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1、4.1.2 圆的一般方程 【选题明细表】 知识点、方法题号 圆的一般方程1,3,4,5,8,10 轨迹问题2,12 圆的一般方程的应用6,7,9,11,13 1.(2018陕西延安期末)已知点 P(2,1)在圆 C:x2+y2+ax-2y+b=0 上, 点 P 关于直线 x+y-1=0 的对称点也在圆 C 上,则圆 C 的圆心坐标为( A ) (A)(0,1) (B)(1,0) (C)(2,1) (D)(1,2) 解析:由题意圆心 C(- ,1)在直线 x+y-1=0 上,从而有- +1-1=0,所以 a=0,所以圆 C 的圆心坐标为(0,1),故选 A. 2.已知两定点 A(-2,0),B(
2、1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于( B ) (A) (B)4(C)8(D)9 解析:设动点 P 坐标为(x,y),则由|PA|=2|PB|, 知=2,化简得(x-2)2+y2=4,得轨迹为以(2,0)为 圆心,以 2 为半径的圆,该圆的面积为 4. 3.原点必位于圆 x2+y2-2ax-2y+(a-1)2=0(a1)的( C ) (A)内部(B)圆周上 (C)外部(D)均有可能 解析:因为 02+02-2a0-20+(a-1)2=(a-1)20,所以原点在圆的外部. 4.已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且与直线 3x+4y+
3、4=0 相 切,则圆的方程是( A ) (A)x2+y2-4x=0(B)x2+y2+4x=0 (C)x2+y2-2x-3=0 (D)x2+y2+2x-3=0 解析:设圆心为 C(m,0)(m0),因为所求圆与直线 3x+4y+4=0 相切, 所以=2, 整理,得|3m+4|=10, 解得 m=2 或 m=-(舍去), 故所求圆的方程为(x-2)2+y2=4, 即 x2+y2-4x=0,故选 A. 5.在平面直角坐标系内,若曲线 C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0 上所有的 点均在第二象限内,则实数 a 的取值范围为( C ) (A)(-,-2) (B)(-,-1) (C)(2,+)
4、(D)(1,+) 解析:曲线 C 的方程可化为(x+a)2+(y-2a)2=4,它表示以(-a,2a)为圆 心,2为半径的圆,又曲线C上所有的点均在第二象限内,所以 解得 a2, 故选 C. 6.若直线 l:ax+by+1=0 始终平分圆 M:x2+y2+4x+2y+1=0 的周长,则(a- 2)2+(b-2)2的最小值为 . 解析:圆 M 的圆心为(-2,-1),由题意知,点 M 在直线 l 上,所以-2a- b+1=0, 所以 b=-2a+1,所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+55. 答案:5 7.(2018山东临沂二模)已知圆 x2+y2-2x-
5、8y+1=0 的圆心到直线 ax- y+1=0 的距离为 1,则 a= . 解析:圆 x2+y2-2x-8y+1=0 的圆心 C(1,4), 因为圆 x2+y2-2x-8y+1=0 的圆心到直线 ax-y+1=0 的距离为 1, 所以 d=1,解得 a= . 答案: 8.一个等腰三角形底边上的高等于 5,底边两端点的坐标分别是(- 4,0),(4,0),求它的外接圆的方程. 解:由题意得,等腰三角形顶点的坐标为(0,5)或(0,-5). 当顶点坐标为(0,5)时,设三角形外接圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则 解得 所以圆的方程为 x2+y2- y-16=0. 当顶点坐标是(0,
6、-5)时,同理可得圆的方程为 x2+y2+ y-16=0. 综上,它的外接圆的方程为 x2+y2- y-16=0 或 x2+y2+ y-16=0. 9.若圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 关于直线 l1:x-y+4=0 和直线 l2:x+3y=0 都对 称,则 D+E 的值为( D ) (A)-4 (B)-2 (C)2 (D)4 解析:由题知直线 l1,l2过已知圆的圆心, 所以 所以 所以 D+E=4. 10.(2018天津南开区模拟)圆心在 y 轴上,且过点(3,1)的圆与 x 轴 相切,则该圆的方程是( B ) (A)x2+y2+10y=0(B)x2+y2-10y=0 (C)x2+y2
7、+10x=0(D)x2+y2-10x=0 解析:圆心在 y 轴上且过点(3,1)的圆与 x 轴相切,设圆的圆心为(0,r), 半径为 r.则=r.解得 r=5,所求圆的方程为:x2+(y- 5)2=25,即 x2+y2-10y=0.故选 B. 11.(2018北京朝阳区一模)已知两点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x2+y2-2x+2y=0 上任意一点,则ABC 面积的最小值是 . 解析:圆 x2+y2-2x+2y=0 化为(x2-2x+1)+(y2+2y+1)=2, 即(x-1)2+(y+1)2=2, 由题意即为在圆上找一点到线段 AB 的距离最小即可, kAB=1,直线 AB
8、:y-2=x, 所以线段 AB:y=x+2(-2x0), 圆心(1,-1)到其距离 d=2, 所以圆上某点到线段 AB 的距离最小值为 2-=, 因为|AB|=2, 所以 SABCmin= |AB|= 2=2. 答案:2 12.设定点 M(-3,4),动点 N 在圆 x2+y2=4 上运动,以 OM,ON 为两边作平 行四边形 MONP,求点 P 的轨迹. 解:如图所示,设 P(x,y),N(x0,y0), 则线段 OP 的中点坐标为( , ),线段 MN 的中点坐标为(,). 由于平行四边形的对角线互相平分, 故 =, =, 从而 又点 N(x+3,y-4)在圆上, 故(x+3)2+(y-4
9、)2=4. 当点 P 在直线 OM 上时, 有 x=- ,y=或 x=-,y=. 因此所求轨迹为圆(x+3)2+(y-4)2=4,除去点(- ,)和点(-,). 13.已知曲线 C:(1+a)x2+(1+a)y2-4x+8ay=0. (1)当 a 取何值时,方程表示圆; (2)求证:不论 a 为何值,曲线 C 必过两定点; (3)当曲线 C 表示圆时,求圆面积最小时 a 的值. (1)解:当 a=-1 时,方程为 x+2y=0,为一条直线; 当 a-1 时,(x-)2+(y+)2=表示圆. (2)证明:方程变形为 x2+y2-4x+a(x2+y2+8y)=0. 令 解得或 故 C 过定点 A(0,0),B(,- ). (3)解:因为圆恒过点 A,B, 所以以 AB 为直径的圆面积最小. 则圆心为( ,- ). 所以= , 解得 a= .