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1、2.3.2 平面与平面垂直的判定 【选题明细表】 知识点、方法题号 二面角的概念及求解3,6,10 面面垂直的定义及判定定理的理解1,2 面面垂直的判定4,5 综合问题7,8,9,11,12 1.下列说法中,正确的是( B ) (A)垂直于同一直线的两条直线互相平行 (B)平行于同一平面的两个平面平行 (C)垂直于同一平面的两个平面互相平行 (D)平行于同一平面的两条直线互相平行 解析:A.垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面. B.正确. C.垂直于同一平面的两个平面可能相交、也可能平行. D.平行于同一平面的两条直线可能相交、平行或异面. 只有 B 正确. 2.(2018江西三市联
2、考)设a,b是两条不同的直线,是两个不同 的平面,则( C ) (A)若 a,b,则 ab(B)若 a,a,则 (C)若 ab,a,则 b(D)若 a,则 a 解析:选项 A.若 a,b,则 ab,或 a,b 异面或 a,b 相交,A 错; 选项 B.若 a,a,则,或=b,B 错;选项 C.若 ab, a ,则 b,C 正确;选项 D.若 a,则 a或 a或 a ,D 错.故选 C. 3.如图,AB 是圆的直径,PA 垂直于圆所在的平面,C 是圆上一点(不同 于 A,B)且 PA=AC,则二面角 P BC A 的大小为( C ) (A)60(B)30 (C)45(D)15 解析:易得BC平面
3、PAC,所以PCA是二面角P BC A的平面角,在Rt PAC 中,PA=AC, 所以PCA=45. 故选 C. 4.如图所示,已知 PA矩形 ABCD 所在的平面,则图中互相垂直的平面 有( D ) (A)2 对(B)3 对 (C)4 对(D)5 对 解析:由PA矩形ABCD知,平面PAD平面ABCD,平面PAB平面ABCD; 由AB平面PAD知,平面PAB平面PAD;由BC平面PAB知,平面PBC 平面 PAB;由 DC平面 PAD 知,平面 PDC平面 PAD.故题图中互相垂直 的平面有 5 对.选 D. 5.如图,四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,将
4、ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成几何体A BCD,则在几何体A BCD 中,下列结论正确的是( D ) (A)平面 ABD平面 ABC (B)平面 ADC平面 BDC (C)平面 ABC平面 BDC (D)平面 ADC平面 ABC 解析:由已知得 BAAD,CDBD, 又平面 ABD平面 BCD,所以 CD平面 ABD, 从而 CDAB,故 AB平面 ADC. 又 AB平面 ABC,所以平面 ABC平面 ADC.选 D. 6.如图所示,在ABC 中,ADBC,ABD 的面积是ACD 的面积的 2 倍. 沿 AD 将ABC 翻折,使翻折后 BC平面 ACD,此时二面角 B AD C
5、 的大 小为( C ) (A)30(B)45(C)60(D)90 解析:由已知得,BD=2CD.翻折后,在 RtBCD 中,BDC=60,而 AD BD,CDAD,故BDC 是二面角 B AD C 的平面角,其大小为 60.故 选 C. 7.如图,ABC是等腰直角三角形,BAC=90,AB=AC=1,将ABC沿斜 边 BC 上的高 AD 折叠,使平面 ABD平面 ACD,则折叠后 BC= . 解析:因为在原ABC 中,ADBC, 所以折叠后有 ADBD,ADCD, 所以BDC 是二面角 B AD C 的平面角. 因为平面 ABD平面 ACD,所以BDC=90. 在 RtBCD 中,BDC=90
6、,BD=CD=, 所以 BC=1. 答案:1 8.如图,三棱柱 ABC A1B1C1中,侧棱垂直底面,ACB=90,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1的中点. (1)证明:平面 BDC1平面 BDC; (2)平面 BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. (1)证明:由题设知 BCCC1,BCAC,CC1AC=C, 所以 BC平面 ACC1A1. 又 DC1平面 ACC1A1, 所以 DC1BC. 由题设知A1DC1=ADC=45, 所以CDC1=90,即 DC1DC. 又 DCBC=C,所以 DC1平面 BDC. 又 DC1平面 BDC1, 故平面 BDC1平面 BDC. (2)解
7、:设棱锥 B DACC1的体积为 V1,AC=1, 由题意得 V1= 11= . 又三棱柱 ABC A1B1C1的体积 V=1, 所以(V-V1)V1=11. 故平面 BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为 11. 9.(2018兰州诊断)在直三棱柱 ABC A1B1C1中,AB=AC=BC=2,AA1=1,则 点 A 到平面 A1BC 的距离为( B ) (A)(B)(C)(D) 解析:如图,设 D 为 BC 的中点,连接 AD,A1D,A1C,A1B,过 A 作 A1D 的垂线, 垂足为 E,则 BCA1D,BCAD,所以 BC平面 A1AD,则 BCAE.又 AE A1D,所以 AE平面
8、A1BC,由条件可得 AD=AB=, A1D=2,由面积相等得 AEA1D=AA1AD,即 AE=,故选 B. 10.正方体ABCD A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BD A 的正切值等于 . 解析:设 AC 与 BD 相交于 O 点,因为 ABCD A1B1C1D1为正方体, 所以 AOBD,又 AA1平面 ABCD, 所以 AA1BD,又 AOAA1=A, 所以 BD平面 A1AO,所以 BDA1O, 所以A1OA为二面角A1BD A的平面角,设正方体的棱长为a,在直角 A1AO 中,AA1=a,AO=a, 所以 tanA1OA=. 答案: 11.四棱锥P AB
9、CD的底面ABCD是边长为1的菱形,BCD=60,E是CD 的中点,PA底面 ABCD,PA=. (1)证明:平面 PBE平面 PAB; (2)求二面角 A BE P 的大小. (1)证明: 如图所示,连接 BD,由 ABCD 是菱形且BCD=60知,BCD 是等边三 角形. 因为 E 是 CD 的中点, 所以 BECD. 又 ABCD,所以 BEAB. 又因为 PA平面 ABCD,BE平面 ABCD, 所以 PABE.而 PAAB=A, 因此 BE平面 PAB. 又 BE平面 PBE, 所以平面 PBE平面 PAB. (2)解:由(1)知,BE平面 PAB,PB平面 PAB, 所以 PBBE
10、. 又 ABBE, 所以PBA 是二面角 A BE P 的平面角. 在 RtPAB 中,tanPBA=,PBA=60, 故二面角 A BE P 的大小是 60. 12.如图所示,在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A1B1C1中,AB=BB1,AC1 平面 A1BD,D 为 AC 的中点. (1)求证:B1C平面 A1BD; (2)求证:B1C1平面 ABB1A1; (3)设 E 是 CC1上一点,试确定 E 的位置使平面 A1BD平面 BDE,并说明 理由. (1)证明:连接 AB1,与 A1B 相交于 M,则 M 为 A1B 的中点,连接 MD. 又 D 为 AC 的中点,所以 B1CMD.
11、又 B1C平面 A1BD,MD平面 A1BD, 所以 B1C平面 A1BD. (2)证明:因为 AB=B1B, 所以四边形 ABB1A1为正方形. 所以 A1BAB1. 又因为 AC1平面 A1BD, 所以 AC1A1B. 所以 A1B平面 AB1C1, 所以 A1BB1C1. 又在棱柱 ABC A1B1C1中 BB1B1C1, 所以 B1C1平面 ABB1A. (3)解:当点 E 为 C1C 的中点时,平面 A1BD平面 BDE, 因为 D,E 分别为 AC,C1C 的中点, 所以 DEAC1. 因为 AC1平面 A1BD, 所以 DE平面 A1BD. 又 DE平面 BDE, 所以平面 A1BD平面 BDE.