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1、课时规范练 33 基本不等式及其应用课时规范练 33 基本不等式及其应用 一、基础巩固组 1 1.设 00,b0,a,b的等比中项是 1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是( ) 1 1 A.3B.4C.5D.6 4 4.函数y=(x-1)的图象的最低点的坐标是( ) 2+ 2 + 2 + 1 A.(1,2)B.(1,-2)C.(1,1)D.(0,2) 5 5.(2017 山东日照一模)已知圆x2+y2+4x-2y-1=0 上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a0,b0)对称, 则的最小值为( ) 1 + 4 A.8B.9C.16D.18 6 6.要制作一个容积为 4 m3,高为 1
2、 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米 20 元, 侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是( ) A.80 元B.120 元C.160 元D.240 元 7 7.若两个正实数x,y满足=1,并且x+2ym2+2m恒成立,则实数m的取值范围是( ) 2 + 1 A.(-,-2)4,+)B.(-,-42,+) C.(-2,4)D.(-4,2) 8 8.设x,yR R,a1,b1,若ax=by=3,a+b=2,则的最大值为( ) 3 1 + 1 A.2B.C.1D. 3 2 1 2 9 9.若直线=1(a0,b0)过点(1,2),则 2a+b的最小值为 . + 1010
3、.若直线ax+by-1=0(a0,b0)过曲线y=1+sin x(00,y0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则的最小值 + 是 . 1515.如果a,b满足ab=a+b+3,那么ab的取值范围是 . 1616.某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单元:万元),当 年产量不足 80 千件时,C(x)= x2+10x(单位:万元).当年产量不少于 80 千件时,C(x)=51x+- 1 3 10 000 1 450(单位:万元).每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. (1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产
4、量x(单位:千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 导学号 21500549 三、创新应用组 1717.若正实数x,y满足x+y+=5,则x+y的最大值是( ) 1 + 1 A.2B.3 C.4D.5 1818.(2017 山东德州一模,理 8)圆:x2+y2+2ax+a2-9=0 和圆:x2+y2-4by-1+4b2=0 有三条公切线,若aR R,b R R,且ab0,则的最小值为( ) 4 2 + 1 2 A.1B.3 C.4D.5导学号 21500550 课时规范练 3333 基本不等式及其应用 1 1.B 00,即a,D 错误,故选 B.
5、+ 2 ( 2 2.C 正数x,y满足=1, 1 + 3 3x+4y=(3x+4y)=13+13+32=25,当且仅当x=2y=5 时等号成立. ( 1 + 3 ) 3 + 12 4 3x+4y的最小值是 25.故选 C. 3 3.B 由题意知ab=1,则m=b+ =2b,n=a+ =2a, 1 1 m+n=2(a+b)4=4,当且仅当a=b=1 时,等号成立. 4 4.D x-1,x+10.y=(x+1)+2,当且仅当x+1=,即x=0 时等号成立, ( + 1)2+ 1 + 1 1 + 1 1 + 1 即当x=0 时,该函数取得最小值 2.所以该函数图象最低点的坐标为(0,2). 5 5.
6、B 由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0 必过圆心(-2,1),所以a+b=1. 所以(a+b)=5+5+4=9,当且仅当,即 2a=b=时等号成立,故选 B. 1 + 4 =(1 + 4 ) + 4 = 4 2 3 6 6.C 设底面矩形的长和宽分别为a m,b m,则ab=4(m2).容器的总造价为 20ab+2(a+b)10=80+20(a+b)80+40=160(元)(当且仅当a=b=2 时等号成立).故选 C. 7 7.D x+2y=(x+2y)=2+28, ( 2 + 1 ) 4 + 当且仅当,即x=2y=4 时等号成立. 4 = 由x+2ym2+2m恒成立, 可知m2+2m
7、1,b1,所以ab=3,( + 2 ) 2 所以 lg(ab)lg 3,从而=1,当且仅当a=b=时等号成立. 1 + 1 lg3 lg3 3 9 9.8 直线=1 过点(1,2), + =1. 1 + 2 a0,b0,2a+b=(2a+b)=4+4+2=8. ( 1 + 2 ) ( + 4 ) 4 当且仅当b=2a时等号成立. 1010.3+2 由正弦函数的图象与性质可知,曲线y=1+sin x(00, + 2 2 + 乙的购买方式的平均单价较小.故答案为乙. 1212.证明 因为a,b均为正实数, 所以2, 1 2 + 1 2 1 2 1 2 = 2 当且仅当,即a=b时等号成立, 1 2
8、 = 1 2 又因为+ab2=2, 2 2 2 当且仅当=ab时等号成立, 2 所以+ab+ab2, 1 2 + 1 2 2 2 当且仅当即a=b=时等号成立. 1 2 = 1 2, 2 = , 4 2 1313.D 令f(y)=|y+4|-|y|, 则f(y)|y+4-y|=4,即f(y)max=4. 不等式|y+4|-|y|2x+对任意实数x,y都成立, 2 2x+f(y)max=4, 2 a-(2x)2+42x=-(2x-2)2+4 恒成立; 令g(x)=-(2x)2+42x, 则ag(x)max=4,实数a的最小值为 4. 1414.2+4 x0,y0,lg 2x+lg 8y=lg 2
9、,可得x+3y=1. 3 +42+4=2+4. + = ( + )( + 3) = 2+ 32+ 4 = + 3 3 3 当且仅当x=y,x+3y=1,即y=,x=时等号成立. 3 3 - 3 6 3- 1 2 的最小值是 2+4. + 3 1515.(-,1)(9,+) ab=a+b+3,a+b=ab-3,(a+b)2=(ab-3)2. (a+b)24ab, (ab-3)24ab, 即(ab)2-10ab+90,故ab1 或ab9. 1616.解 (1)因为每件商品售价为 0.05 万元,则x千件商品销售额为 0.051 000x万元,依题意得, 当 00,y0,xy, ( + )2 4 ,
10、即, 1 4 ( + )2 , + 4 + 1 + 1 4 + x+y+x+y+即x+y+5. 1 + 1 4 + . 4 + 设x+y=t,则t0,t+5,得到t2-5t+40,解得 1t4, 4 x+y的最大值是 4. 1818.A 由题意可得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+a)2+y2=9,x2+(y-2b)2=1, 圆心分别为(-a,0),(0,2b),半径分别为 3 和 1,故有a2+4b2=16, (a2+4b2)=(8+8)=1, 4 2 + 1 2 = 1 16( 4 2 + 1 2) 1 16(8 + 162 2 + 2 2) 1 16 当且仅当,即a2=8,b2=2 时,等号成立,故选 A. 162 2 = 2 2