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1、2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 【选题明细表】 知识点、方法题号 线面垂直的定义及判定定理的理解1,2,3,5 线面垂直的判定及证明4,6,8,9 直线与平面所成的角7 综合问题10,11,12 1.(2018甘肃兰州二十七中高二上期末 )设 l,m 是两条不同的直线, 是一个平面,则下列命题正确的是( A ) (A)若 l,lm,则 m(B)若 l,m,则 lm (C)若 lm,m,则 l (D)若 l,m,则 lm 解析:易知 A 正确. B.l 与 m 可能异面,也可能平行. C.当 l 与内两条相交直线垂直时,才能判定 l, D.l 与 m 可能
2、平行、异面或相交. 2.(2018广西桂林期末)已知 m,n 表示两条不同直线,表示平面, 下 列说法正确的是( C ) (A)若 m,n,则 mn (B)若 m,mn,则 n (C)若 m,n,则 mn (D)若 m,mn,则 n 解析:对于选项 A,若 m,n,则 m 与 n 可能相交、 平行或者异面; 故 A 错误; 对于 B,若 m,mn,则 n 与可能平行或者 n 在内;故 B 错误; 对于 C,若 m,n,则 mn;故 C 正确; 对于 D,若 m,mn,则 n,或 n 与相交;故 D 错误. 故选 C. 3.在ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA平面ABC,PA=8,则P到B
3、C的距离是( D ) (A)(B)2(C)3(D)4 解析:如图所示,作 PDBC 于 D,连接 AD. 因为 PA平面 ABC, 所以 PACD. 所以 CB平面 PAD, 所以 ADBC. 在ACD 中,AC=5,CD=3, 所以 AD=4. 在 RtPAD 中,PA=8,AD=4, 所以 PD=4. 故选 D. 4.已知 P 为ABC 所在平面外一点,PAPB,PBPC,PCPA,PH平面 ABC,垂足 H,则 H 为ABC 的( B ) (A)重心(B)垂心(C)外心(D)内心 解析:连接 AH 并延长,交 BC 于 D,连接 BH 并延长,交 AC 于 E;因为 PA PB,PAPC
4、,故 PA平面 PBC,故 PABC;因为 PH平面 ABC,故 PHBC, 故 BC平面 PAH,故 AHBC;同理 BHAC;故 H 是ABC 的垂心. 5.(2018唐山高二期末)ABC 所在平面外一点 P 到三角形三顶点 的距离相等,那么点 P 在内的射影一定是ABC 的( A ) (A)外心(B)内心 (C)重心(D)以上都不对 解析:由题意 PA=PB=PC,PO平面 ABC,所以 POOA,POOB,POOC, 所以由HL定理知RtPOARtPOBRtPOC.于是OA=OB=OC,所以O 为三边中垂线的交点,O 是三角形的外心,故选 A. 6.如图所示,PA平面 ABC,ABC
5、中 BCAC,则图中直角三角形的个 数是( D ) (A)1(B)2 (C)3(D)4 解析: BC平面 PACBCPC, 所以直角三角形有PAB,PAC,ABC,PBC.故选 D. 7.(2018浙江杭州月考)如图所示,ACB=90,平面 ABC 外有一点 P,PC=4 cm,PF,PE 垂直于 BC,AC 于点 F,E,且 PF=PE=2 cm,那么 PC 与平 面 ABC 所成角的大小为 . 解析:过 P 作 PO 垂直于平面 ABC 于 O,连接 CO,则 CO 为ACB 的平分线. 连接OF,可证明CFO为直角三角形,CO=2,RtPCO中,cosPCO=, PCO=45. 答案:4
6、5 8.(2018陕西西安高一期末)在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是正方形, 侧棱 PD底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,过 E 点作 EFPB 交 PB 于 点 F.求证: (1)PA平面 DEB; (2)PB平面 DEF. 证明:(1)连接 AC,BD,交于 O,连接 EO.因为底面 ABCD 是正方形, 所以点 O 是 AC 的中点.所以在PAC 中,EO 是中位线,所以 PAEO, 因为 EO平面 DEB,且 PA平面 DEB, 所以 PA平面 DEB. (2)因为PD底面ABCD,且BC底面ABCD,所以PDBC.因为底面ABCD 是正方形, 所以 DCBC,可
7、得 BC平面 PDC. 因为 DE平面 PDC,所以 BCDE. 又因为PD=DC,E是PC的中点,所以DEPC.所以DE平面PBC.因为PB 平面 PBC,所以 DEPB. 又因为 EFPB,且 DEEF=E, 所以 PB平面 DEF. 9.如图甲所示,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 的中点,G 是 EF 的 中点,现在沿 AE,AF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体,使 B,C,D 三 点重合,重合后的点记为H,如图乙所示,那么,在四面体A EFH中必有( A ) (A)AHEFH 所在平面 (B)AGEFH 所在平面 (C)HFAEF 所在平面 (D)HGAEF
8、所在平面 解析:根据折叠前、后 AHHE,AHHF 不变,所以 AH平面 EFH,故 选 A. 10.如图,四棱锥 S ABCD 的底面为正方形,SD底面 ABCD,给出下列结 论:ACSB;AB平面 SCD;SA 与平面 ABD 所成的角等于 SC 与平 面 ABD 所成的角;ACSO.正确结论的序号是 . 解析:连接 SO,如图所示, 因为四棱锥 S ABCD 的底面为正方形,所以 ACBD. 因为 SD底面 ABCD, 所以 SDAC, 因为 SDBD=D,所以 AC平面 SBD, 因为 SB平面 SBD,所以 ACSB,则正确; 因为 ABCD,AB平面 SCD,CD平面 SCD, 所
9、以 AB平面 SCD,则正确; 因为 SD底面 ABCD, 所以SAD 和SCD 分别是 SA 与平面 ABD 所成的角、SC 与平面 ABD 所成的角, 因为 AD=CD,SD=SD, 所以SAD=SCD,则正确; 因为 AC平面 SBD,SO平面 SBD, 所以 ACSO,则正确. 答案: 11.(2018宁夏石嘴山第三中学高二上期末)侧棱垂直于底面的三棱 柱 ABC ABC满足BAC=90,AB=AC= AA=2,点 M,N 分别为 A B,BC的中点. (1) 求证:MN平面 AACC; (2) 求证:AN平面 BCN; (3) 求三棱锥 C MNB 的体积. (1)证明:如图,连接
10、AB,AC, 因为四边形 ABBA为矩形,M 为 AB 的中点, 所以 AB与 AB 交于点 M,且 M 为 AB的中点, 又点 N 为 BC的中点,所以 MNAC, 又 MN平面 AACC,且 AC平面 AACC, 所以 MN平面 AACC. (2)证明:因为 AB=AC=2,点 N 为 BC的中点, 所以 ANBC. 又 BB平面 ABC,所以 ANBB, 所以 AN平面 BCN. (3)解:由图可知=, 因为BAC=90,所以 BC=2, SBCN= 24=4. 由(2)及BAC=90可得 AN=, 因为 M 为 AB 的中点, 所以 M 到平面 BCN 的距离为, 所以= 4= . 1
11、2.如图(1),在 RtABC 中,C=90,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点.将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置,使 A1FCD, 如图(2). (1)求证:DE平面 A1CB; (2)求证:A1FBE; (3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C平面 DEQ?说明理由. (1)证明:因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点, 所以 DEBC. 又因为 DE平面 A1CB,BC平面 A1CB, 所以 DE平面 A1CB. (2)证明:由已知得 ACBC 且 DEBC, 所以 DEAC. 所以 DEA1D,DECD. 所以 DE平面 A1DC. 而 A1F平面 A1DC, 所以 DEA1F. 又因为 A1FCD, 所以 A1F平面 BCDE. 所以 A1FBE. (3)解:线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C平面 DEQ. 理由如下:如图,分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q, 则 PQBC. 又因为 DEBC, 所以 DEPQ. 所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知,DE平面 A1DC, 所以 DEA1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点, 所以 A1CDP. 所以 A1C平面 DEP. 从而 A1C平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q,使得 A1C平面 DEQ.