《2018_2019学年高中数学第一章三角函数8函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(二)学案北师大版必修4.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018_2019学年高中数学第一章三角函数8函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(二)学案北师大版必修4.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、8 函数yAsin(x)的图像与性质(二)8 函数yAsin(x)的图像与性质(二) 内容要求 1.掌握函数yAsin(x)的周期、单调性及最值的求法(重、难点). 2.理解函数yAsin(x)的对称性(难点) 知识点 函数yAsin(x)(A0，0)的性质 定义域R R 值域A，A 周期T2 奇偶性 k，kZ Z 时，yAsin(x)是奇函数 ；k，kZ Z 时，y 2 Asin(x)是偶函数 对称轴方程由xk(kZ Z)求得 2 对称中心由xk(kZ Z)求得 单调性 递增区间由 2kx2k(kZ Z)求得； 2 2 递减区间由 2kx2k (kZ Z)求得 2 3 2 【预习评价】 (1
2、)函数y2sin(2x)1 的最大值是( ) 6 A1B2 C3D4 解析 当 2x2k时，即xk(kZ Z)时最大值为 3. 6 2 6 答案 C (2)函数f(x)sin的最小正周期为( ) (2x 3) A4 B2 C D. 2 解析 由题意T，故选 C. 2 2 答案 C 题型一 函数yAsin(x)的最值问题 【例 1】 求函数ysin，x的值域2 (2x 4)0， 2 解 0x，02x. 2 2x. 4 4 5 4 sin1. 2 2(2x 4) 1sin，即1y.2 (2x 4) 22 函数ysin，x的值域为1，2 (2x 4)0， 2 2 规律方法 求函数yAsin(x)，x
3、m，n的值域的步骤： (1)换元，ux，并求u的取值范围； (2)作出ysin u(注意u的取值范围)的图像； (3)结合图像求出值域 【训练 1】 求函数y2sin的最大值和最小值 (2x 3)( 6 x 6) 解 x， 6 6 02x，0sin1. 3 2 3(2x 3) 当 sin1 时，ymax2； (2x 3) 当 sin0 时，ymin0. (2x 3) 方向 1 求函数yAsin(x)的周期 【例 21】 求下列函数的周期： (1)ysin(xR R)； (2x 3) (2)ysin(xR R) ( 2 x 6) 解 (1)T. 2 2 (2)T4. 2 2 方向 2 函数yAs
4、in(x)的奇偶性与对称性 【例 22】 (1)函数ysin的图像的对称轴方程为_，对称中心为 (2x 3) _ (2)若函数f(x)2sin是偶函数，则的值可以是( ) (2x 3 ) A. B. 5 6 2 C.D 3 2 解析 (1)令y1， 即 sin1， 则 2xk(kZ Z)， x(k (2x 3) 3 2 k 2 12 Z Z)， 即对称轴方程为x(kZ Z) 令y0， 即 sin0， 则 2xk(kZ Z)， k 2 12(2x 3) 3 x(kZ Z)，函数ysin的图像的对称中心为(kZ Z) k 2 6(2x 3)( k 2 6 ，0) (2)由f(x)2sin为偶函数得
5、k(kZ Z)，即k. (2x 3 ) 3 2 5 6 当k0 时.故选 A. 5 6 答案 (1)x(kZ Z) (kZ Z) k 2 12( k 2 6 ，0) (2)A 方向 3 函数yAsin(x) 单调性 【例 23】 求函数y2sin的递增区间 ( 4 x) 解 y2sin2sin， ( 4 x) (x 4) 函数y2sin的递增区间就是函数 ( 4 x) u2sin的递减区间 (x 4) 2kx2k(kZ Z)， 2 4 3 2 得 2kx2k(kZ Z)， 3 4 7 4 函数y2sin的递增区间为： ( 4 x) (kZ Z) 2k 3 4 ，2k7 4 规律方法 1.关于函
6、数yAsin(x)的对称性与奇偶性 (1)将x看作整体，代入到ysin x的对称中心、对称轴的表达式可以求出函数y Asin(x)的对称中心、对称轴或求值 (2)若函数yAsin(x)为奇函数，则k，kZ Z，若函数yAsin(x) 为偶函数， 则k，kZ Z， 函数yAsin(x)的奇偶性实质是函数的对称中心、 2 对称轴的特殊情况 2求解函数yAsin(x)单调区间的四个步骤 (1)将化为正值 (2)根据A的符号确定应代入ysin 的单调增区间，还是单调减区间 (3)将x看作一个整体，代入到上述的单调区间中解出x的范围即为函数在 R R 上的单 调区间 (4)如果要求函数在给定区间上的单调
7、区间，则给k赋值求单调区间 题型三 函数yAsin(x)性质的综合应用 【例 3】 已知函数f(x)sin(x)(0,0)是 R R 上的偶函数，其图像关于 点M对称，且在区间上是单调函数，求和的值 ( 3 4 ，0) 0， 2 解 由f(x)是偶函数，得f(x)f(x)，即函数f(x)的图像关于y轴对称， f(x)在x0 时取得最值即 sin 1. 依题设 0，解得. 2 由f(x)的图像关于点M对称，可知 sin0，解得 ，kZ Z. ( 3 4 2) 4k 3 2 3 又f(x)在0，上是单调函数， 2 T，即，2.又0， 2 当k1 时， ； 2 3 当k2 时，2. ，2 或 . 2
8、 2 3 规律方法 函数yAsin(x)综合应用的注意点 (1)对于平移问题，应特别注意要提取x的系数，即将x变为后再观察x (x ) 的变化 (2)对于对称性、 单调性问题应特别注意将x看作整体， 代入一般表达式解出x的值 (3)对于值域问题同样是将x看作整体，不同的是根据x的范围求x的范围， 再依据图像求值域 (4)对于奇偶性问题，由来确定，k(kZ Z)时是奇函数，k(kZ Z)时是偶 2 函数 【训练 2】 设函数f(x)sin(2x)(0)图像的一条对称轴是直线x. 8 (1)求的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间 解 (1)x是函数f(x)sin(2x)的一条对称轴， 8 2k
9、，kZ Z. 8 2 0，由此可得. 3 4 (2)由题意，得 2k2x2k，kZ Z， 2 3 4 2 解得kxk，kZ Z， 8 5 8 函数f(x)sin的单调递增区间为 (2x 3 4) ，kZ Z. k 8 ，k5 8 课堂达标 1函数y2sin1 的图像的一个对称中心坐标是( ) (3x 4) A. B. ( 12，0)( 4 ，0) C. D. ( 4 ，1) ( 12，1) 解析 3xk(kZ Z)，x(kZ Z)， 4 12 k 3 令k0，则x，把x代入y2sin1， 12 12(3x 4) 得y1，对称中心为. ( 12，1) 答案 D 2函数y3sin的单调递减区间是(
10、 ) ( 4 3x) A.(kZ Z) 2k 3 5 12 ，2k 3 12 B.(kZ Z) 2k 3 5 12 ，2k 3 12 C.(kZ Z) 2k 3 12， 2k 3 4 D.(kZ Z) 2k 3 12， 2k 3 5 12 解析 y3sin3sin， ( 4 3x) (3x 4) y3sin的递减区间就是 ( 4 3x) ysin(3x)的递增区间 4 由 2k3x2k(kZ Z)得x(kZ Z) 2 4 2 2k 3 12 2k 3 4 答案 C 3函数f(x) sincos的最大值为( ) 1 5(x 3)(x 6) A. B1 C. D. 6 5 3 5 1 5 解析 c
11、os cossin，则f(x) sinsin (x 6) 2 (x 3)(x 3) 1 5(x 3)(x 3) 6 5 sin，函数的最大值为 . (x 3) 6 5 答案 A 4函数f(x)3sin的图像为C，下列结论中正确的是_(写出所有正确结论 (2x 3) 的序号) 图像C关于直线x对称； 11 12 图像C关于点对称； ( 2 3 ，0) 函数f(x)在区间内是增函数； 12， 5 12 由y3sin 2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像C. 3 解析 由于 2，故正确 11 12 3 3 2 由于 2，故正确；由x得 2x，故函数f(x) 2 3 3 12， 5 12 3 2
12、， 2 为增函数，故正确；将函数y3sin 2x的图像向右平移个单位长度可得函数y3sin2 3 3sin的图像，故不正确 (x 3)(2x 2 3) 答案 5已知函数f(x)2sin，xR R. (2x 6) (1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标； (2)求函数f(x)在区间0，上的最大值和最小值 2 解 (1)由 2xk(kZ Z)得，x(kZ Z) 所以函数f(x)的对称轴方程为x 6 2 k 2 3 ，kZ Z. k 2 3 由 2xk 得x(kZ Z) 6 k 2 12 所以函数f(x)的对称中心为，kZ Z. ( k 2 12，0) (2)因为 0x，所以2x ，所以
13、当 2x，即x0 时，f(x)取得 2 6 6 5 6 6 6 最小值1； 当 2x，即x时，f(x)取得最大值 2. 6 2 3 课堂小结 1对于yAsin(x)，其奇偶性可由决定，取不同值可得不同的奇偶性 2求yAsin(x)的单调区间时，要注意的正负 3yAsin(x)的对称中心实质上是其图像与x轴的交点，对称轴即过最高点或最低 点且与x轴垂直的直线. 基础过关 1已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为 ，则该函数的图像( ) (x 3) A关于点对称B关于直线x对称 ( 3 ，0) 4 C关于点对称D关于直线x对称 ( 4 ，0) 3 答案 A 2函数y2sin在一个周期内的三个“
14、零点”横坐标是( ) ( 1 2x 3) A，B， 3 5 3 11 3 2 3 4 3 10 3 C，D， 6 11 6 23 6 3 2 3 5 3 解析 由题x，时y2sin0，故 A、C、D 错 3 6( 1 2x 3) 答案 B 3已知函数f(x)sin，若存在(0，)，使得f(x)f(x3)恒成立， (2x 4) 则的值是( ) A. B. 6 3 C. D. 4 2 解析 f(x)sin， (2x2 4) f(x3)sin， (2x6 4) 因为f(x)f(x3)且(0，)， 所以 2x22x6. 4 4 所以.故选 D. 2 答案 D 4函数ysin，x的单调递增区间为_ (
15、1 2x 3)， 2 解析 x，x， ， 2 1 2 3 6 ，7 12 ysin x在上单调递增 6 ， 2 x. 6 1 2 3 2 解得x.故填. 3， 3 答案 ， 3 5函数y2sin的图像与x轴的交点中，与原点最近的一点坐标是_ (4x 2 3) 解析 函数y2sin的图像与x轴相交 (4x 2 3) 4xk，x(kZ Z) 2 3 6 k 4 当k1 时，交点离原点最近坐标为. ( 12，0) 答案 ( 12，0) 6已知函数f(x)2asinb的定义域为，值域为5,4，求常数a，b (2x 6)0， 2 的值 解 f(x)2asinb， (2x 6) x，2x. 0， 2 6
16、6 ，7 6 sin. (2x 6) 1 2，1 则当a0 时，Error! a3，b1. 当a0 时，Error! a3，b2. 7已知函数yAsin(x)(A0，0)的图像过点P，图像与P点最近的一个 ( 12，0) 最高点坐标为. ( 3 ，5) (1)求函数解析式； (2)指出函数的增区间； (3)求使y0 的x的取值范围 解 (1)图像最高点坐标为，A5. ( 3 ，5) ，T. T 4 3 12 4 2.y5sin(2x) 代入点， 得 sin1. 2k 2 T( 3 ，5) ( 2 3) 2 3 ，kZ Z. 2 令k0，则，y5sin. 6(2x 6) (2)函数的增区间满足2
17、k2x2k(kZ Z)， 2k2x2k 2 6 2 3 2 3 (kZ Z) kxk(kZ Z) 6 3 增区间为(kZ Z) k 6 ，k 3 (3)5sin0， (2x 6) 2k2x2k(kZ Z) 6 kxk(kZ Z) 5 12 12 能力提升 8将函数y3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数 (2x 3) 2 ( ) A在区间上单调递减 12， 7 12 B在区间上单调递增 12， 7 12 C在区间上单调递减 6 ， 3 D在区间上单调递增 6 ， 3 解析 由题可得平移后的函数为y3sin3sin，令 2k2x 2(x 2) 3(2x 2 3) 2 2k(k Z
18、Z)， 解 得kxk(k Z Z)， 故 该 函 数 在 2 3 2 12 7 12 (kZ Z)上单调递增，当k0 时，选项 B 满足条件，故选 B. k 12，k 7 12 答案 B 9设函数f(x)cos，则下列结论错误的是( ) (x 3) Af(x)的一个周期为2 Byf(x)的图像关于直线x对称 8 3 Cf(x)的一个零点为x 6 Df(x)在单调递减 ( 2 ，) 解析 函数f(x)cos的图像可由ycos x的图像向左平移个单位得到，如图可 (x 3) 3 知，f(x)在上先递减后递增，D 选项错误 ( 2 ，) 答案 D 10为正实数，函数f(x)2sin x的周期不超过
19、1，则的最小值是_ 解析 由1，得2.即的最小值为 2. 2 答案 2 11函数y sin与y轴最近的对称轴方程是_ 1 2(2x 6) 解析 令 2xk(kZ Z)，x(kZ Z)由k0，得x； 6 2 k 2 3 3 由k1，得x. 6 答案 x 6 12已知方程sink在x0，上有两个解，求实数k的范围2 (x 4) 解 令 y1sin，y2k， 在同一坐标系内作出它们的图像(0x)， 由图像可知， 当 1k2 (x 4) 时， 直线y2k与曲线ysin在 0x 上有两个公共点， 即当 1k时，22 (x 4) 2 原方程有两个解 13(选做题)已知函数f(x)Asin(x)与对数函数yg(x)在同一坐标系中的图像如 图所示 (1)分别写出两个函数的解析式； (2)方程f(x)g(x)共有多少个解？ 解 (1)由图像知A2，0，T2， 故，f(x)2sin x. 设g(x)logax，由图像知 loga41， 故a ，g(x)logx. 1 4 1 4 (2)因g(x)为减函数，f(x)最小值为2.故当g(x)2 时，可能有交点，由 logx2， 1 4 得0x16.当2x16时，f(x)与g(x)在f(x)的每一个周期上的图像均有两个交点， 共14 个交点； 当 0x2 时，由图像知有 3 个交点； 当x16 时，图像无交点 综上可知，f(x)g(x)共有 17 个解