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1、6 平面向量数量积的坐标表示6 平面向量数量积的坐标表示 内容要求 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算(重点). 2.能运用向量数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角，会判断两个向量的垂直关系(难 点) 知识点 1 平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示 (1)数量积的坐标表示： 设向量a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab bx1x2y1y2. (2)模、夹角、垂直的坐标表示： 【预习评价】 1已知向量a a(4,7)，向量b b(5,2)，则a ab b的值是( ) A34B27 C43D6 解析 a ab b(4,7)(5,2)45726. 答案 D
2、 2设向量(1,0)，(1,1)，则向量，的夹角为( )OA OB OA OB A.B. 6 4 C. D. 3 2 解析 cos ， OA OB |OA | 1 10 1 1 1212 1 2 0，. 2 3 答案 C 知识点 2 直线的方向向量 (1)定义：与直线l共线的非零向量m m称为直线l的方向向量 (2)性质：给定斜率为k的直线l的一个方向向量为m m(1，k) 【预习评价】 1直线 2x3y10 的一个方向向量是( ) A(2，3)B(2,3) C(3,2)D(3,2) 答案 D 2过点A(2,1)且与向量a a(3,1)平行的直线方程为_ 答案 x3y50 题型一 平面向量数量
3、积的坐标运算 【例 1】 已知向量a a与b b同向，b b(1,2)，a ab b10，求： (1)向量a a的坐标；(2)若c c(2，1)，求(a ac c)b b. 解 (1)设a ab b(，2) a ab b10，cos 010，55 解得2.a a(2,4) (2)(a ac c)b b(224(1)b b0b b0. 规律方法 进行向量的数量积运算， 前提是牢记有关的运算法则和运算性质 解题时通常有 两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的 运算律将原式展开，再依据已知计算 【训练 1】 已知向量a a(1,3)，b b(2,5)，c c
4、(2,1)求 ： (1)a ab b； (2)(a ab b)(2a ab b) ； (3)(a ab b)c c，a a(b bc c) 解 (1)a ab b(1,3)(2,5)123517. (2)a ab b(1,3)(2,5)(3,8)， 2a ab b2(1,3)(2,5)(2,6)(2,5)(0,1)， (a ab b)(2a ab b)(3,8)(0,1)30818. (3)(a ab b)c c17c c17(2,1)(34,17)， a a(b bc c)a a(2,5)(2,1)(1,3)(2251)9(1,3)(9,27) 题型二 平面向量的夹角问题 【例 2】 已知(
5、2,1)，(1,7)，(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐OP OA OB 标原点) (1)求使取得最小值时的；CA CB OC (2)对(1)中求出的点C，求 cosACB. 解 (1)点C是直线OP上的一点， 向量与共线，OC OP 设t(tR R)，OC OP 则t(2,1)(2t，t)，OC (12t,7t)，CA OA OC (52t,1t)，CB OB OC (12t)(52t)(7t)(1t)CA CB 5t220t125(t2)28. 当t2 时，取得最小值，此时(4,2)CA CB OC (2)由(1)知(4,2)，OC (3,5)，(1，1)，CA CB |，|，
6、358.CA 34CB 2CA CB cosACB. CA CB |CA | |CB | 4 17 17 规律方法 利用数量积求两向量夹角的步骤 【训练 2】 已知向量a ae e1e e2，b b4e e13e e2，其中e e1(1,0)，e e2(0,1) (1)试计算a ab b及|a ab b|的值； (2)求向量a a与b b夹角的余弦值 解 (1)a ae e1e e2(1,0)(0,1)(1，1)， b b4e e13e e24(1,0)3(0,1)(4,3)， a ab b413(1)1， |a ab b|.41231225429 (2)由a ab b|a a|b b|cos
7、 ， cos . a ab b |a a|b b| 1 2 5 2 10 【例 3】 设平面向量a a(1,1)，b b(0,2) 求a a2b b的坐标和模的大小 解 a a(1,1)，b b(0,2)， a a2b b(1,1)2(0,2)(1，3)， |a a2b b|.123210 【迁移 1】 若c c3a a(a ab b)b b，求|c c|. 解 a ab bx1x2y1y22， c c3(1,1)2(0,2)(3，1)， |c c|.321210 【迁移 2】 若ka ab b与a ab b共线，求k的值 解 a a(1,1)，b b(0，2)， ka ab bk(1,1)(
8、0，2)(k，k2) a ab b(1,1)(0，2)(1，1) ka ab b与a ab b共线， k2(k)0.k1. 【迁移 3】 若ka ab b的模等于.求k的值10 解 ka ab bk(1,1)(0，2)(k，k2) ka ab b的模等于.10 ，k2k2210 化简得k22k30，解得k1 或k3. 即当k1 或k3 时满足条件 规律方法 1.已知向量a a(x，y)求其模，主要利用公式|a a|求解x2y2 2 形如(ma anb b)(ka aeb b)(m，n，k，eR R)的坐标运算， 有两条途径 ： 其一， 展开转化为a a2， a ab b，b b2的坐标运算；其
9、二，先求ma anb b与ka aeb b的坐标，再运算. 课堂达标 1已知a a(3，1)，b b(1，2)，则a a与b b的夹角为( ) A.B. 6 4 C. D. 3 2 解析 |a a|，|b b|，a ab b5.105 cos . a ab b |a a|b b| 5 10 5 2 2 又0，a a与b b的夹角为. 4 答案 B 2已知向量a a(2，3)，b b(3，m)，且a ab b，则m_ 解析 由题意，得233m0，m2. 答案 2 3若a a(2,3)，b b(4,7)，则a a在b b方向上的射影是_ 解析 a ab b13，|b b|，65 |a a|cos
10、. a ab b |b b| 13 65 13 65 65 答案 65 5 4已知平面向量a a(2,4)，b b(1,2)，若c ca a(a ab b)b b，则|c c|_. 解析 a a(2,4)，b b(1,2)， a ab b2(1)426， c ca a6b b， c c2a a212a ab b36b b220126365128. |c c|8.2 答案 8 2 5已知a a(4,3)，b b(1,2) (1)求a a与b b的夹角的余弦值； (2)若(a ab b)(2a ab b)，求实数的值 解 (1)a ab b4(1)322， |a a|5，|b b|，4232122
11、25 cos . a ab b |a a|b b| 2 5 5 2 5 25 (2)a ab b(4，32)，2a ab b(7,8)， 又(a ab b)(2a ab b)， (a ab b)(2a ab b)7(4)8(32)0， . 52 9 课堂小结 1设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab bx1x2y1y20. 应用该条件要注意：由a ab b可得x1x2y1y20；反过来，由x1x2y1y20 可得a ab b. 2向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题 可以利用向量的数量积来解决， 因此可利用向量的坐标求出向量的长度、 平
12、面内两点间的距 离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直. 基础过关 1已知向量a a(5,6)，b b(6,5)，则a a与b b( ) A垂直B不垂直也不平行 C平行且同向D平行且反向 解析 abab56650， a ab b. 答案 A 2已知a a(3,2)，b b(1,0)，向量a ab b与a a2b b垂直，则实数的值为( ) AB. 1 7 1 7 C D. 1 6 1 6 解析 由a a(3,2)，b b(1,0)， 知a ab b(31,2)，a a2b b(1,2) 又(a ab b)(a a2b b)0， 3140， . 1 7 答案 A 3平面向量a a与b b的夹角
13、为 60，a a(2,0)，|b b|1，则|a a2b b|等于( ) A.B233 C4D12 解析 a a(2,0)，|b b|1， |a a|2，a ab b21cos 601. |a a2b b|2.a a24a ab b4b b23 答案 B 4已知a a(3，)，b b(1,0)，则(a a2b b)b b_.3 解析 a a2b b(1，)，3 (a a2b b)b b1101.3 答案 1 5若平面向量a a(1，2)与b b的夹角是 180，且|b b|4，则b b_.5 解析 由题意可设b ba a(，2)，0， 则|b b|22425280，4， b b4a a(4,8
14、) 答案 (4,8) 6已知平面向量a a(1，x)，b b(2x3，x)(xR R) (1)若a ab b，求x的值； (2)若a ab b，求|a ab b|. 解 (1)a ab b， a ab b0，即 1(2x3)x(x)0， 解得x1 或x3. (2)a ab b，1(x)x(2x3)0， 解得x0 或x2. 又|a ab b| a ab b2 ，|a a|22a ab b|b b|2 |a ab b|2 或 2.5 7已知a a(1,2)，b b(1，)，分别确定实数的取值范围，使得： (1)a a与b b的夹角为直角； (2)a a与b b的夹角为钝角； (3)a a与b b的
15、夹角为锐角 解 设a a与b b的夹角为， a ab b(1,2)(1，)12. (1)因为a a与b b的夹角为直角，所以 cos 0， 所以a ab b0，即 120，所以 . 1 2 (2)因为a a与b b的夹角为钝角， 所以 cos 0 且 cos 1， 所以a ab b0，且a a与b b不反向 由a ab b0，得 120，故 ， 1 2 由a a与b b共线得2，故a a与b b不可能反向 所以的取值范围为. (， 1 2) (3)因为a a与b b的夹角为锐角， 所以 cos 0，且 cos 1， 所以a ab b0 且a a，b b不同向 由a ab b0，得 ，由a a与
16、b b同向得2. 1 2 所以的取值范围为(2，) ( 1 2，2) 能力提升 8.如图所示，矩形ABCD中，AB4，点E为AB的中点，若，则|DE AC DE ( ) A.B2 5 2 3 C3D2 2 解析 以A为坐标原点，建立坐标系则A(0,0)，E(2,0)，C(4，x)，D(0，x)(x0) (2，x)，(4，x)DE AC ，DE AC 24(x)x0，x2.2 (2，2)，|2.DE 2DE 222 223 答案 B 9已知(3,1)，(0,5)，且，则点C的坐标是( )OA OB AC OB BC AB A.B. (3， 29 4)(3， 29 4) C. D. (3， 29
17、4)(3， 29 4) 解析 设C的坐标为(x，y)，则 (x3，y1)，(3,4)，(x，y5)AC AB BC 由，得AC OB BC AB Error!解得x3，y. 29 4 答案 B 10 已知点A(1,2)，B(3,4)，C(2,2)，D(3,5)， 则向量在向量上的投影为_AB CD 解析 由题意知(2,2)，(1,3)，设和的夹角为，则向量在向量上的AB CD AB CD AB CD 投影为|cos .AB AB CD |CD | 26 10 2 10 5 答案 2 10 5 11设a a(2，x)，b b(4,5)，若a a与b b的夹角为钝角，则x的取值范围是 _ 解析 为
18、钝角，cos 0， a ab b |a a|b b| 即a ab b85x0，x . 8 5 a ab b时有4x100，即x ， 5 2 当x 时，a a(2， )b b， 5 2 5 2 1 2 a a与b b反向，即. 故a a与b b的夹角为钝角时， x 且x . 8 5 5 2 答案 x 且x 8 5 5 2 12在ABC中，(2,3)，(1，k)，若ABC是直角三角形，求k的值AB AC 解 (2,3)，(1，k)，AB AC (1，k3)BC AC AB 若A90，则213k0，k ；AB AC 2 3 若B90，则2(1)3(k3)0，AB BC k； 11 3 若C90，则1
19、(1)k(k3)0，AC BC k. 3 13 2 故所求k的值为 或或. 2 3 11 3 3 13 2 13 (选做题)设向量a a，b b满足|a a|1， |b b|1， 且a a与b b具有关系|ka ab b|a akb b|(k0)3 (1)a a与b b能垂直吗？ (2)若a a与b b夹角为 60，求k的值 解 (1)因为|ka ab b|a akb b|，3 所以(ka ab b)23(a akb b)2， 因为|a a|b b|1. 所以k212ka ab b3(1k22ka ab b)， 所以a ab b.因为k210，所以a ab b0，即a a与b b不垂直 k21 4k (2)因为a a与b b夹角为 60，且|a a|b b|1， 所以a ab b|a a|b b|cos 60 . 1 2 所以 .所以k1. k21 4k 1 2