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1、课时规范练 38 直线、平面平行的判定与性质课时规范练 38 直线、平面平行的判定与性质 基础巩固组基础巩固组 1 1. 如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD平面FGH. 2 2. 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA是四棱锥P-ABCD的高,PA=AB=2,点M,N,E分别是 PD,AD,CD的中点. (1)求证:平面MNE平面ACP; (2)求四面体A-MBC的体积. 3 3.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2)判断平面BEG与
2、平面ACH的位置关系,并证明你的结论. 4 4. (2017 安徽淮南一模,文 19)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACAB,AB=2AA1,M是AB的中点,A1MC1 是等腰三角形,D为CC1的中点,E为BC上一点. (1)若BE=3EC,求证:DE平面A1MC1; (2)若AA1=1,求三棱锥A-MA1C1的体积. 5 5. (2017 福建南平一模,文 19)如图,在多面体ABCDE中,平面ABE平面ABCD,ABE是等边三角形,四 边形ABCD是直角梯形,ABAD,ABBC,AB=AD= BC=2,M是EC的中点. 1 2 (1)求证:DM平面ABE; (2)求三棱锥M-BDE
3、的体积. 导学号 24190931 综合提升组综合提升组 6 6. 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E在线段B1C1上,B1E=3EC1,试探究:在AC上是否存在点F,满足EF 平面A1ABB1?若存在,请指出点F的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由. 7 7. (2017 山西太原三模,文 19)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1底面ABC, A1AC=60,AC=2AA1=4,点D,E分别是AA1,BC的中点. (1)证明:DE平面A1B1C; (2)若AB=2,BAC=60,求三棱锥A1-BDE的体积. 8 8. (2017 江西宜春二模,文 19)在四棱
4、锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ABC是正三角形,AC与BD的交点 M恰好是AC中点,又PA=AB=4,CDA=120,点N在线段PB上,且PN=.2 (1)求证:MN平面PDC; (2)求点C到平面PBD的距离. 导学号 24190932 创新应用组创新应用组 9 9. (2017 吉林延边州模拟,文 19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AA1的中点,E为BC的中点. (1)求证:直线AE平面BC1D; (2)若三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,AB=2,AA1=4,求点E到平面BC1D的距离. 导学号 24190933 1010. 如图,已知正方形ABCD的边长为 6,点
5、E,F分别在边AB,AD上,AE=AF=4,现将AEF沿线段EF折起 到AEF位置,使得AC=2.6 (1)求五棱锥A-BCDFE的体积; (2)在线段AC上是否存在一点M,使得BM平面AEF?若存在,求AM;若不存在,请说明理由. 答案： 1 1.证法一 连接DG,CD,设CDGF=M.连接MH. 在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DFGC,DF=GC, 所以四边形DFCG为平行四边形. 则M为CD的中点. 又H为BC的中点, 所以HMBD,又HM平面FGH,BD平面FGH, 所以BD平面FGH. 证法二 在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可
6、得BHEF,BH=EF, 所以四边形HBEF为平行四边形,可得BEHF. 在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点, 所以GHAB. 又GHHF=H, 所以平面FGH平面ABED. 因为BD平面ABED, 所以BD平面FGH. 2 2.(1)证明 M,N,E分别是PD,AD,CD的中点,MNPA, 又MN平面ACP,MN平面ACP,同理ME平面ACP,又MNME=M,平面MNE平面ACP. (2)解 PA是四棱锥P-ABCD的高,由MNPA知MN是三棱锥M-ABC的高,且MN= PA=1, 1 2 VA-MBC=VM-ABC= SABCMN 1 3 =221= . 1 3 1 2 2 3 3
7、 3.解 (1)点F,G,H的位置如图所示. (2)平面BEG平面ACH.证明如下: 因为ABCD-EFGH为正方体, 所以BCFG,BC=FG, 又FGEH,FG=EH, 所以BCEH,BC=EH, 于是四边形BCHE为平行四边形. 所以BECH. 又CH平面ACH,BE平面ACH,所以BE平面ACH. 同理BG平面ACH. 又BEBG=B,所以平面BEG平面ACH. 4 4.(1)证明 如图 1,取BC中点N,连接MN,C1N, M是AB中点, MNACA1C1, M,N,C1,A1共面. BE=3EC,E是NC的中点. 又D是CC1的中点,DENC1. DE平面MNC1A1,NC1平面M
8、NC1A1,DE平面A1MC1. (2)解 如图 2,当AA1=1 时,则AM=1,A1M=,A1C1=.22 三棱锥A-MA1C1的体积 AMAA1A1C1=.VA - A1MC1= VC1- A1AM= 1 3 1 2 2 6 图 1 图 2 5 5.(1)证法一 取BE的中点O,连接OA,OM, O,M分别为线段BE,CE的中点, OM= BC. 1 2 又AD= BC,OM=AD, 1 2 又ADCB,OMCB, OMAD. 四边形OMDA为平行四边形, DMAO, 又AO平面ABE,MD平面ABE, DM平面ABE. 证法二 取BC的中点N,连接DN,MN(图略), M,N分别为线段
9、CE,BC的中点,MNBE, 又BE平面ABE,MN平面ABE, MN平面ABE, 同理可证DN平面ABE, MNDN=N,平面DMN平面ABE, 又DM平面DMN, DM平面ABE. (2)解法一 平面ABE平面ABCD,ABBC,BC平面ABCD, BC平面ABE, OA平面ABE,BCAO, 又BEAO,BCBE=B, AO平面BCE, 由(1)知DM=AO=,DMAO,3 DM平面BCE, VM-BDE=VD-MBE=22. 1 3 1 2 3 = 23 3 解法二 取AB的中点G,连接EG, ABE是等边三角形, EGAB, 平面ABE平面ABCD=AB,平面ABE平面ABCD,且E
10、G平面ABE, EG平面ABCD,即EG为四棱锥E-ABCD的高, M是EC的中点, M-BCD的体积是E-BCD体积的一半,VM-BDE=VE-BDC-VM-BDC= VE-BDC, 1 2 VM-BDE=24. 1 2 1 3 1 2 3 = 23 3 即三棱锥M-BDE的体积为. 23 3 6 6.解 方法一:当AF=3FC时,EF平面A1ABB1. 证明如下:在平面A1B1C1内过点E作EGA1C1交A1B1于点G,连接AG. 因为B1E=3EC1, 所以EG= A1C1. 3 4 又因为AFA1C1,且AF= A1C1,所以AFEG,所以四边形AFEG为平行四边形,所以EFAG. 3
11、 4 又因为EF平面A1ABB1,AG平面A1ABB1,所以EF平面A1ABB1. 方法二:当AF=3FC时,EF平面A1ABB1. 证明如下:在平面BCC1B1内过点E作EGBB1交BC于点G, 因为EGBB1,EG平面A1ABB1,BB1平面A1ABB1, 所以EG平面A1ABB1. 因为B1E=3EC1,所以BG=3GC, 所以FGAB. 又因为AB平面A1ABB1,FG平面A1ABB1, 所以FG平面A1ABB1. 又因为EG平面EFG,FG平面EFG,EGFG=G, 所以平面EFG平面A1ABB1. 因为EF平面EFG, 所以EF平面A1ABB1. 7 7.(1)证明 如图,取AC的
12、中点F,连接DF,EF, 在AA1C中,点D,F分别是AA1,AC的中点,DFA1C, 同理,得EFABA1B1,DFEF=F,A1CA1B1=A1, 平面DEF平面A1B1C, 又DE平面DEF, DE平面A1B1C. (2)解 过点A1作AC的垂线,垂足为H,由题知侧面ACC1A1底面ABC, A1H底面ABC,在AA1C中, A1AC=60,AC=2AA1=4, A1H=,3 AB=2,BAC=60, BC=2,点E是BC的中点,3 BE=,SABE= ABBE= 2,3 1 2 1 2 3 = 3 D为AA1的中点,-VD-ABE=A1HSABE=VA1- BDE= VA1- ABE
13、1 2VA1 - ABE= 1 2 1 3 1 6 3 . 3 = 1 2 8 8.(1)证明 在正三角形ABC中,BM=2.3 在ACD中,M为AC中点,DMAC,AD=CD. ADC=120,DM=, 23 3 =3. BM MD 在等腰直角三角形PAB中,PA=AB=4,PB=4,2 =3, BN NP BN NP = BM MD MNPD. 又MN平面PDC,PD平面PDC,MN平面PDC. (2)解 设点C到平面PBD的距离为h. 由(1)可知,BD=,PM=2, 83 3 16 + 45 SPBD=2. 1 2 83 3 5 = 815 3 SBCD=2=, 1 2 83 3 83
14、 3 由等体积可得4=h,h=, 1 3 83 3 1 3 815 3 45 5 点C到平面PBD的距离为. 45 5 9 9.(1)证明 设BC1的中点为F,连接EF,DF,则EF是BCC1的中位线, 根据已知得EFDA,且EF=DA, 四边形ADFE是平行四边形, AEDF, DF平面BDC1,AE平面BDC1,直线AE平面BDC1. (2)解 由(1)的结论可知直线AE平面BDC1, 点E到平面BDC1的距离等于点A到平面BDC1的距离,设为h. ,VE - BC1D= VA - BC1D= VB - AC1D h=, 1 3S BC1D 1 3S AC1D 3 2h=22,解得h=.
15、1 3 1 2 5 3 1 3 1 2 3 25 5 点E到平面BDC1的距离为. 25 5 1010.解 (1)连接AC,设ACEF=H,连接AH. 因为四边形ABCD是正方形,AE=AF=4, 所以H是EF的中点,且EFAH,EFCH. 从而有AHEF,CHEF, 又AHCH=H,所以EF平面AHC,且EF平面ABCD, 从而平面AHC平面ABCD. 过点A作AO垂直HC且与HC相交于点O,则AO平面ABCD. 因为正方形ABCD的边长为 6,AE=AF=4,故AH=2,CH=4,22 所以 cos AHC = AH2+ CH2- AC2 2AHCH =. 8 + 32 - 24 2 22 42 = 1 2 所以HO=AHcos AHC=,则AO=.26 所以五棱锥A-BCDFE的体积 V=. 1 3 (62- 1 2 4 4) 6 = 286 3 (2)线段AC上存在点M,使得BM平面AEF,此时AM=. 6 2 证明如下: 连接OM,BD,BM,DM,且易知BD过点O. AM=AC,HO= HC, 6 2 = 1 4 1 4 所以OMAH. 又OM平面AEF,AH平面AEF,所以OM平面AEF. 又BDEF,BD平面AEF,EF平面AEF, 所以BD平面AEF. 又BDOM=O,所以平面MBD平面AEF, 因为BM平面MBD, 所以BM平面AEF.