《2018_2019学年高中数学第三章三角恒等变形3二倍角的三角函数(一)学案北师大版必修4.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018_2019学年高中数学第三章三角恒等变形3二倍角的三角函数(一)学案北师大版必修4.pdf（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3 二倍角的三角函数(一)3 二倍角的三角函数(一) 内容要求 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重 点).2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用(难点) 知识点 1 二倍角公式 1sin()sin_cos_cos_sin_，令，得 sin 22sin_cos_. 2 cos()cos_cos_sin_sin_， 令， 得 cos 2cos2sin2 2cos2112sin2. 3tan()，令，得 tan 2. tan tan 1tan tan 2tan 1tan2 【预习评价】 1计算 12sin215的结果为( ) A.
2、 B. 1 2 2 2 C.D1 3 2 答案 C 2sin 105cos 105的值为( ) A.B 1 4 1 4 C.D 3 4 3 4 答案 B 知识点 2 二倍角公式的变形 1公式的逆用 2sin cos sin 2，sin cos sin 2，cos2sin2cos_2， 1 2 2tan 1tan2 tan 2. 2二倍角公式的重要变形升幂公式和降幂公式 升幂公式： 1cos 22cos2，1cos 22sin2，1cos 2cos2，1cos 2sin2， 降 2 2 幂公式：cos2，sin2. 1cos 2 2 1cos 2 2 【预习评价】 1已知 cos x ，则 co
3、s 2x( ) 3 4 A B. 1 4 1 4 C D. 1 8 1 8 解析 cos 2x2cos2x121 ，故选 D. ( 3 4) 2 1 8 答案 D 2.的值是( ) tan 75 1tan275 A.B 3 6 3 6 C2D233 答案 B 题型一 化简求值 【例 1】 求下列各式的值 (1)sincos； 12 12 (2)12sin2750； (3)； 2tan150 1tan2150 (4). 1 sin 10 3 cos 10 解 (1)原式 . 2sin 12cos 12 2 sin 6 2 1 4 (2)原式cos(2750)cos 1 500 cos(43606
4、0)cos 60 . 1 2 (3)原式tan(2150)tan 300tan(36060) tan 60.3 (4)原式cos 10 3sin 10 sin 10cos 10 2(1 2cos 10 3 2 sin 10) sin 10cos 10 4sin 30cos 10cos 30sin 10 2sin 10cos 10 4. 4sin 20 sin 20 规律方法 在使用二倍角公式化简时，要注意三种应用(1)正用公式，从题设条件出发，顺 着问题的线索，运用已知条件和推算手段逐步达到目的(2)公式逆用，要求对公式特点有 一个整体感知(3)公式的变形应用 【训练 1】 求下列各式的值 (
5、1)cos 72cos 36；(2). 1 sin 50 3 cos 50 解 (1)cos 72cos 36 2sin 36cos 36cos 72 2sin 36 2sin 72cos 72 4sin 36 sin 144 4sin 36 . 1 4 (2)原式 cos 50 3sin 50 sin 50cos 50 21 2cos 50 3 2 sin 50 1 2 2sin 50cos 50 2sin 80 1 2sin 100 4. 2sin 80 1 2sin 80 【例 2】 (1)已知 sin 2，则 sin cos ( ) 24 25( 4 ，0) A.B 1 5 1 5 C
6、 D. 7 5 7 5 (2)已知 sin ，则 sin 2x的值为( ) ( 4 x) 3 5 A. B. 19 25 16 25 C. D. 14 25 7 25 解析 (1)，sin cos 0. ( 4 ，0) sin cos .故选 A.1sin 2124 25 1 5 (2)sin 2xcos12sin21. ( 2 2x) ( 4 x) 18 25 7 25 答案 (1)A (2)D 【迁移 1】 若(1)中，求 sin cos 的值 ( 2 ， 4) 解 因为， ( 2 ， 4) 所以 sin cos 0 (sin cos )21sin 2， 1 25 所以 sin cos .
7、 1 5 【迁移 2】 在(1)中的条件下求 tan 的值 解 因为 sin 22sin cos ， 2sin cos sin2cos2 24 25 故， 2tan tan21 24 25 解得 tan 或 ， 4 3 3 4 因为，tan 1， ( 4 ，0) 故 tan . 3 4 规律方法 1.从角的关系寻找突破口，这类三角函数求值问题常有两种解题途径 ： 一是对题 设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢 ； 另一种是对结论变形， 将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论 2 当遇到x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式， 将条件与
8、结论沟通 cos 2x 4 sin2sincos.类似这样的变换还有：cos 2xsin2sin ( 2 2x) ( 4 x) ( 4 x) ( 2 2x) cos， ( 4 x) ( 4 x) sin 2xcos2cos21. ( 2 2x) ( 4 x) 题型三 三角函数式的化简或证明 【例 3】 化简：(1)； cos 101 3tan 10 cos 70 1cos 40 (2). 2cos21 2tan( 4 )sin2( 4 ) 解 (1)原式 cos 10(1 3sin 10 cos 10) 2sin 20cos 20 cos 10 3sin 10 2 2 sin 40 2(1 2
9、cos 10 3 2 sin 10) 2 2 sin 40 2. 2 2sin 40 sin 40 2 (2)原式 2cos21 2sin( 4 ) cos( 4 ) cos2( 4 ) 2cos21 2sin( 4 )cos( 4 ) 1. 2cos21 cos 2 cos 2 cos 2 规律方法 被化简的式子中有切函数和弦函数时，常首先将切化弦，然后分析角的关系，看 是否有互余或互补的若有，则应用诱导公式转化 ； 若没有，则利用两角和与差的三角函数 公式或二倍角公式化简 【训练 2】 化简下列各式： (1)； 2sin 2 1cos 2 cos2 cos 2 (2)； 1cos 20 c
10、os 80 1cos 20 (3). 1 1tan 1 1tan 解 (1)原式tan 2. 2sin 2 2cos2 cos2 cos 2 (2)原式. 2sin210 sin 10 2sin210 2sin210 2sin 210 2 (3)原式tan 2. 1tan 1tan 1tan 1tan 2tan 1tan2 课堂达标 1sin4cos4等于( ) 12 12 AB 1 2 3 2 C. D. 1 2 3 2 解析 原式 (sin 2 12cos 2 12) (sin 2 12cos 2 12) cos . (cos 2 12sin 2 12) 6 3 2 答案 B 2已知 si
11、n cos ，则 sin 2( ) 4 3 A B 7 9 2 9 C. D. 2 9 7 9 解析 sin 22sin cos . （sin cos ）21 1 7 9 答案 A 3若 tan 2，则 tan 2_. 解析 tan 2 . 2tan 1tan2 4 14 4 3 答案 4 3 4已知 cos，则 sin 2x_. (x 4) 2 10 解析 sin 2xcoscos ( 2 2x) (2x 2) cos 2(x)2cos21 4(x 4) 2 21 . ( 2 10) 24 25 答案 24 25 5求值：. sin 501 3tan 10cos 20 cos 80 1cos
12、 20 解 sin 50(1tan 10)3 sin 50cos 10 3sin 10 cos 10 sin 501， 2sin 40 cos 10 cos 80sin 10sin210，1cos 202sin2102 sin 501 3tan 10cos 20 cos 80 1cos 20 . 1cos 20 2sin 210 2 课堂小结 1对含有三角函数的平方的式子进行处理时，一般要用降幂公式：cos2， 1cos 2 2 sin2. 1cos 2 2 2 对题目中含有的单角、 倍角， 应将倍角化为单角， 同时应注意以下变形式 2， 2， 2 等之间关系的应用 4 3式中出现，时，往往采
13、用倍角公式去掉根号，但要注意去掉根号1cos 1sin 后的符号. 基础过关 1函数f(x)sin xcos x的最小值是( ) A1B 1 2 C.D1 1 2 解析 f(x) sin 2x. 1 2 1 2， 1 2 答案 B 2已知x(，0)，cos x ，则 tan 2x等于( ) 2 4 5 A.B 7 24 7 24 C.D 24 7 24 7 解析 cos x ，x(，0)，得 sin x ， 4 5 2 3 5 所以 tan x ， 3 4 所以 tan 2x，故选 D. 2tan x 1tan2x 2 3 4 13 4 2 24 7 答案 D 3已知 sin 2 ，则 cos
14、2等于( ) 2 3( 4) A. B. 1 6 1 3 C. D. 1 2 2 3 解析 因为 cos2 ( 4) 1cos2( 4) 2 ， 1cos(2 2) 2 1sin 2 2 所以 cos2 ，选 A. ( 4) 1sin 2 2 12 3 2 1 6 答案 A 42sin222.51_. 解析 原式cos 45. 2 2 答案 2 2 5sin 6sin 42sin 66sin 78_. 解析 原式sin 6cos 48cos 24cos 12 sin 6cos 6cos 12cos 24cos 48 cos 6 . sin 96 16cos 6 cos 6 16cos 6 1
15、16 答案 1 16 6已知 sin cos 2，求 sin 2的值 (0， 2) 解 sin 12sin2，即 2sin2sin 10， sin 1 或 sin . 1 2 又， (0， 2) sin ，. 1 2 6 cos . 3 2 sin 22sin cos 2 . 1 2 3 2 3 2 7已知角在第一象限且 cos ，求的值 3 5 1 2cos2 4 sin 2 解 cos 且在第一象限，sin . 3 5 4 5 cos 2cos2sin2， 7 25 sin 22sin cos ， 24 25 原式 1 2cos 2cos 4 sin 2sin 4 cos . 1cos 2
16、sin 2 cos 14 5 能力提升 8已知等腰三角形底角的余弦值为 ，则顶角的正弦值是( ) 2 3 A. B. 4 5 9 2 5 9 CD 4 5 9 2 5 9 解析 令底角为，顶角为，则2， cos ，0， 2 3 sin . 5 3 sin sin(2)sin 22sin cos 2 . 2 3 5 3 4 5 9 答案 A 9已知f(x)2tan x，则f的值为( ) 2sin2x 21 sinx 2cos x 2 ( 12) A4 B.3 8 3 3 C4D8 解析 f(x) 2sin x cos x 2cos x sin x 2sin 2x2cos2x sin xcos x
17、 ， 4 sin 2x f8. ( 12) 4 sin 6 答案 D 10已知 tan 3，则_. 2 1cos sin 1cos sin 解析 1cos sin 1cos sin 2sin2 2 2sin 2 cos 2 2cos2 2 2sin 2 cos 2 tan 3. 2sin 2(sin 2 cos 2) 2cos 2(cos 2 sin 2) 2 答案 3 11函数f(x)cos xsin2xcos 2x 的最大值是_ 7 4 解析 f(x)cos x(1cos2x)(2cos2x1)7 4 cos2xcos x 22. 7 4(cos x 1 2) 当 cos x 时，f(x)
18、max2. 1 2 答案 2 12已知 sin22sin 2cos cos 21，(0，)，求. 2 解 sin22sin 2cos (cos 21)0， 4sin2cos22sin cos22cos20. (0，)，2cos20. 2 2sin2sin 10. sin (sin 1 舍). 1 2 6 13(选做题)设函数f(x)2sin xcos x2cos2x1(0)，且以 2 为最小正3 周期 (1)求f(x)的解析式，并求当x时，f(x)的取值范围； 6 ， 3 (2)若f ，求 cos x的值 (x 6) 6 5 解 (1)f(x)sin 2xcos 2x3 2sin(2x 6) T2， 2 2 . 1 2 f(x)2sin， (x 6) 当x时，x，f(x)，2. 6 ， 3 6 3 ， 2 3 (2)f2sin ， (x 6)(x 6 6) 6 5 sin x ，cos x . 3 5 1sin2x 4 5