +cos 2 2 3 2 3 2 1 2 3 2 =sin=.( + 3) 2 5 25 5 5.若扇形 OAB 的圆心角 =150,周长 c=6+,则这个扇形所含弓形的面积是 . 5 2 答案 - 15 4 9 4 解析 设扇形的半径为 r,弧长为 l,弓形的面积为 S, 则 =150= ,l=c-2r=6+ -2r, 180 5 6 5 2 由 l=r,得 6+ -2r= r, 5 2 5 6 r=3,(2 + 5 6) (2 + 5 6) r=3
8、,l=6+ -6= , 5 2 5 2 S扇形= lr= 3= , 1 2 1 2 5 2 15 4 S弓形= - r2sin = - . 15 4 1 2 5 6 15 4 9 4 6.设函数f()=sin +cos ,其中,角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经3 过点 P(x,y),且 0. (1)若点 P 的坐标为,求 f()的值;( 1 2, 3 2) (2)若点 P(x,y)为平面区域 :上的一个动点,试确定角 的取值范围,并求函数 f()的 x + y 1, x 1, y 1 最小值和最大值. 解析 (1)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得sin = 3 2 ,
9、 cos = 1 2. 于是 f()=sin +cos =+ =2.33 3 2 1 2 (2)作出平面区域 ,如图中阴影部分所示,其中 A(1,0),B(1,1),C(0,1). 于是 0 . 2 又 f()=sin +cos =2sin,3( + 6) 且 + , 6 6 2 3 故当 + = , 6 2 即 = 时, 3 f()取得最大值,且最大值等于 2; 当 + = ,即 =0 时, 6 6 f()取得最小值,且最小值等于 1. 7.(2019 温州中学月考)如图,点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 B、P 在单位圆上,且 B(- 3 5, 4 5) ,AOB=,AOP=(0
10、),=+,四边形 OAQP 的面积为 S.OQ OA OP (1)求 cos +sin ; (2)求+S 的最大值及此时 的值 0.OAOQ 解析 (1)B,AOB=,(- 3 5, 4 5) cos =- ,sin = , 3 5 4 5 cos +sin = . 1 5 (2)由题意可知 A(1,0),P(cos ,sin ), =(1+cos ,sin ),OQ =1+cos ,OAOQ =+,OQ OA OP 四边形 OAQP 是平行四边形. S=|OA|OP|sin =sin . +S=1+cos +sin =sin+1,0,OAOQ2( + 4) 则+S 的最大值为 1+,此时 的值 0= .OAOQ2 4