2018_2019学年高中数学第二章平面向量章末复习课学案北师大版必修4.pdf

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1、第二章 平面向量第二章 平面向量 章末复习课章末复习课 网络构建 核心归纳 1平面向量的基本概念 主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，这些 概念是考试的热点， 一般都是以选择题或填空题出现， 尤其是单位向量常与向量的平行与垂 直的坐标形式结合考查 2向量的线性运算 主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广到向量加法的多边形法则； 掌握向量减法的三角形法则 ； 数乘向量运算的性质和法则及运算律同时要灵活运用这些知 识解决三点共线、两线段相等及两直线平行等问题 3向量的坐标运算 主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运算 ；

2、能用向量共线的坐标表 示证明两向量平行或证明三点共线；能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向 量 4平面向量的数量积 平面向量的数量积是向量的核心内容， 主要应掌握向量的数量积的定义、 法则和公式进行相 关运算，特别是向量的模、夹角、平行与垂直等运算 ； 能用向量数量积的坐标形式求向量的 模、夹角，证明向量平行或垂直，能解答有关综合问题 5平面向量的应用 一是要掌握平面几何中的向量方法， 能用向量证明一些平面几何问题、 能用向量求解一些解 析几何问题；二是能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等问题 要点一 向量共线问题 运用向量平行(共线)证明常用的结论有 ： (1)向量a a、

3、b b(a a0)共线存在唯一实数， 使b b a a； (2)向量a a(x1，y1)，b b(x2，y2)共线x1y2x2y10； (3)向量a a与b b共线|a ab b| |a a|b b|；(4)向量a a与b b共线存在不全为零的实数1，2，使1a a2b b0. 判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点 【例 1】 设坐标平面上有三点A、B、C，i i、j j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位 向量，若向量i i2j j，i imj j，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线AB BC 解 方法一 假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线

4、，即，AB BC 存在实数， 使，i i2j j(i imj j)，Error!m2， 当m2 时，A、B、CAB BC 三点共线 方法二 假设满足条件的m存在， 根据题意可知 ：i i(1,0)，j j(0,1)， (1,0)2(0,1)AB (1， 2)，(1,0)m(0,1)(1，m)， 由A、B、C三点共线， 即， 故 1m1(2)BC AB BC 0，解得m2，当m2 时，A、B、C三点共线 【训练 1】 证明：起点相同的三个向量a a，b,b,3a a2b b的终点在一条直线上(a ab b) 证明 如图， 设a a，b b，3a a2b b，OA OB OC (3a a2b b)

5、a a2(a ab b)，b ba a，AC OC OA AB OB OA 2，共线AC AB AC AB 又，有共同起点A，A，B，C在同一条直线上AC AB 起点相同的三个向量a a，b,b,3a a2b b的终点在一条直线上(a ab b) 要点二 平面向量的线性运算 1向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算主要是运用它们的 运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等问题，而 理解相关概念，用基底或用坐标表示向量是基础 2向量是一个有“形”的几何量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分 析判断求解，特别是平行四边形法则和三角形

6、法则的应用 【例 2】 如图所示， 已知OAB中， 点C是以A为中心的点B的对称点，D是将分成 21OB 的一个内分点，DC和OA交于E，设a a，b b.OA OB (1)用a a和b b表示向量、 ；OC DC (2)若，求实数的值OE OA 解 (1)依题意，A是BC的中点， 2，即22a ab b.OA OB OC OC OA OB DC OC OD OC 2 3OB 2a ab bb b2a ab b. 2 3 5 3 (2)设，OE OA 则a a(2a ab b)(2)a ab b.CE OE OC 与共线，CE DC 存在实数k，使k，CE DC (2)a ab bk，解得 .

7、 (2a a 5 3b b) 4 5 【训练 2】 计算： (1)3(6a ab b)9(a ab b)； 1 3 (2)2； 1 2(3a a2b b)(a a 1 2b b)( 1 2a a 3 8b b) (3)2(5a a4b bc c)3(a a3b bc c)7a a. 解 (1)原式18a a3b b9a a3b b9a a. (2)原式a ab b 1 2(2a a 3 2b b) 3 4 a ab ba ab b0. 3 4 3 4 (3)原式10a a8b b2c c3a a9b b3c c7a ab bc c. 要点三 平面向量的坐标运算 1向量的坐标表示实际上是向量的代

8、数表示引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化 为代数运算，实现数与形的统一 2 向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具， 它是转化思想、 函数与方程、 分类讨论、 数形结合等思想方法的具体体现 3通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角，判断共线、平行、垂直等 问题 【例 3】 平面内给定三个向量a a(3,2)，b b(1,2)，c c(4,1) (1)求a ab b； (2)(a akc c)(2b ba a)，求实数k； (3)设d d(x，y)，满足(d dc c)(a ab b)，且|d dc c|1，求d d. 解 (1)a ab b(3,2)(1,2)341. (

9、2)因为(a akc c)(2b ba a)， 而a akc c(34k,2k)， 2b ba a(5,2)， 所以 2(34k)5(2 k)0，即k. 16 13 (3)因为d dc c(x4，y1)，a ab b(2,4)， 又(d dc c)(a ab b)，|d dc c|1， 所以Error! 解得Error!或Error! 所以d d或d d. ( 20 5 5 ，52 5 5)( 20 5 5 ，52 5 5) 【训练 3】 已知点A(1,2)，B(2,8)及，.求点C，D和的坐标AC 1 3AB DA 1 3BA CD 解 A(1,2)，B(2,8) (2,8)(1,2)(3,

10、6)，AB (1,2)，AC 1 3AB (1,2)DA 1 3BA 1 3AB 则(1,2)(1,2)(0,4)，OC OA AC (1,2)(1,2)(2,0)OD OA AD OA DA C，D的坐标分别为(0,4)和(2,0) (2，4)CD 要点四 向量的夹角及垂直问题 1求两个向量的夹角主要利用两个公式： (1)cos ，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和模 a ab b |a a|b b| (2)cos ，求解的前提是：求出两个向量的坐标 x1x2y1y2 x2 1y2 1x2 2y2 2 2解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能 用坐标

11、表示，将它转化为“x1x2y1y20”较为简单 3用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于：选用适当向量为基底，把所 要研究的问题转化为两向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角 【例 4】 已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4) (1)求证：ABAD； (2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值 (1)证明 A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)， (1,1)，(3,3)AB AD 1(3)130，AB AD ，即ABAD.AB AD (2)解 ，四边形ABCD为矩形，AB AD .AB DC 设C点坐标为(x，y)，则(x1，

12、y4)，DC Error!解得Error! 点C坐标为(0,5) 从而(2,4)，(4,2)，且|2，|2，8816，AC BD AC 5BD 5AC BD 设与的夹角为，AC BD 则|cos | . |AC BD | |AC |BD | 16 20 4 5 矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为 . 4 5 【训练 4】 已知O为坐标原点， 向量(3sin ， cos )，(2sin ， 5sin 4cos OA OB )，且，则 tan 的值为( ) ( 3 2 ，2)OA OB A B 4 3 4 5 C. D. 4 5 3 4 解析 由题意知6sin2cos (5sin 4cos

13、 )0， 即6sin25sin cos 4cos20，上述等式两边同时除以 cos2，得 6tan25tan 40，由于 ， ( 3 2 ，2) 则 tan 0，解得 tan ，故选 A. 4 3 答案 A 要点五 向量的长度(模)与距离的问题 向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇 点一般地，求向量的模主要利用公式|a a|2a a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数 量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a a|，将x2y2 它转化为实数问题，使问题得以解决 【例 5】 设|a a|b b|1，|3a a2b b|3，

14、求|3a ab b|的值 解 方法一 |3a a2b b|3， 9a a212a ab b4b b29. 又|a a|b b|1，a ab b . 1 3 |3a ab b|2(3a ab b)29a a26a ab bb b2 96 112. 1 3 |3a ab b|2.3 方法二 设a a(x1，y1)，b b(x2，y2) |a a|b b|1，xyxy1. 2 12 12 22 2 3a a2b b(3x12x2,3y12y2)， |3a a2b b|3.3x12x223y12y22 x1x2y1y2 . 1 3 |3a ab b| 3x1x223y1y22 2.916 1 3 3

15、【训练 5】 设 0|a a|2，f(x)cos2x|a a|sin x|b b|的最大值为 0，最小值为4，且 a a与b b的夹角为 45，求|a ab b|. 解 f(x)1sin2 x|a a|sin x|b b| 2 |b b|1. (sin x |a a| 2) |a a|2 4 0|a|a|2，当 sin x时，|b b|10； |a a| 2 |a a|2 4 当 sin x1 时，|a a|b b|4. 由Error!得Error! |a ab b|2(a ab b)2a a22a ab bb b2 22222cos 452284，2 |a ab b|2.84 22 2 基础

16、过关 1设向量a a，b b满足|a a|b b|1，a ab b ，则|a a2b b|( ) 1 2 A. B. 23 C. D.57 解析 |a a2b b| a a2b b2 a a24b b24a ab b .144 1 2 3 答案 B 2已知向量a a(2,1)，b b(3,4)，则向量a a在b b方向上的射影为( ) A. B. 2 5 2 5 5 C D 2 5 5 2 5 解析 |a a|cos . a ab b |b b| 2 31 4 5 2 5 答案 D 3若a a，b b是非零向量且满足(a a2b b)a a，(b b2a a)b b，则a a与b b的夹角是(

17、 ) A. B. 6 3 C. D. 2 3 5 6 解析 a a22a ab b0，b b22a ab b0，a a2b b2， |a a|b b|， cos . a ab b |a a|b b| 1 2a a 2 |a a|2 1 2 . 3 答案 B 4已知向量a a(1，2)，b b(m，1)若向量a ab b与a a垂直，则m_ 解析 由题意得a ab b(m1，3)， 因为a ab b与a a垂直，所以(a ab b)a a0，所以(m1)230，解得m7. 答案 7 5已知向量a a(，1)，b b(0，1)，c c(k，)，若a a2b b与c c共线，则k_.33 解析 a

18、a2b b(，3)，3 (a a2b b)c c， 33k0，k1. 答案 1 6已知|a a|，|b b|1.2 (1)若a a，b b的夹角为 45，求|a ab b|； (2)若(a ab b)b b，求a a与b b的夹角. 解 (1)|a ab b|a a22a ab bb b2 1.22 2 1 2 2 1 (2)(a ab b)b b， (a ab b)b ba ab bb b21cos 10，2 cos ，又0，. 2 2 4 7 已知(2,1)，(1,7)，(5,1)， 设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)OP OA OB (1)求使取得最小值时的；CA CB OC (

19、2)对(1)中求出的点C，求 cosACB. 解 (1)点C是直线OP上的一点， 向量与共线，OC OP 设t(tR R)，则t(2,1)(2t，t)，OC OP OC (12t,7t)，CA OA OC (52t,1t)，CB OB OC (12t)(52t)(7t)(1t)CA CB 5t220t125(t2)28. 当t2 时，取得最小值，此时(4,2)CA CB OC (2)由(1)知(4,2)，(3,5)，(1，1)，OC CA CB |，|，358.CA 34CB 2CA CB cosACB. CA CB |CA | |CB | 4 17 17 能力提升 8 在ABC中，M是BC的

20、中点，AM1， 点P在AM上且满足2， 则()等于( )AP PM PA PB PC A B 4 9 4 3 C. D. 4 3 4 9 解析 ()PA PB PC 22|cos 180PA PM PA PM 2 (1) . 2 3 1 3 4 9 答案 A 9已知a a，b b，a ab,b,02，则角等于( ) ( 3 2，cos )( 3 2 ，sin ) A. B. 6 7 6 C.或 D.或 3 4 3 6 7 6 解析 因为a ab b，所以 sin cos ， 3 2 3 2 所以 tan ，又 02，所以或. 3 3 6 7 6 答案 D 10在等腰ABC中，ABAC2，ABC

21、，D是BC的中点，则在方向上的射影是 6 BA CD _ 解析 由题意知，与所成的角为，BA CD 5 6 在方向上的射影是 2cos.BA CD 5 6 3 答案 3 11已知e e1，e e2是夹角为的两个单位向量，a ae e12e e2，b bke e1e e2，若a ab b0，则实 2 3 数k的值为_ 解析 由题意得：a ab b(e e12e e2)(ke e1e e2)0， 即ke ee e1e e22ke e1e e22e e0，则kcos2kcos20，化简得k . 2 12 2 2 3 2 3 5 4 答案 5 4 12.在ABC中，DEBC，与边AC相交于点E，ABC

22、的中线AM与DE相交于点N，AD 1 4AB 如右图所示，设a a，b b，试用a a，b b表示.AB AC DN 解 M为BC的中点 () (b ba a)， (a ab b)BM 1 2BC 1 2 AC AB 1 2 AM AB BM 1 2 ，DN BM AN AM 根据向量共线的条件，存在实数和，使得(b ba a)，(a aDN BM 1 2 AN AM 1 2 b b)， a a(b ba a)AN AD DN 1 4 1 2 a ab b. ( 1 4 2) 2 根据平面向量基本定理得Error! 解方程得 ，故 (b ba a) 1 4 DN 1 8 13(选做题)已知(6

23、,1)，(x，y)，(2，3)AB BC CD (1)若，求x与y之间的关系式；BC DA (2)在(1)条件下，若，求x，y的值及四边形ABCD的面积AC BD 解 (1)(x4，y2)，AD AB BC CD (x4,2y)DA AD 又且(x，y)，BC DA BC x(2y)y(x4)0， 即x2y0. (2)由于(x6，y1)，AC AB BC (x2，y3)，BD BC CD 又，AC BD 所以0，AC BD 即(x6)(x2)(y1)(y3)0. 联立化简，得y22y30. 解得y3 或y1. 故当y3 时，x6， 此时(0,4)，(8,0)，AC BD 所以SABCD |16； 1 2 AC BD 当y1 时，x2， 此时(8,0)，(0，4)，AC BD SABCD |16. 1 2 AC BD