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1、课时跟踪检测（十） 立体几何 （大题练）课时跟踪检测（十） 立体几何 （大题练） A 卷大题保分练 1.(2018洛阳模拟)如图， 在四棱锥PABCD中，E，F分别是PC，PD的中点，底面ABCD 是边长为 2 的正方形，PAPD2，且平面PAD平面ABCD. (1)求证：平面AEF平面PCD； (2)求平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值 解：(1)证明：由题意知，PAPDAD，F为PD的中点， 可得AFPD， 平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CD平面ABCD，CDAD， CD平面PAD. 又AF平面PAD，CDAF， 又CDPDD， AF平面PCD，又AF平面AE
2、F， 平面AEF平面PCD. (2)取AD的中点O，BC的中点G，连接OP，OG， PAPDAD，OPAD. 平面PAD平面ABCD，OP平面PAD，OP平面ABCD. 分别以OA，OG，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间 直角坐标系， 则A(1,0,0)，C(1,2,0)，E，F， ( 1 2，1， 3 2) ( 1 2，0， 3 2) AF ( 3 2，0， 3 2) FE (0,1,0) 设平面AEF的法向量为 m(x，y，z)， 则Error!即Error! 可取 m(1,0，)，为平面AEF的一个法向量3 同理，可得平面ACE的一个法向量为 n(， ，1)33 cosm
3、，n. mn | m |n| 1 3 3 1 2 7 21 7 平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值为. 21 7 2.(2018山西八校联考)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，CC1底面ABC，ACBCCC12，D，E，F 分别是棱AB，BC，B1C1的中点，G是棱BB1上的动点 (1)当为何值时，平面CDG平面A1DE? BG BB1 (2)求平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角的余弦值 解：(1)当 ，即G为BB1的中点时，平面CDG平面A1DE. BG BB1 1 2 证明如下：因为点D，E分别是AB，BC的中点， 所以DEAC且DEAC， 1 2 又ACA1C1
4、，ACA1C1， 所以DEA1C1，DEA1C1， 1 2 故D，E，C1，A1四点共面 如图，连接C1E交GC于H.在正方形CBB1C1中，tanC1EC2， tan BCG ， 1 2 故CHE90， 即CGC1E.因为A1C1平面CBB1C1，CG平面CBB1C1， 所以DECG， 又C1EDEE，所以CG平面A1DE， 故平面CDG平面A1DE. (2)由(1)知，当G为BB1的中点时，平面A1DE的一个法向量为.三棱CG 柱ABCA1B1C1中，ACB90，CC1底面ABC，所以以C为原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示 因为ACBC
5、CC12，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点， 所以C(0,0,0)，A1(2,0,2)， D(1,1,0)，E(0,1,0)，B(0,2,0)，F(0,1,2)，G(0,2,1)，(2,2，2)，(A1B A1F 2,1,0)，(0,2,1)由CD知为平面A1DE的一个法向量CG CG 设平面A1BF的法向量为 n(x，y，z)， 则Error!即Error! 令x1 得 n(1,2,1)，为平面A1BF的一个法向量 设平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角为， 则 cos ， |n| |n| 5 30 30 6 所以平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角的余弦值为. 30 6
6、 3如图，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E是CD的中点，将ADE沿AE折起，得 到如图所示的四棱锥D1ABCE，其中平面D1AE平面ABCE. (1)设F为CD1的中点，试在AB上找一点M，使得MF平面D1AE； (2)求直线BD1与平面CD1E所成的角的正弦值 解：(1)如图，取D1E的中点，记为L，连接AL，FL，则FLEC， 又ECAB， FLAB，且FLAB， 1 4 M，F，L，A四点共面，且平面D1AE平面AMFLAL， 若MF平面D1AE，则MFAL， 四边形AMFL为平行四边形，AMFLAB. 1 4 (2)取AE的中点O， 过点O作OGAB于G，OHBC于H， 连接OD1
7、. AD1D1E， D1OAE， D1O平面ABCE，D1OOG，D1OOH， 又 易得OGOH， 故OG，OH，OD1两两垂直，以O为坐标原点，OG，OH，OD1为x轴，y轴，z轴建立 空间直角坐标系，如图所示 则B(1,3,0)，C(1,3,0)，E(1,1,0)，D1(0,0，)2 故(1，3，)，(1，3，)，(0，2,0)BD1 2CD1 2CE 设平面CD1E的一个法向量为 m(x，y，z)， 则Error!即Error! 取x，得 m(，0，1)22 设直线BD1与平面CD1E所成的角为， 则 sin |cosm，|.BD1 |m| | m | |2 2| 3 12 2 3 即直
8、线BD1与平面CD1E所成的角的正弦值为. 2 3 4.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为 2 的菱形， BAD60， 四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，BF3，H是CF的中点 (1)求证：AC平面BDEF； (2)求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值； (3)求二面角HBDC的大小 解：(1)证明：四边形ABCD是菱形， ACBD. 又平面BDEF平面ABCD， 平面BDEF平面ABCDBD，且AC平面ABCD， AC平面BDEF. (2)设ACBDO，取EF的中点N，连接ON， 四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，ONED. ED平面ABCD
9、，ON平面ABCD. 由ACBD，得OB，OC，ON两两垂直 以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系 底面ABCD是边长为 2 的菱形，BAD60，BF3， A(0， ， 0)，B(1,0,0)，D(1， 0,0)，E(1,0,3)，F(1,0,3)，C(0，3 ， 0)，H.3 ( 1 2， 3 2 ，3 2) AC平面BDEF， 平面BDEF的法向量(0,2，0)AC 3 设直线DH与平面BDEF所成角为， ，DH ( 3 2， 3 2 ，3 2) sin |cos，|，DH AC | | 7 7 直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为.
10、7 7 (3)由(2)，得，(2,0,0)BH ( 1 2， 3 2 ，3 2) DB 设平面BDH的法向量为 n(x，y，z)， 则Error! 令z1，得 n(0，1)3 由ED平面ABCD， 得平面BCD的法向量为(0,0， 3)， 则 cosn， ED ED n | n | ， 1 2 由图可知二面角HBDC为锐角， 二面角HBDC的大小为 60. B 卷深化提能练 1.(2019 届高三辽宁五校联考)如图，在四棱锥EABCD中，底面 ABCD为直角梯形，其中CDAB，BCAB，侧面ABE平面ABCD，且ABAEBE 2BC2CD2， 动点F在棱AE， 且EFFA. (1)试探究的值，
11、使CE平面BDF，并给予证明； (2)当1 时，求直线CE与平面BDF所成角的正弦值 解：(1)当 时，CE平面BDF.证明如下： 1 2 连接AC交BD于点G，连接GF(图略)， CDAB，AB2CD， ， CG GA CD AB 1 2 EFFA， ，GFCE， 1 2 EF FA CG GA 1 2 又CE平面BDF，GF平面BDF， CE平面BDF. (2)如图，取AB的中点O，连接EO，则EOAB， 平面ABE平面ABCD，平面ABE平面ABCDAB， EO平面ABCD， 连接DO，BOCD，且BOCD1，四边形BODC为平行四边形，BC DO， 又BCAB， ABOD， 则OD，O
12、A，OE两两垂直，以OD，OA，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间 直角坐标系Oxyz， 则O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(0，1,0)，D(1,0,0)，C(1，1，0)，E(0,0，)3 当1 时，有，F，EF FA (0， 1 2， 3 2) (1,1,0)，(1,1，)，.BD CE 3BF (0， 3 2， 3 2) 设平面BDF的法向量为 n(x，y，z)， 则有Error!即Error!令z，得y1，x1，则 n(1，1，)为平面BDF的一33 个法向量， 设直线CE与平面BDF所成的角为， 则 sin |cos，n| ，CE 1 5 故直线CE与平面BDF所成
13、角的正弦值为 . 1 5 2.(2018山东潍坊模拟)如图， 在四棱锥PABCD中， 底面四边形ABCD内接于圆O，AC是 圆O的一条直径，PA平面ABCD，PAAC2，E是PC的中点，DACAOB. (1)求证：BE平面PAD； (2)若二面角PCDA的正切值为 2，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值 解 ： (1)证明 ： DACAOB， ADOB.E为PC的中点，O为圆心， 连接OE， OEPA， 又OBOEO，PAADA，平面PAD平面EOB，BE平面EOB，BE平面PAD. (2)四边形ABCD内接于圆O且AC为直径，ADCD，又PA平面ABCD，PACD， 又PAADA，CD平面
14、PAD，CDPD，PDA是二面角PCDA的平面角， tanPDA2，PA2，AD1，如图，以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC 所在的直线为y轴， 过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz.PA AC2，AD1，延长BO交CD于点F，BOAD，BFCD，BFBOOF，BF1 1 2 ，又CD，DF，P(1,0,2)，B，C(0， ，0)，(1，2)， 3 2 3 3 2( 3 2， 3 2 ，0) 3CP 3 (0， ，0)，设平面PCD的法向量 n(x，y，z)，DC 3 Error!即Error! 令z1，则x2，y0.n(2,0,1)是平面PCD的一个法向量
15、， 又，PB ( 1 2， 3 2 ，2) |cos，n| ，PB | n |n| 102 5 5| 3 5 直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 . 3 5 3.(2018合肥一模)如图， 已知平行四边形ABCD与EMN所在的平面 都与矩形BDEF所在的平面垂直，且BAD60，ABMN2AD2，EM EN，F为MN的中点 (1)求证：MNAD； (2)若直线AE与平面ABCD所成的角为 60，求二面角MABC的余 弦值 解 ： (1)证明 ： 在ABD中， BAD60，AB2，AD1， 由余弦定理可得BD2AB2AD2 2ABADcosBAD2212221cos 603， 所以BD，AD2B
16、D2AB2， 所以AD3 BD.又平面ABCD平面BDEF， 平面ABCD平面BDEFBD， 所以AD平面BDEF.在EMN中，EM EN，F为MN的中点，所以MNEF，又平面EMN平面BDEF，平面EMN平面BDEFEF， 所以MN平面BDEF.所以MNAD. (2)在矩形BDEF中，EDBD， 又平面ABCD平面BDEF，平面ABCD平面BDEFBD，所以ED平面ABCD. 所以EAD为直线AE与平面ABCD所成的角， 故EAD60. 在 RtEAD中，EDADtanEAD1tan 60.3 如图， 以D为坐标原点， 分别以DA，DB，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标 系，
17、则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0， ， 0)，E(0,0，)，F(0， ，)，M(1， ，)，(0，333333MA ，)，(1， ，0)33AB 3 因为DE平面ABCD， 所以(0,0，)为平面ABCD的一个法向量DE 3 设平面MAB的法向量为 n(x，y，z)， 所以Error!即Error! 整理得Error! 令y1，则x，z1，3 所以 n(，1，1)是平面MAB的一个法向量3 所以 cos ，n.DE n | |n| 3 1 3 321212 5 5 设二面角MABC的大小为，由图可知为钝角， 所以 cos cos，n.DE 5 5 4 已知直角梯形ABCD中，AB
18、CD，ABAD，CD2，AD，AB1， 如图所示， 将ABD2 沿BD折起到PBD的位置得三棱锥PBCD，如图所示 (1)求证：BDPC； (2)当平面PBD平面PBC时，求二面角PDCB的大小 解：(1)证明：在图中，连接AC，交BD于点G， 因为CDADAB90， 所以 tanCAD，tanDBA， CD AD 2 AD AB 2 所以CADDBA， 因为CADBAG90， 所以DBABAG90，所以BDAC. 所以将ABD沿BD折起到PBD的位置后，仍有BDPG，BDCG，如图所示， 又PGCGG，所以BD平面PCG， 又PC平面PCG，所以BDPC. (2)因为平面PBD平面PBC，P
19、BPD， 平面PBD平面PBCPB，PD平面PBD， 所以PD 平面PBC， 因为PC平面PBC，所以PDPC， 又BDPC，BDPDD，所以PC平面PBD，所以BPCP. 以P为坐标原点，PC，PB，PD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 如图所示， 则P(0,0,0)，B(0,1,0)，C(， 0,0)，D(0,0，)，(0， 1，)，(22BD 2BC ，1,0)，2 易知平面PCD的一个法向量为 m(0,1,0)， 设 n(x，y，z)为平面BCD的法向量， 则Error!即Error! 令x1，则y，z1，得 n(1， ，1)是平面BCD的一个法向量22 则 cosm，n， mn | m |n| 2 2 易知二面角PDCB为锐角， 所以二面角PDCB的大小为 45.