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1、第第 2 讲 基本初等函数、函数与方程讲 基本初等函数、函数与方程 高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性 质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3. 能利用函数解决简单的实际问题. 真 题 感 悟 1.(2017全国卷)已知函数 f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则 a ( ) A. B. C. D.1 1 2 1 3 1 2 解析 f(x)(x1)2a(ex1e1x)1，令 tx1， 则 g(t)f(t1)t2a(etet)1. g(t)(t)2a(etet)1g(t)， 函数 g(t)为偶函数. f(x)有唯
2、一零点，g(t)也有唯一零点. 又 g(t)为偶函数，由偶函数的性质知 g(0)0， 2a10，解得 a . 1 2 答案 C 2.(2018天津卷)已知 alog2e， bln 2， clog， 则 a， b， c 的大小关系是( ) 1 2 1 3 A.abc B.bac C.cba D.cab 解析 cloglog23，alog2e，由 ylog2x 在(0，)上是增函数，知 ca1. 1 2 1 3 又 bln 2ab. 答案 D 3.(2018全国卷)已知函数 f(x)g(x)f(x)xa.若 g(x)存在 2 个 ex，x 0， ln x，x 0，) 零点，则 a 的取值范围是(
3、) A.1，0) B.0，) C.1，) D.1，) 解析 函数 g(x)f(x)xa 存在 2 个零点，即关于 x 的 方程 f(x)xa 有 2 个不同的实根， 即函数 f(x)的图象 与直线 yxa 有 2 个交点， 作出直线 yxa 与函 数 f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1， 解得 a 1. 答案 C 4.(2017江苏卷)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/ 次， 一年的总存储费用为 4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小， 则 x 的值是_. 解析 一年的总运费与总存储费用之和为 y64x4x2 600 x 3 600 x 2
4、40，当且仅当4x，即 x30 时，y 有最小值 240. 3 600 x 4x 3 600 x 答案 30 考 点 整 合 1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)amanamn； (2)(am)namn； (3)loga(MN)logaMlogaN； (4)logalogaMlogaN； M N (5)logaMnnlogaM； (6)alogaNN； (7)logaN(注：a，b0 且 a，b1，M0，N0). logbN logba 2.指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数 yax(a0， a1)与对数函数 ylogax(a0， a1)的图象和性质， 分 01 两种情况，当 a1
5、时，两函数在定义域内都为增函数，当 00，且 a1)的值域为y|y1，则函 数 yloga|x|的图象大致是( ) (2)(2018济南质检)已知 a(a1)0，若函数 f(x)log2(ax1)在(3，2)上为减 函数，且函数 g(x)在 R 上有最大值，则 a 的取值范围为( ) 4x，x 1 2， log|a|x，x 1 2) A. B. 2 2 ，1 2 (1， 1 2 C. D. 2 2 ，1 2) 2 2 ，0) (0， 1 2 解析 (1)由于 ya|x|的值域为y|y1， a1，则 ylogax 在(0，)上是增函数， 又函数 yloga|x|的图象关于 y 轴对称. 因此 y
6、loga|x|的图象应大致为选项 B. (2)f(x)log2(ax1)在(3，2)上为减函数， a ，a(a1)0， a 1 2) 上有最大值， 则当 x 时， log|a|x2， 且|a|， log|a|2， |a|2 ， 则|a| 1 2 1 2，1) 1 2 1 2 ，又 a ，a . 2 2 1 2 2 2 1 2 答案 (1)B (2) A 探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数 a 的影响，解决与指数、 对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数 a 的范围. 2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如求 f(x)ln(x23x2) 的单调区间，只考
7、虑 tx23x2 与函数 yln t 的单调性，忽视 t0 的限制条件. 【训练 1】 (1)函数 yln |x|x2的图象大致为( ) (2)(2018西安调研)设函数 f(x)则满足 ff(t)2f(t)的 t 的取值范围 3 4x 5 4，x 0 时，yln xx2，则 y 2x，当 x时，y 2x0，yln xx2单调递增，排除 C.A 项满足. 1 x(0， 2 2) 1 x (2)若 f(t)1，显然成立，则有或 t 0， 函数 f(x)若关于 x x22axa，x 0， x22ax2a，x 0.) 的方程 f(x)ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是_. 解析 当
8、x0时， 由x22axaax， 得ax2ax； 当x0时， 由x22ax2a ax，得 2ax2ax.令 g(x) 作出 ya(x0)，y x2ax，x 0， x2ax，x 0. ) 2a(x0)，函数 g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为，由图象可知， a2 4 a2 2 a2 4 若 f(x)ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a0)的交点个数问题：常见的错误是误认为 y2a，ya 是两条直线，忽视 x 的限制条件. 2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程 思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解. 【训练 3】 (2018湖北七校联考)已
9、知 f(x)是奇函数且是 R 上的单调函数，若函 数 yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数 的值是_. 解析 令 yf(2x21)f(x)0，则 f(2x21)f(x)f(x)，因为 f(x) 是 R 上的单调函数，所以 2x21x，只有一个实根，即 2x2x10 只 有一个实根，则 18(1)0，解得 . 7 8 答案 7 8 热点三 函数的实际应用 【例 3】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造 可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能 源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x) k
10、 3x5 (0x10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔 热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小？并求最小值. 解 (1)当 x0 时，C8，k40， C(x)(0x10)， 40 3x5 f(x)6x6x(0x10). 20 40 3x5 800 3x5 (2)由(1)得 f(x)2(3x5)10. 800 3x5 令 3x5t，t5，35， 则 y2t1021070(当且仅当 2t， 即 t20 时等号成立)， 800 t 2t800 t 800 t 此
11、时 x5，因此 f(x)的最小值为 70. 隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f(x)达到最小，最小值为 70 万元. 探究提高 解决函数实际应用题的两个关键点 (1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学 地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题. (2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰 当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际 问题获解. 【训练 4】 (2018大连质检)某海上油田 A 到海岸线(近似直线)的垂直距离为 10 海里，垂足为 B，海岸线上距离 B 处 100 海里有一原油厂 C，
12、现计划在 BC 之间 建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍， 要使从油田 A 处到原油厂 C 修建管道的费用最低，则中转站 M 到 B 处的距离应 为( ) A.5海里 B. 海里2 5 2 2 C.5 海里 D.10 海里 解析 设中转站 M 到 B 处的距离为 x 海里， 修造管道的费 用为 y，陆地上单位长度修建管道的费用为 a， 依题意， ya(3 100x)， 0x100，则 yaa.x2102 (3 1 2 2 x x21001)( 3x x21001) 令 y0， 得 3x， 解得 x. 当 x时，y 取得最小值.x2100 5 2 2 5 2
13、2 答案 B 1.指数函数与对数函数的图象和性质受底数 a(a0，且 a1)的取值影响，解题时 一定要注意讨论，并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约. 2.(1)忽略概念致误：函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与 x 轴交点的横坐 标. (2)零点存在性定理注意两点： 满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点. 3.利用函数的零点求参数范围的主要方法： (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. 4.构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法： (
14、1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解. (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法. (3)构建 f(x)x (a0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解. a x 一、选择题 1.(2017北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观 测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与最接近的是( ) M N (参考数据：lg 30.48) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 解析 M3361，N1080， M N 3361 1080 则 lglglg 3361lg1080361lg 38093.1
15、093. M N 3361 1080 M N 答案 D 2.(2018潍坊三模)已知 a， b， clog， 则 a， b， c 的大小关系是( ) ( 2 3) 2 3 ( 3 4) 2 3 3 4 2 3 A.a1.因此 2 3 2 3 3 4 3 4 2 3 cba. 答案 A 3.函数 f(x)ln xex(e 为自然对数的底数)的零点所在的区间是( ) A. B. C.(1，e) D.(e，) (0， 1 e) ( 1 e，1) 解析 函数 f(x)ln xex在(0， )上单调递增， 因此函数 f(x)最多只有一个零点. 当 x0时，f(x)；又 f ln e e 10， ( 1
16、e) 1 e 1 e 1 e 函数 f(x)ln xex(e 为自然对数的底数)的零点所在的区间是. (0， 1 e) 答案 A 4.(2018全国卷)设 alog0.20.3，blog20.3，则( ) A.ab0，b4. 答案 (1，3(4，) 7.将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙中， t min 后甲桶中剩余 的水量符合指数衰减曲线yaent.假设过5 min后甲桶和乙桶 的水量相等，若再过 m min 甲桶中的水只有 L，则 m 的值为_. a 4 解析 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， 函数 yf(t)aent满足 f(5)ae5n a， 1 2 可得 n ln ，f(t)a
17、， 1 5 1 2 ( 1 2) t 5 因此，当 k min 后甲桶中的水只有 L 时， a 4 f(k)a a，即 ， ( 1 2) k 5 1 4 ( 1 2) k 5 1 4 k10，由题可知 mk55. 答案 5 8.(2018广州模拟)已知函数 f(x)若方程 f(x)ax 有三个不同的 ln x，x 0， 2x1，x 0，) 实数根，则 a 的取值范围是_. 解析 在同一坐标系内，作函数 yf(x)与 yax 的图象， 当 yax 是 yln x 的切线时，设切点 P(x0，y0)，y0ln x0，a(ln x)|xx0 ，y0ax01ln x0，x0e， 故 a .故 yax
18、与 y 1 x0 1 e f(x)的图象有三个交点时，0 1， log2（5x），x 1.) (1)求方程 f(x)3f(2)的解集； (2)讨论函数 g(x)f(x)a(aR)的零点的个数. 解 (1)f(2)log331， 当 x1 时，由 f(x)3f(2)3 得 x127，即 x26. 当 x1 时，由 f(x)3 得 5x8，即 x3. 故方程 f(x)3f(2)的解集为3，26. (2)当 x1 时，f(x)log3(x1)递增，且 f(x)(log32，). 当 x1 时，f(x)log2(5x)递减，且 f(x)2，). 由 g(x)f(x)a0 得 f(x)a， 故当 a(，
19、log32时，g(x)的零点个数为 0； 当 a(log32，2)时，g(x)的零点个数为 1； 当 a2，)时，g(x)的零点个数为 2. 10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现， 该种鸟类的飞行速度 v(单位：m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为 vablog3(其 Q 10 中 a，b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量 为 90 个单位时，其飞行速度为 1 m/s. (1)求出 a，b 的值； (2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要多少个 单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静
20、止时，它的速度为 0 m/s，此时耗氧量为 30 个单位，故有 ablog30， 30 10 即 ab0； 当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s， 故有 ablog31，整理得 a2b1. 90 10 解方程组得 ab0， a2b1，) a1， b1.) (2)由(1)知，v1log3. Q 10 所以要使飞行速度不低于 2 m/s，则有 v2， 即1log32，即 log33，解得 Q270. Q 10 Q 10 所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要 270 个单位. 11.(2018江苏卷选编)记 f(x)，g(x)分别为函数 f(x)，g(x
21、)的导函数.若存在 x0R， 满足 f(x0)g(x0)且 f(x0)g(x0)，则称 x0为函数 f(x)与 g(x)的一个“S 点”. (1)证明：函数 f(x)x 与 g(x)x22x2 不存在“S 点”； (2)若函数 f(x)ax21 与 g(x)ln x 存在“S 点”，求实数 a 的值. (1)证明 函数 f(x)x，g(x)x22x2， 则 f(x)1，g(x)2x2. 由 f(x)g(x)且 f(x)g(x)，得 此方程组无解， xx22x2， 12x2，) 因此，f(x)与 g(x)不存在“S 点”. (2)解 函数 f(x)ax21，g(x)ln x， 则 f(x)2ax，g(x) . 1 x 设 x0为 f(x)与 g(x)的“S 点”， 由 f(x0)g(x0)且 f(x0)g(x0)，得 即 (*) ax1ln x0， 2ax0 1 x0， ) ax1ln x0， 2ax1，) 得 ln x0 ，即 x0e，则 a . 1 2 1 2 1 2(e1 2) 2 e 2 当 a 时，x0e满足方程组(*)， e 2 1 2 即 x0为 f(x)与 g(x)的“S 点”. 因此，a 的值为 . e 2