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1、第 18 讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式第 18 讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系: . (2)商数关系: . 2.诱导公式 公式 一 公式 二 公式 三 公式 四 公式 五 公式 六 角 +2k (k Z) + - 2 + 2 正 弦 sin sin cos cos 余 弦 cos cos sin 正 切 tan -tan 口 诀 函数名不变,符号看象 限 函数名改 变,符号 看象限 记 忆 规 律 奇变偶不变,符号看象限 常用结论 1.sin(k+)=(-1)ksin . 2.在ABC中: (1)sin(A+B)=sin C,co
2、s(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C; (2)sin =cos ,cos =sin . A + B 2 C 2 A + B 2 C 2 题组一 常识题 1. 教材改编 已知 cos =,且是第四象限角,则 sin 的值为 . 12 13 2. 教材改编 已知=-5,那么 tan 的值为 . sin - 2cos 3sin + 5cos 3. 教材改编 已知 sin =,则 cos= . 3 3 ( 3 2 + ) 4. 教材改编 求值:sin(-1200)cos 1290= . 题组二 常错题 索引:平方关系没有考虑角的象限导致出错;扩大角的范围导致出错;不会运用消元的思
3、 想;k的形式没有把k按奇数和偶数进行分类讨论导致出错. 5.已知ABC中,=-,则 cos A等于 . cosA sinA 12 5 6.已知 cos +=-,且是第四象限角,则 cos(-3+)= . 3 2 3 5 7.已知=5,则 sin2-sin cos = . sin + 3cos 3cos - sin 8.已知A=+(kZ),则A的值构成的集合是 . sin(k + ) sin cos(k + ) cos 探究点一 三角函数的诱导公式 例 1 (1) 2018遵义联考 若 sin=-,则 cos(2-)=( )( 2 + ) 3 5 A.-B. 3 5 3 5 C.-D. 4 5
4、 4 5 (2) 2018桂林模拟 已知f()=,则f的值为 ( ) sin( - )cos(2 - ) cos( - - ) (- 8 3) A.B. 1 2 3 2 C.-D.- 1 2 3 2 总结反思 (1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的 三角函数值求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用. (2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的 关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名 出错. 变式题 (1) 2018广东名校联考 若 cos+ =,则 sin=(
5、 ) 6 4 5 ( - 3) A.B. 4 5 3 5 C.-D.- 3 5 4 5 (2) 2018江西六校联考 若点(a,32)在函数y=2x的图像上,则 tan的值为 ( ) a 3 A.B.3 3 3 C.-D.-3 3 3 探究点二 同角三角函数的基本关系 微点 1 切弦互化 例 2 (1) 2018南充模拟 已知 tan =2,则的值为( ) sin + cos sin - 3cos A.-3B.3 C.D.- 1 3 1 3 (2) 2018贵阳模拟 已知 sin(-)=-,且,则 tan(2-)=( ) 2 3 (- 2,0) A.B.- 25 5 25 5 C.D.- 5
6、2 5 2 总结反思 (1)同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角 函数值,主要利用商数关系=tan 和平方关系1=sin2+cos2;(2)在弦切互化时,要注 sin cos 意判断角所在的象限,不要弄错切、弦的符号. 微点 2 “1”的变换 例 3 (1) 2018广东六校三联 已知 sin+3cos(-)=sin(-),则 sin cos 2 +cos2=( ) A.B. 1 5 2 5 C.D. 3 5 5 5 (2) 2018武汉调研 已知 sin cos =,则 tan = . 3 10 总结反思 对于含有sin2x,cos2x,sin xcos x的三角
7、函数求值问题,一般可以考虑添加分母1, 再将 1 用“sin2x+cos2x”代替,然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关 于 tan 的式子,从而求解. 微点 3 和积转换 例 4 2018潍坊模拟 若(0,),sin(-)+cos =,则 sin -cos 的值为 2 3 ( ) A.B.- 2 3 2 3 C.D.- 4 3 4 3 总结反思 对于 sin +cos ,sin -cos ,sin cos 这三个式子,利用(sin cos )2=12sin cos 可以达到转换、知一求二的目的. 应用演练 1.【微点 1】 2018南昌模拟 已知 sin =,则 tan =(
8、 ) 1 3 ( 2,) A.-2B.-2 C.-D.- 2 2 2 4 2.【微点 1】已知 tan x=-,x,则 cos-x+=( ) 12 5 ( 2,) 3 2 A.B.- 5 13 5 13 C.D.- 12 13 12 13 3.【微点 2】 2018遵义模拟 若点(2,tan )在直线y=2x-1 上,则=( ) sincos 1 - sin2 A.2 B.3 C.4 D.6 4.【微点 3】若 sin ,cos 是方程 4x2+2mx+m=0 的两根,则m的值为 . 第 18 讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 考试说明 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+co
9、s2x=1,=tan x. sinx cosx 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出,的正弦、余弦、正切的诱导公式. 2 【课前双基巩固】 知识聚焦 1.(1)sin2+cos2=1 (2)=tan ,k+(kZ) sin cos 2 2.-sin -sin -cos -cos -sin tan -tan 对点演练 1.- 解析 由于是第四象限角,故 sin =-=- . 5 13 1 - cos2 5 13 2.- 解析 由=-5,知 cos 0,等式左边分子分母同时除以 cos ,可得 23 16 sin - 2cos 3sin + 5cos =-5,得 tan =- . tan - 2
10、3tan + 5 23 16 3. 解析 cos=cos=-cos=sin =. 3 3 ( 3 2 + )( + 2 + )( 2 + ) 3 3 4. 解析 原式=-sin(120+3360)cos(210+3360)=-sin 120cos 210=- 3 4 sin(180-60)cos(180+30)=sin 60cos 30= . 3 2 3 2 3 4 5.- 解析 =-,sin A=-cos A,A为ABC的内角,sin A0,cos A0,所以 sin -cos =,故选 C. 4 3 应用演练 1.D 解析 sin =,cos =-=-,则 tan = 1 3 ( 2,)
11、1 - sin2 22 3 sin cos 1 3 - 22 3 =-,故选 D. 2 4 2.D 解析 tan x=-,x,sin x=,cos=-sin x=- . 12 5 ( 2,) 12 13 (- x + 3 2) 12 13 3.B 解析 由题意知,tan =4-1=3,=tan =3,故选 B. sincos 1 - sin2 sincos cos2 4.1- 解析 由题意知 sin +cos =-,sin cos =,又(sin +cos 5 m 2 m 4 )2=1+2sin cos ,所以=1+,解得m=1.又=4m2-16m0,所以m0或m4,所 m2 4 m 2 5
12、以m=1-.5 【备选理由】 例 1 进一步考查利用诱导公式进行化简与求值;例 2 考查弦切互化,是平方关 系及商数关系的综合应用;例 3 结合导数的几何意义得出 tan ,再巧妙使用 sin2+cos2=1代换求值;例4考查sin +cos 与sin -cos 之间的转换,对于sin +cos ,sin cos ,sin -cos 这三个式子,利用(sin cos )2=12sin cos 可以知一求二. 例 1 配合例 1 使用 已知 cos =,则的值为 . 4 5 sin( - ) - 2cos( 2 - ) sin( - )cos( - ) 答案 - 15 4 解析 因为 cos =
13、,所以=-=- . 4 5 sin( - ) - 2cos( 2 - ) sin( - )cos( - ) - sin - 2sin sincos - 3sin sincos 3 cos 15 4 例 2 配合例 2 使用 2018黄山一模 已知R,sin +2cos =,则 tan 10 2 = . 答案 3 或- 1 3 解析 sin +2cos =,sin2+cos2=1, 10 2 (sin +2cos )2=sin2+4sin cos +4cos2=, 5 2 1+3cos2+4sin cos =,即 3cos2+4sin cos =,=, 5 2 3 2 3cos2 + 4sinc
14、os sin2 + cos2 3 2 =,解得 tan =3 或- . 3 + 4tan tan2 + 1 3 2 1 3 例 3 配合例 3 使用 2018重庆调研 若曲线f(x)=ln x-在点(1,f(1)处的切线的倾斜 1 x 角为,则= . 1 sincos - cos2 答案 5 解析 因为f(x)=ln x-, 1 x 所以f(x)= +,所以f(1)=2,则 tan =2, 1 x 1 x2 所以=5. 1 sincos - cos2 sin2 + cos2 sincos - cos2 tan2 + 1 tan - 1 4 + 1 2 - 1 例 4 配合例 4 使用 2018衡水武邑中学月考 已知- 0,sin 0. 因为(sin +cos )2+(cos -sin )2=2, 所以(cos -sin )2=2-(sin +cos )2=2- =, 1 25 49 25 所以 cos -sin =,所以 cos2-sin2= =, 7 5 1 5 7 5 7 25 所以的值为 ,故选 B. 1 cos2 - sin2 25 7