《2019届高三数学（理）二轮专题复习文档：专题五解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高三数学（理）二轮专题复习文档：专题五解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 Word版含解析.pdf（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线讲 椭圆、双曲线、抛物线 高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或 解答题的一问的形式命题；2 直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是 有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归 与分类讨论思想方法的考查. 真 题 感 悟 1.(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程 x2 a2 y2 b2 3 为( ) A.yx B.yx23 C.yx D.yx 2 2 3 2 解析 法一 由题意知，e ，所以 ca，所以 ba，即 c a 33c2a22 b a ，所以该双曲线的渐
2、近线方程为 y xx.2 b a 2 法二 由 e ， 得 ， 所以该双曲线的渐近线方程为 y x c a 1(b a) 2 3 b a 2 b a x.2 答案 A 2.(2018全国卷)设抛物线 C： y24x 的焦点为 F，过点(2，0)且斜率为 的直 2 3 线与 C 交于 M，N 两点，则( )FM FN A.5 B.6 C.7 D.8 解析 过点(2， 0)且斜率为 的直线的方程为 y (x2)， 由得 x2 2 3 2 3 y2 3（x2）， y24x， ) 5x40.设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， 则 y10， y20， 根据根与系数的关系， 得 x1x2 5，
3、 x1x24.易知F(1， 0)， 所以(x11， y1)，(x21， y2)， 所以(x1FM FN FM FN 1)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188.x1x2 答案 D 3.(2018全国卷)已知 F1， F2是椭圆 C：1(ab0)的左、 右焦点， A 是 C x2 a2 y2 b2 的左顶点， 点 P 在过 A 且斜率为的直线上， PF1F2为等腰三角形， F1F2P 3 6 120，则 C 的离心率为( ) A. B. C. D. 2 3 1 2 1 3 1 4 解析 由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上， 如图所示， 设|F1F2| 2c，PF1F2为等腰三角形，且
4、F1F2P120， |PF2|F1F2|2c. |OF2|c， 过P作PE垂直x轴， 则PF2E60， 所以F2E c， PEc， 即点 P(2c，c).点 P 在过点 A， 且斜率为的直线上， 33 3 6 3c 2ca ，解得 ，e . 3 6 c a 1 4 1 4 答案 D 4.(2018全国卷)设椭圆C： y21的右焦点为F， 过F的直线l与C交于A， B x2 2 两点，点 M 的坐标为(2，0). (1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； (2)设 O 为坐标原点，证明：OMAOMB. (1)解 由已知得 F(1，0)，l 的方程为 x1. 把 x1 代入椭圆方程
5、y21，可得点 A 的坐标为或. x2 2(1， 2 2) (1， 2 2) 又 M(2，0)，所以 AM 的方程为 yx或 yx. 2 2 2 2 2 2 (2)证明 当 l 与 x 轴重合时，OMAOMB0. 当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线， 所以OMAOMB. 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时， 设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x10， b0)的渐近线方程为 y x； 焦点坐标 F1(c， 0)， F2(c， x2 a2 y2 b2 b a 0). 双曲线1(a0， b0)的渐近线方程为 y x， 焦点坐标 F1
6、(0， c)， F2(0， y2 a2 x2 b2 a b c). (3)抛物线的焦点坐标与准线方程 抛物线 y22px(p0)的焦点 F，准线方程 x . ( p 2，0) p 2 抛物线 x22py(p0)的焦点 F，准线方程 y . (0， p 2) p 2 4.弦长问题 (1)直线与圆锥曲线相交的弦长 设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为 k，直线与圆锥曲 线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|x1x2|.1k21k2 （x 1x2）24x1x2 (2)过抛物线焦点的弦长 抛物线 y22px(p0)过焦点 F 的弦 AB， 若 A(x1， y1)， B
7、(x2， y2)， 则 x1x2， y1y2 p2 4 p2，弦长|AB|x1x2p. 热点一 圆锥曲线的定义及标准方程 【例 1】 (1)(2018天津卷)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为 2，过右 x2 a2 y2 b2 焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点.设 A，B 到双曲线的同一条渐 近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1d26，则双曲线的方程为( ) A. 1 B. 1 x2 4 y2 12 x2 12 y2 4 C. 1 D. 1 x2 3 y2 9 x2 9 y2 3 (2)(2018烟台二模)已知抛物线 C：x24y 的焦点为 F，M 是抛物线 C 上一
8、点， 若 FM 的延长线交 x 轴的正半轴于点 N， 交抛物线 C 的准线 l 于点 T， 且，FM MN 则|NT|_. 解析 (1)由 d1d26，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为 3，所以 b3.因为 双曲线1(a0， b0)的离心率为 2， 所以 2， 所以4， 所以 x2 a2 y2 b2 c a a2b2 a2 a29 a2 4，解得 a23，所以双曲线的方程为 1. x2 3 y2 9 (2)由 x24y，知 F(0，1)，准线 l：y1. 设点 M(x0，y0)，且 x00，y00. 由， 知点 M 是线段 FN 的中点， N 是 FT 中点，FM MN 利用抛物线定义，|MF
9、|MM|y01，且|FF|2|NN|2.又 2(y01)|FF| |NN|3，知 y0 .|MF| 1 ，从而|NT|FN|2|MF|3. 1 2 1 2 3 2 答案 (1)C (2)3 探究提高 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距 离处理.如本例(2)中充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快. 2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确 定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的 a2，b2，p 的值，最 后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程. 【训练 1】 (1)(2017全国卷)已知双曲线 C：1(a0
10、，b0)的一条渐近 x2 a2 y2 b2 线方程为 yx，且与椭圆 1 有公共焦点，则 C 的方程为( ) 5 2 x2 12 y2 3 A. 1 B. 1 x2 8 y2 10 x2 4 y2 5 C. 1 D. 1 x2 5 y2 4 x2 4 y2 3 (2)(2018衡水中学调研)P 为椭圆 C： y21 上一动点，F1，F2分别为左、右 x2 2 焦点， 延长 F1P 至点 Q， 使得|PQ|PF2|， 记动点 Q 的轨迹为 ， 设点 B 为椭圆 C 短轴上一顶点，直线 BF2与 交于 M，N 两点，则|MN|_. 解析 (1)由题设知 ， b a 5 2 又由椭圆 1 与双曲线有
11、公共焦点， x2 12 y2 3 易知 a2b2c29， 由解得 a2，b，则双曲线 C 的方程为 1.5 x2 4 y2 5 (2)|PF1|PF2|2a2，且|PQ|PF2|，2 |F1Q|F1P|PF2|2 . 2 为以 F1(1，0)为圆心，2为半径的圆.2 |BF1|BF2|，|F1F2|2，BF1BF2，2 故|MN|222.|F1M|2|BF1|2（2 2）2（ 2）26 答案 (1)B (2)2 6 热点二 圆锥曲线的几何性质 【例 2】 (1)(2018全国卷)已知双曲线 C：1(a0， b0)的离心率为， x2 a2 y2 b2 2 则点(4，0)到 C 的渐近线的距离为(
12、 ) A. B.2 C. D.22 3 2 2 2 (2)(2018北京卷改编)已知椭圆 M：1(ab0)，双曲线 N：1.若 x2 a2 y2 b2 x2 m2 y2 n2 双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六 边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为_. 解析 (1)法一 由离心率 e ，得 ca，又 b2c2a2，得 ba，所以 c a 22 双曲线 C 的渐近线方程为 yx.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到 C 的渐近 线的距离为2. 4 11 2 法二 离心率 e的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是 yx，点(4，0)2 到 C 的渐近线的
13、距离为2. 4 11 2 (2)设椭圆的右焦点为 F(c，0)，双曲线 N 的渐近线与 椭圆 M 在第一象限内的交点为 A， 由题意可知 A， ( c 2， 3c 2) 由点 A 在椭圆 M 上得，1， b2c23a2c2 c2 4a2 3c2 4b2 4a2b2，b2a2c2，(a2c2)c23a2c24a2(a2c2)， 则 4a48a2c2c40， e48e2 40，e242(舍)，e242.由 0b0)的左、右焦点分别为 x2 a2 y2 b2 F1， F2， 点 E(0， t)(00)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长 交 C 于点 H. (1)求； |OH
14、| |ON| (2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由. 解 (1)如图，由已知得 M(0，t)，P， ( t2 2p ，t ) 又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 N， ( t2 p ，t ) 故直线 ON 的方程为 y x， p t 将其代入 y22px 整理得 px22t2x0， 解得 x10，x2，因此 H. 2t2 p ( 2t2 p ，2t) 所以 N 为 OH 的中点，即2. |OH| |ON| (2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点，理由如下： 直线 MH 的方程为 yt x，即 x (yt). p 2t 2t p 代入 y22px
15、 得 y24ty4t20， 解得 y1y22t， 即直线 MH 与 C 只有一个公共点， 所以除 H 以外，直线 MH 与 C 没有其它公共点. 探究提高 1.本题第(1)问求解的关键是求点 N，H 的坐标.而第(2)问的关键是将 直线 MH 的方程与曲线 C 联立，根据方程组的解的个数进行判断. 2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也 可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定， 需注意利用判别式的前提是二次 项系数不为 0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、 整体代换的技巧. 【训练3】 (2018潍坊三模)已知M为圆O： x2y21上一动 点，过
16、点M作x轴，y 轴的垂线，垂足分别为 A， B， 连接 BA 延长 至点 P，使得 |PA|2， 记点 P 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程； (2)直线 l： ykxm 与圆 O 相切，且与曲线 C 交于 D，E 两点，直线 l1平行于 l 且与曲线 C 相切于点 Q(O，Q 位于 l 两侧)， ，求 k 的值. S ODE S QDE 2 3 解 (1)设 P(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，则 M(x0，y0)且 x y 1， 2 02 0 由题意知 OAMB 为矩形，|AB|OM|1， 2，即(xx0，y)2(x0，y0)，AP BA x0 ，y0，则 1， x
17、3 y 2 x2 9 y2 4 故曲线 C 的方程为 1. x2 9 y2 4 (2)设 l1：ykxn，l 与圆 O 相切， 圆心 O 到 l 的距离 d11，得 m2k21， |m| k21 l1与 l 距离 d2， |mn| k21 ， S ODE S QDE 1 2|DE|d 1 1 2|DE|d 2 d1 d2 |m| |mn| 2 3 m2n 或 m n， 2 5 又 O，Q 位于 l 两侧，m n， 2 5 联立消去 y 整理得 x2 9 y 2 4 1， ykxn，) (9k24)x218knx9n2360， 由 0，得 n29k24， 由得 k. 3 11 11 考法 2 有
18、关弦的中点、弦长问题 【例32】 (2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C： 1交于A， B x2 4 y2 3 两点，线段 AB 的中点为 M(1，m)(m0). (1)证明：k0)在椭圆 1 内， x2 4 y2 3 0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相 交. 【训练 4】 (2018天津卷)设椭圆1(ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B， x2 a2 y2 b2 已知椭圆的离心率为，点 A 的坐标为(b，0)，且|FB|AB|6. 5 3 2 (1)求椭圆的方程； (2)设直线 l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若sin
19、AOQ(O 为原点)，求 k 的值. |AQ| |PQ| 5 2 4 解 (1)设椭圆的焦距为 2c，由已知有 ， c2 a2 5 9 又由 a2b2c2，可得 2a3b. 由已知可得，|FB|a，|AB|b，2 由|FB|AB|6，2 可得 ab6，从而 a3，b2. 所以，椭圆的方程为 1. x2 9 y2 4 (2)设点 P 的坐标为(x1，y1)，点 Q 的坐标为(x2，y2). 由已知有 y1y20， 故|PQ|sinAOQy1y2. 又因为|AQ|，而OAB ， y2 sinOAB 4 故|AQ|y2.2 由sinAOQ，可得 5y19y2. |AQ| |PQ| 5 2 4 由方程
20、组消去 x，可得 y1. ykx， x2 9 y 2 4 1，) 6k 9k24 易知直线 AB 的方程为 xy20， 由方程组消去 x，可得 y2. ykx， xy20，) 2k k1 代入 5y19y2，可得 5(k1)3，9k24 将等式两边平方，整理得 56k250k110， 解得 k 或 k. 1 2 11 28 所以，k 的值为 或. 1 2 11 28 1.椭圆、 双曲线的方程形式上可统一为Ax2By21， 其中A， B是不等的常数， A B0时， 表示焦点在y轴上的椭圆 ； BA0时， 表示焦点在x轴上的椭圆 ； AB0 时表示双曲线. 2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦
21、问题，恰当选用定义解题，会效果明 显，定义中的定值是标准方程的基础. 3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出 a，c，计算 e ；法二： c a 根据已知条件确定 a，b，c 的等量关系，然后把 b 用 a，c 代换，求 . c a 4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交 都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式 推导. 5.求中点弦的直线方程的常用方法 (1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，分别代入圆锥曲线方程， 两式作差，式中含有 x1x2，y1y2，三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中 y
22、1y2 x1x2 点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2) 根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数 的关系求解. 一、选择题 1.(2018合肥调研)已知双曲线 C：1(a0， b0)的一条渐近线与直线 2x y2 a2 x2 b2 y10 垂直，则双曲线 C 的离心率为( ) A.2 B.C. D.235 解析 依题意，21，b2a.则 e215，e. ( a b) ( b a) 2 5 答案 D 2.(2018南昌质检)已知抛物线 C：x24y，过抛物线 C 上两点 A，B 分别作抛物 线的两条切线 PA，PB，P 为两切线的
23、交点，O 为坐标原点，若0，则直PA PB 线 OA 与 OB 的斜率之积为( ) A. B.3 C. D.4 1 4 1 8 解析 设 A， B， 由 x24y， 得 y .所以 kAP， kBP， 由 (x A，x 4) (x B，x 4) x 2 xA 2 xB 2 PA PB 0，得 PAPB.1，则 xAxB4，又 kOAkOB . xA 2 xB 2 x 4xA x 4xB xAxB 16 1 4 答案 A 3.(2017全国卷)已知 F 是双曲线 C： x2 1 的右焦点， P 是 C 上一点， 且 PF y2 3 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是(1，3)，则APF 的面积为(
24、 ) A. B. C. D. 1 3 1 2 2 3 3 2 解析 由 c2a2b24 得 c2，所以 F(2，0)， 将 x2 代入 x2 1，得 y3，所以|PF|3. y2 3 又 A 的坐标是(1，3)， 故APF 的面积为 3(21) . 1 2 3 2 答案 D 4.已知椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原点，A x2 a2 y2 b2 为椭圆上一点，F1AF2 ，连接 AF2交 y 轴于 M 点，若 3|OM|OF2|，则该椭 2 圆的离心率为( ) A. B. C. D. 1 3 3 3 5 8 10 4 解析 设|AF1|m，|AF2|n. 如图
25、所示，由题意可得 RtF1AF2RtMOF2. ，则 n3m.又|AF1|AF2|mn2a， |AF1| |AF2| |OM| |OF2| 1 3 m ，n a. a 2 3 2 在 RtF1AF2中，m2n24c2，即a24c2， 10 4 e2，故 e. c2 a2 10 16 10 4 答案 D 5.(2018石家庄调研)已知 F1， F2分别为双曲线1(a0， b0)的左、 右焦点， x2 a2 y2 b2 P 为双曲线上一点，PF2与 x 轴垂直，PF1F230，且虚轴长为 2，则双曲2 线的标准方程为( ) A. 1 B. 1 x2 4 y2 2 x2 3 y2 2 C. 1 D.
26、x2 1 x2 4 y2 8 y2 2 解析 如图，不妨设点 P(x0，y0)在第一象限，则 PF2x 轴， 在 RtPF1F2中，PF1F230，|F1F2|2c， 则|PF2|，|PF1|， 2 3c 3 4 3c 3 又因为|PF1|PF2|2a，即 ca. 2 3c 3 3 又 2b2，知 b，22 且 c2a22，从而得 a21，c23. 故双曲线的标准方程为 x2 1. y2 2 答案 D 二、填空题 6.(2018北京卷)已知直线 l 过点(1，0)且垂直于 x 轴.若 l 被抛物线 y24ax 截得 的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为_. 解析 由题意知， a0， 对于 y2
27、4ax， 当 x1 时， y2， 由于 l 被抛物线 y24axa 截得的线段长为 4，所以 44，所以 a1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0).a 答案 (1，0) 7.(2018江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中， 若双曲线1(a0， b0)的右焦 x2 a2 y2 b2 点 F(c，0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是_. 3 2 解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为 y x， b a 所以bc，所以 b2c2a2 c2，得 c2a， |bc| a2b2 3 2 3 4 所以双曲线的离心率 e 2. c a 答案 2 8.设抛物线 x24y 的焦点为 F，A 为抛物线上第一象限
28、内一点，满足|AF|2； 已 知 P 为抛物线准线上任一点，当|PA|PF|取得最小值时，PAF 的外接圆半径 为_. 解析 由 x24y，知 p2，焦点 F(0，1)，准线 y1. 依题意，设 A(x0，y0)(x00)， 由定义，得|AF|y0 ，则 y0211，AFy 轴. p 2 易知当 P(1，1)时，|PA|PF|最小，|PF|.12（11）25 由正弦定理，2R ， |PF| sin A 5 2 5 5 2 因此PAF 的外接圆半径 R . 5 4 答案 5 4 三、解答题 9.(2018全国卷)设抛物线 C： y24x 的焦点为 F， 过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与
29、 C 交于 A，B 两点，|AB|8. (1)求 l 的方程； (2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程. 解 (1)由题意得 F(1，0)，l 的方程为 yk(x1)(k0). 设 A(x1，y1)，B(x2，y2). 由得 k2x2(2k24)xk20. yk（x1）， y24x) 16k2160，故 x1x2. 2k24 k2 所以|AB|AF|BF|(x11)(x21). 4k24 k2 由题设知8，解得 k1(舍去)，k1. 4k24 k2 因此 l 的方程为 yx1. (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3， 2)， 所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3)， 即
30、 yx5. 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 y0x05， （x 01）2 （y 0x01）2 2 16.) 解得或 x03， y02) x011， y06.) 因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144. 10.(2017北京卷)已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(2，0)，B(2，0)，焦点在 x 轴上，离心率为. 3 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M，N，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E.求证：BDE 与BDN 的面积之比为 45. (1)解 设椭圆 C 的
31、方程为1(ab0). x2 a2 y2 b2 由题意得解得 c.所以 b2a2c21. a2， c a 3 2 ，) 3 所以椭圆 C 的方程为 y21. x2 4 (2)证明 设 M(m，n)，则 D(m，0)，N (m，n). 由题设知 m2，且 n0. 直线 AM 的斜率 kAM， n m2 故直线 DE 的斜率 kDE. m2 n 所以直线 DE 的方程为 y(xm). m2 n 直线 BN 的方程为 y(x2). n 2m 联立 ym2 n （xm）， y n 2m（x2）， ) 解得点 E 的纵坐标 yE. n（4m2） 4m2n2 由点 M 在椭圆 C 上，得 4m24n2， 所
32、以 yE n. 4 5 又 SBDE |BD|yE| |BD|n|， 1 2 2 5 SBDN |BD|n|. 1 2 所以BDE 与BDN 的面积之比为 45. 11.设 F1， F2分别是椭圆 C：1(ab0)的左、 右焦点， M 是椭圆 C 上一点， x2 a2 y2 b2 且 MF2与 x 轴垂直，直线 MF1在 y 轴上的截距为 ，且|MF2| |MF1|. 3 4 3 5 (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知直线 l：ykxt 与椭圆 C 交于 E、F 两点，且直线 l 与圆 7x27y212 相切，求的值(O 为坐标原点).OE OF 解 (1)设直线 MF1与 y 轴的交点为
33、 N，则|ON| . 3 4 MF2x 轴，在F1F2M 中，ON 綉 MF2， 1 2 则|MF2| . 3 2 又|MF2|MF1|2a，|MF2| |MF1|， 3 5 |MF2| a ，a2. 3 4 3 2 又|MF2|，b23. b2 a 椭圆 C 的标准方程为 1. x2 4 y2 3 (2)设 E(x1，y1)，F(x2，y2)， 联立消 y 得(34k2)x28ktx4t2120. ykxt， x2 4 y 2 3 1，) x1x2，x1x2， 8kt 34k2 4t212 34k2 (8kt)24(34k2)(4t212)0，得 t234k2，(*) 则x1x2y1y2x1x2(kx1t)(kx2t)OE OF (1k2)x1x2kt(x1x2)t2 （1k2）（4t212） 34k2 8k2t2 34k2 t2（34k2） 34k2 . 7t212（1k2） 34k2 又直线 l 与圆 7x27y212 相切， ，则 1k2t2满足(*)式， |t| 1k2 12 7 7 12 故0.OE OF 7t212 7 12t 2 34k2