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1、压轴提升卷(二) 压轴提升卷(二) 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1 (本题满分 12 分)已知抛物线C：x22py(p0)及点D， 动直线l：ykx1 (0， p 2) 与抛物线C交于A，B两点，若直线AD与BD的倾斜角分别为，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若H为抛物线C上不与原点O重合的一点，点N是线段OH上与点O，H不重合的任 意一点，过点N作x轴的垂线依次交抛物线C和x轴于点P，M，求证： |MN|ON|MP|OH|. 解：(1)把ykx1 代入x22py得x22pkx2p0， 设A，B，则x1x22pk，x1x22p. (x 1， x 2p)(x 2， x
2、2p) 由 可知， 直线AD的斜率与直线BD的斜率之和为零， 所以0，去分母整理得(x1x2)(x1x2p2)0， x 2p p 2 x1 x 2p p 2 x2 即 2pk(p22p)0，由该式对任意实数k恒成立，可得p2， 所以抛物线C的方程为x24y. (2)证明：设过点N的垂线方程为xt(t0)，由得即点P. xt， x24y) xt， yt 2 4 ，)(t， t2 4) 令，则N，所以直线ON的方程为yx， |MN| |MP|(t， t2 4) t 4 由且x0 得即点H， yt 4 x， x24y ) xt y 2t2 4 ，)(t， 2t2 4) 所以，所以， |OH| |ON
3、| xH xN t t |MN| |MP| |OH| |ON| 即|MN|ON|MP|OH|. 2(本题满分 12 分)已知函数f(x)(xk)exk，kZ Z，e2.718 28为自然对数的 底数 (1)当k0 时，求函数f(x)的单调区间； (2)当x(0，)时，不等式f(x)50 恒成立，求k的最大值 解：(1)当k0 时，f(x)xex， f(x)(x1)ex. 由f(x)0，得x1， 当x1 时，f(x)0，此时函数f(x)单调递增； 当x1 时，f(x)0，此时函数f(x)单调递减 函数f(x)的单调递增区间是(1，)，单调递减区间是(，1) (2)由题意知，5(xk)exk0 对
4、x(0，)恒成立 当x(0，)时，ex10， 不等式xk对x(0，)恒成立 x5 ex1 设h(x)x，则h(x). x5 ex1 ex（exx6） （ex1）2 令F(x)exx6，则F(x)ex1. 当x(0，)时，F(x)0， 函数F(x)exx6 在(0，)上单调递增 又F(2)e280，F(3)e390， F(2)F(3)0. 存在唯一的x0(2，3)，使得F(x0)0，即 ex0x06. 当x(0，x0)时，F(x)0，h(x)0，此时函数h(x)单调递减； 当x(x0，)时，F(x)0，h(x)0，此时函数h(x)单调递增 当xx0时，函数h(x)有极小值(即最小值)h(x0) h(x0)x0x01(3，4) x05 ex01 又kh(x0)，kZ Z， k的最大值是 3.