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1、课时规范练 36 数学归纳法课时规范练 36 数学归纳法 一、基础巩固组 1 1.在用数学归纳法证明等式 1+2+3+2n=n(2n+1)时,当n=1 时的左边等于( ) A.1B.2C.3D.4 2 2.如果用数学归纳法证明:对于足够大的正整数n,总有 2nn3,那么验证不等式成立所取的第一个n 的最小值应该是( ) A.1B.9 C.10D.n10,且nN N* 3 3.用数学归纳法证明 1+(nN N*)成立,其初始值至少应取( ) 1 2 + 1 4 1 2 - 1 127 64 A.7B.8C.9D.10 4 4.某同学回答“用数学归纳法证明 13 24 推导n=k+1 时,不等式的
2、左边增加的式子是 . 8 8.由下列不等式:1,1+1,1+,1+2,你能得到一个怎样的 1 2 1 2 + 1 3 1 2 + 1 3 1 7 3 2 1 2 + 1 3 1 15 一般不等式?并加以证明. 导学号 21500741 9 9.平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,求证:这n条直线把平面分割成1 2 (n2+n+2)个区域. 二、综合提升组 1010.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)k+1 成立时,总能推出f(k+1)k+2 成立,则 下列命题总成立的是( ) A.若f(1) + 1 导学号 21500742 三、创新应用组 131
3、3.已知f(n)=1+(nN N*),经计算得f(4)2,f(8),f(16)3,f(32),则其一般结论 1 2 + 1 3 1 5 2 7 2 为 . 1414.(2017 山东济南模拟)已知函数f(x)=aln x+(aR R). 2 + 1 (1)当a=1 时,求f(x)在1,+)内的最小值; (2)若f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围; (3)求证:ln(n+1)+(nN N*). 1 3 + 1 5 + 1 7 1 2 + 1 课时规范练 36 数学归纳法 1 1.C 在用数学归纳法证明等式 1+2+3+2n=n(2n+1)时,当n=1 时的左边=1+2=3. 2 2.C 2
4、10=1 024103.故选 C. 3 3.B 左边=1+=2-, 1 2 + 1 4 1 2 - 1 = 1 - 1 2 1 - 1 2 1 2 - 1 代入验证可知n的最小值是 8.故选 B. 4 4.A 证明 2 (1)当n=1 时,由题设条件知不等式成立. (2)假设当n=k(kN N*)时不等式成立, 即 1+ 1 2 + 1 3 1 2- 1 2. 则当n=k+1 时,1+ 1 2 + 1 3 1 2- 1 + 1 2 1 2 + 1- 1 2 + 1 2 + 1 2+ 1 1 2 + 1- 1 2 + 1 2 + 1 + 1 2 + 1 + + 1 2 + 1 2个 = 2 +
5、2 2 + 1 = + 1 2 . 所以当n=k+1 时不等式成立. 根据(1)和(2)可知不等式对任何nN N*都成立. 9 9.证明 (1)当n=1 时,一条直线把平面分成两个区域,又(12+1+2)=2, 1 2 所以当n=1 时命题成立. (2)假设当n=k时,命题成立,即k条满足题意的直线把平面分割成了 (k2+k+2)个区域. 1 2 则当n=k+1 时,k+1 条直线中的k条直线把平面分成了 (k2+k+2)个区域,第k+1 条直线被这k 1 2 条直线分成k+1 段,每段把它们所在的区域分成了两块,因此增加了k+1 个区域,所以k+1 条直线把 平面分成了 (k2+k+2)+k
6、+1=(k+1)2+(k+1)+2个区域. 1 2 1 2 所以当n=k+1 时命题也成立. 由(1)(2)知,对一切的nN N*,此命题均成立. 1010.D 当f(k)k+1 成立时,总能推出f(k+1)k+2 成立,说明如果当k=n时,f(n)n+1 成立,那么 当k=n+1 时,f(n+1)n+2 也成立,所以如果当k=4 时,f(4)5 成立,那么当k4 时,f(k)k+1 也 成立. 1111.C 由a1=,Sn=n(2n-1)an,得S2=2(22-1)a2,即a1+a2=6a2. 1 3 解得a2=,S3=3(23-1)a3,即+a3=15a3. 1 15 = 1 3 5 1
7、3 + 1 15 解得a3= 1 35 = 1 5 7. 同理可得a4=,故猜想an的表达式为 1 63 = 1 7 9 1 (2 - 1)(2 + 1). 1212.证明 (1)当n=1 时,左式=,右式=,左式右式,所以结论成立. 3 2 2 (2)假设当n=k(k1,kN N*)时结论成立, 即,则当n=k+1 时, 2 + 1 2 4 + 1 4 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 4 + 1 4 2 + 1 2 2 + 3 2( + 1) + 1 2 + 3 2( + 1) = 2 + 3 2 + 1. 要证当n=k+1 时结论成立,只需证, 2 + 3 2 + 1 + 2 即证
8、, 2 + 3 2 ( + 1)( + 2) 由基本不等式可得成立,故 2 + 3 2 = ( + 1) + ( + 2) 2 ( + 1)( + 2) 成立. 2 + 3 2 + 1 + 2 所以当n=k+1 时,结论成立. 由(1)(2)可知nN N*时,不等式成立. 2 + 1 2 4 + 1 4 2 + 1 2 + 1 1313.f(2n)(n2,nN N*) 因为f(22),f(23),f(24),f(25),所以当n2,nN N*时,有 + 2 2 4 2 5 2 6 2 7 2 f(2n)故填f(2n)(n2,nN N*). + 2 2 . + 2 2 1414.(1)解 当a=
9、1 时,f(x)=ln x+,定义域为(0,+). 2 + 1 因为f(x)=0, 1 2 ( + 1)2 = 2+ 1 ( + 1)2 所以f(x)在(0,+)内是增函数,所以f(x)在1,+)内的最小值为f(1)=1. (2)解 f(x)=,因为f(x)存在单调递减区间,所以f(x)0 时,h(x)=ax2+2(a-1)x+a是开口向上的抛物线,即方程ax2+2(a-1)x+a=0 有正根. 因为x1x2=10,所以方程ax2+2(a-1)x+a=0 有两正根, 所以解得 0 0, 1+ 2 0, 1 2. 综合知,a的取值范围是(- ,1 2). (3)证明 当n=1 时,ln(n+1)
10、=ln 2. 因为 3ln 2=ln 81,所以 ln 2,即当n=1 时,不等式成立. 1 3 假设当n=k时,ln(k+1)+成立. 1 3 + 1 5 1 2 + 1 则当n=k+1 时,ln(n+1)=ln(k+2)=ln(k+1)+ln+ln + 2 + 1 1 3 + 1 5 1 2 + 1 + 2 + 1. 根据(1)的结论可知,当x1 时,ln x+1,即 ln x 2 + 1 - 1 + 1 . 令x=,所以 ln,则有 ln(k+2)+,即当n=k+1 时, + 2 + 1 + 2 + 1 1 2 + 3 1 3 + 1 5 1 2 + 1 + 1 2 + 3 不等式也成立.由可知不等式成立.