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1、课时规范练 38 空间几何体的表面积与体积课时规范练 38 空间几何体的表面积与体积 一、基础巩固组 1 1.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A.12+4B.18+8C.28D.20+8 222 2 2.(2017 安徽黄山二模,理 6)过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分,所得几何体的三视图如图所示,则 原圆锥的体积为( ) A.1B.C.D. 2 3 4 3 8 3 3 3.已知三棱柱的三个侧面均垂直于底面,底面为正三角形,且侧棱长与底面边长之比为 21,顶点都 在一个球面上,若该球的表面积为,则此三棱柱的侧面积为( ) 16 3 A.B. 3 3 2 C.8D.6 4
2、 4.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为( ) A.B. 1 3 + 2 3 1 3 + 2 3 C.D.1+ 1 3 + 2 6 2 6 5 5.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( ) A.2B.C.D.导学号 21500743 2 3 4 3 5 3 6 6.(2017 宁夏银川二模,理 9)点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=,ABC=90,若四面体 6 ABCD体积的最大值为 3,则这个球的表面积为( ) A.2B.4C.8D.16 7 7. 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为 1 的半球面上,AB=AC,侧
3、面BCC1B1是半球底面圆 的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为( ) A.B.1C.D.导学号 21500744 2 2 23 8 8. 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为 2 的菱形,BAD=60,侧棱PA底面ABCD,PA=2,E为AB 的中点,则四面体PBCE的体积为 . 9 9.(2017 河北武邑中学一模,理 13)已知一个圆锥的母线长为 2,侧面展开是半圆,则该圆锥的体积 为 . 1010.(2017 天津河东区一模,理 11)已知一个四棱锥的三视图如图所示,则此四棱锥的体积 为 . 1111.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个
4、边长为 1 的正三角形 组成,则该多面体的体积是 . 1212.已知H是球O的直径AB上一点,AHHB=12,AB平面,H为垂足,截球O所得截面的面积 为 ,则球O的表面积为 . 二、综合提升组 1313.如图是某个几何体的三视图,其中正视图为正方形,俯视图是腰长为 2 的等腰直角三角形,则该 几何体外接球的直径为( ) A.2B.2 2 C.D.2 33 1414. 一个四面体的顶点都在球面上,它的正视图、侧视图、俯视图都是右图.图中圆内有一个以圆心为 中心边长为 1 的正方形.则这个四面体的外接球的表面积是( ) A.B.3C.4D.6导学号 21500745 1515.已知正四棱锥O-A
5、BCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积 3 2 2 3 为 . 1616.(2017 陕西咸阳二模,理 16)已知一个三棱锥的所有棱长均为,则该三棱锥的内切球的体积 2 为 . 三、创新应用组 1717.(2017 石家庄二中模拟,理 15)半径为 1 的球O内有一个内接正三棱柱,当正三棱柱的侧面积最 大时,球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是 . 1818.(2017 全国,理 16)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中 心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线 剪
6、开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的 边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为 . 导学号 21500746 课时规范练 3838 空间几何体的表面积与体积 1 1.D 由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱,如图. 则该几何体的表面积为S=222+422+24=20+8,故选 D. 1 2 22 2 2.D 由三视图可得底面圆的半径为=2,圆锥的高为=2, 3 + 15 - 1 原圆锥的体积为222=,故选 D. 1 3 8 3 3 3.D 如图,根据球的表面积可得球的半径为r=,设三棱柱的底面边长
7、为x,则=x2+, 4 3 ( 4 3) 2 ( 3 3 ) 2 解得x=1,故该三棱柱的侧面积为 312=6. 4 4.C 由三视图可知,上面是半径为的半球,体积V1=,下面是底面积为 1, 2 2 1 2 4 3 ( 2 2 ) 3 = 2 6 高为 1 的四棱锥,体积V2=11=,所以该几何体的体积V=V1+V2=故选 C. 1 3 1 3 1 3 + 2 6 . 5 5.D 由已知中的三视图,可知该几何体是一个长方体,切去了一个边长为 1,高也是 1 的正四棱锥 (如图), 长方体ABCD-ABCD切去正四棱锥S-ABCD. 长方体的体积为V长方体=112=2,正四棱锥的体积为V正四棱
8、锥=111=, 1 3 1 3 故该几何体的体积V=2-故选 D. 1 3 = 5 3. 6 6.D 由题意,知SABC=3,设ABC所在球的小圆的圆心为Q,则Q为AC的中点,当DQ与面ABC垂直 时,四面体ABCD的最大体积为SABCDQ=3, 1 3 DQ=3, 如图,设球心为O,半径为R,则在 RtAQO中, OA2=AQ2+OQ2,即R2=()2+(3-R)2,R=2, 3 则这个球的表面积为S=422=16.故选 D. 7 7. C 由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为ABC所在圆面的直径,所以BAC=90,ABC 的外接圆圆心N是BC的中点,同理A1B1C1的外心M是
9、B1C1的中点. 设正方形BCC1B1的边长为x, 在 RtOMC1中,OM=,MC1=,OC1=R=1(R为球的半径),所以=1,即x=,则AB=AC=1. 2 2 ( 2) 2 +( 2) 2 2 所以侧面ABB1A1的面积S=1= 22. 8 8 显然PA面BCE,底面BCE的面积为12sin 120=,所以VP-BCE=2. 3 3 1 2 3 2 1 3 3 2 = 3 3 . 9 9 由题意知圆锥的底面周长为 2,设圆锥的底面半径是r,则得到 2r=2,解得r=1,. 3 3 圆锥的高为h=22- 12= 3. 圆锥的体积为V=r2h= 1 3 3 3 . 1010 如图所示,该几
10、何体为如下四棱锥P-ABCD,其中PA底面ABCD,.5 3 底面四边形由直角梯形ABED,RtDCE组成,ABDE,ABBC,AB=1,DE=2,BE=EC=1,PA=2. S底面ABCD=1+21= V=2= 1 + 2 2 1 2 5 2. 1 3 5 2 5 3. 1111 易知该几何体是正四棱锥.连接BD,设正四棱锥P-ABCD,由PD=PB=1,BD=,得PDPB.设. 2 6 2 底面中心O,则四棱锥的高PO=,则其体积是V= Sh=12 2 2 1 3 1 3 2 2 = 2 6 . 1212 如图,设球O的半径为R,则AH=,OH=.9 2 2 3 3. 又 EH2=,EH=
11、1. 在 RtOEH中,R2=+12,R2= ( 3) 2 9 8. S球=4R2=9 2 . 1313.D 由题意可知三视图复原的几何体如图,四棱锥S-BCDE是正方体的一部分,正方体的棱长为 2, 所以几何体外接球为正方体外接球,该几何体外接球的直径为 2 3. 1414.B 由三视图可知,该四面体是正四面体. 此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为 3. 此四面体的外接球的表面积为 4=3,故选 B.( 3 2 ) 2 1515.24 如图所示,在正四棱锥O-ABCD中,VO-ABCD=S正方形ABCDOO1=()2OO1=, 1 3 1 3 3 3 2 2 OO1=,AO1=, 3
12、 2 2 6 2 在 RtOO1A中,OA=,即R=,21+ 21= ( 3 2 2 ) 2 +( 6 2 ) 2 = 66 S球=4R2=24. 1616 如图,O为正四面体ABCD的内切球的球心,正四面体的棱长为,所以OE为内切球的半. 3 54 2 径,设OA=OB=R, 在等边三角形BCD中,BE=,AE= 3 3 2= 6 3 2 - 6 9 = 2 3 3 . 由OB2=OE2+BE2,即有R2=, ( 2 3 3 - ) 2 + 2 3 解得R=OE=AE-R=,则其内切球的半径是,故内切球的体积为 3 2 . 3 6 3 6 4 3 ( 3 6 ) 3 = 3 54 . 171
13、7.4-3 如图所示,设球心为O点,上下底面的中心分别为O1,O2,设正三棱柱的底面边长与高 3 分别为x,h,则O2A=x,在 RtOAO2中,x2=1,化为h2=4- x2, 3 3 2 4 + 1 3 4 3 S侧=3xh,=9x2h2=12x2(3-x2)12=27,当且仅当x=时取等号,S侧=3, 2 侧 ( 2+ 3 - 2 2 ) 2 6 2 3 球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是 4-3,故答案为 4-3 33. 1818.4 如图所示,连接OD,交BC于点G.由题意知ODBC,OG=BC. 15 3 6 设OG=x,则BC=2x,DG=5-x, 3 三棱锥的高h=2- 2=25 - 10 + 2- 2= 25 - 10. 因为SABC=2x3x=3x2,所以三棱锥的体积 1 2 33 V= SABCh=x2 1 3 3 25 - 10 = 3254- 105. 令f(x)=25x4-10x5,x,则f(x)=100x3-50x4.令f(x)=0,可得x=2,( 0, 5 2) 则f(x)在(0,2)单调递增,在单调递减, ( 2, 5 2) 所以f(x)max=f(2)=80. 所以V=4,所以三棱锥体积的最大值为 4 3801515.