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1、第四类 概率问题重在“辨”第四类 概率问题重在“辨”辨析、辨型辨析、辨型 概率与统计问题的求解关键是辨别它的概率模型，只要模型一找到，问题便迎刃 而解.而概率与统计模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的 辨析思维过程，同时，还需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等 事件间的关系，注意放回和不放回试验的区别，合理划分复杂事件. 【例 4】 (2016全国卷)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的 投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数012345 保费0.85aa1.25a1.5a1. 75a2a 设该险种一续保人
2、一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数012345 概率0.300.150.200.200.100.05 (1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概 率. (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 解 (1)设 A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费” ，则事件 A 发生 当且仅当一年内出险次数大于 1， (辨析 1) 故 P(A)0.200.200.100.050.55. (辨型 1) (2)设 B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出 60%” ，则事件 B 发 生当且仅
3、当一年内出险次数大于 3， (辨析 2) 故 P(B)0.100.050.15. 又 P(AB)P(B)， 故 P(B|A). P（AB） P（A） P（B） P（A） 0.15 0.55 3 11 (辨型 2) 因此所求概率为. 3 11 (3)记续保人本年度的保费为 X，则 X 的分布列为 X0.85aa1.25a1.5a1.75a2a P 0.300.150.200.200.100.05 (辨型 3) E(X)0.85a0.30a0.151.25a0.201.5a0.201.75a0.102a0.05 1.23a. 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 1.23. 探究提高 1.
4、辨析(1)：判断事件 A 发生，在一年内出险次数为 2，3，4 或5. 辨型(1)：该问题为求随机事件的概率，利用互斥事件的概率加法公式求解. 辨析(2)：判断事件 B 发生，在一年内出险次数为 4 或5. 辨型(2)：该问题为条件概率，可利用公式求解. 2.求解此类问题的关键： (1)会判断，先判断事件的类型，再利用对立事件的概率公式、条件概率的公式 等求解概率； (2)会计算，要求随机变量 X 的期望，需先求出 X 的所有可能取值，然后求出随 机变量 X 取每个值时的概率，再利用随机变量的数学期望的定义进行计算. 【训练 4】 共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场 所
5、提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网” ，符合“低碳出行”的 理念， 已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管， 随机选取了 50 人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这 50 人根据其满意度评分值(百分制)按照50，60)，60，70)，90，100分成 5 组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所 示)的解决下列问题： 频率分布表 组别分组频数频率 第 1 组50，60)80.16 第 2 组60，70)a 第 3 组70，80)200.40 第 4 组80，90)0.08 第 5 组90，1002b 合计 频
6、率分布直方图 (1)求出 a，b，x 的值； (2)若在满意度评分值为80，100的人中随机抽取 2 人进行座谈，设所抽取的 2 人中来自第 5 组的人数记为，求的分布列和数学期望. 解 (1)由题意可知， ，解得 b0. 04； 8 2 0.16 b 样本容量 n50， 8 0.16 80，90)内的频数为 500.084， a508204216； 又60，70)内的频率为0.32，x0.032； 16 50 0.32 10 (2)由题意可知，第 4 组共有 4 人，第 5 组共有 2 人， 随机变量 的可能取值为 0，1，2， P(0) ，P(1)， C C 2 5 CC C 8 15 P(2) . C C 1 15 的分布列为： 012 P 2 5 8 15 1 15 E()0 12 . 2 5 8 15 1 15 2 3