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1、大题分层练(一)三角、数列、概率统计、立体几何(A 组)大题分层练(一)三角、数列、概率统计、立体几何(A 组) 1.在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos=,=3. 2 2 5 5 (1)求ABC 的面积. (2)若 c=1,求 a 的值. 【解析】 (1)cos A=2cos2-1=2-1=,又 A(0,),sin A= 2 ( 2 5 5 ) 2 3 5 1 - 2 =,而=|cos A=bc=3,所以 bc=5, 4 5 3 5 所以ABC 的面积为:bcsin A=5=2. 1 2 1 2 4 5 (2)由(1)知 bc=5,而 c=1,所以 b=5
2、, 所以 a=2.2+ 2 - 225 + 1 - 2 35 2.已知an是等差数列,bn是各项均为正数的等比数列,且 b1=a1=1,b3=a4, b1+b2+b3=a3+a4. (1)求数列an,bn的通项公式. (2)设 cn=anbn,求数列cn的前 n 项和 Tn. 【 解 析 】 (1)设 数 列 an的 公 差 为d,bn的 公 比 为q,依 题 意 得 解得 d=1,q=2, 1 + 3 = 2, 1 + + 2= 2 + 5, 所以 an=1+(n-1)=n,bn=12n-1=2n-1. (2)由(1)知 cn=anbn=n2n-1,则 Tn=120+221+322+n2n-
3、1 2Tn=121+222+(n-1)2n-1+n2n -得:-Tn=120+121+122+12n-1-n2n=-n2n=(1-n)2n-1. 1(1 - 2) 1 - 2 所以 Tn=(n-1)2n+1. 3.天然气是较为安全的燃气之一,它不含一氧化碳,也比空气轻,一旦泄露,立即会向上扩散, 不易积累形成爆炸性气体,安全性较高,其优点有:绿色环保; 经济实惠;安全可靠;改善生活. 某市政府为了节约居民天然气,计划在本市试行居民 天然气定额管理,即确定一个居民年用气量的标准,为了确定一个较为合理的标 准,必须先 了解全市居民日常用气量的分布情况,现采用抽样调查的方式,获得了 n位居民某年的用
4、气 量(单位:立方米),样本统计结果如图表. 分组频数频率 0,10)25 10,20)0.19 20,30)50 30,40)0.23 40,50)0.18 50,605 (1)分别求出 n,a,b 的值. (2)若从样本中年均用气量在50,60(单位:立方米)的 5 位居民中任选 2 人作进一步的调查 研究,求年均用气量最多的居民被选中的概率(5 位居民的年均用气量均不相等). 【解析】(1)用气量在20,30)内的频数是 50,频率是 0.02510=0.25,则 n= =200. 50 0.25 用气量在0,10)内的频率是=0.125,则 b=0.012 5. 25 200 0.12
5、5 10 用气量在50,60内的频率是=0.025,则 a=0.002 5. 5 200 0.025 10 (2)设 A,B,C,D,E 代表用气量从多到少的 5 位居民,从中任选 2 位 ,总的基本事件为 AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共 10 个;包含 A 的有 AB,AC,AD,AE 共 4 个,所以 P=. 4 10 2 5 4. 如图(1),五 边形 ABCDE 中,ED=EA,ABCD,CD=2AB,EDC=150.如图(2),将EAD 沿 AD 折到PAD 的位置,得到四棱锥 P-ABCD.点 M 为线段 PC 的中点,且 BM平面 PCD. (1)
6、求证:平面 PAD平面 PCD. (2)若直线 PC 与 AB 所成角的正切值为,设 AB=1,求四棱锥 P-ABCD 的体积. 1 2 【解析】(1)取 PD的中点 N,连接 AN,MN, 则 MNCD,MN=CD, 1 2 又因为 ABCD,AB=CD, 1 2 所以 MNAB,MN=AB, 则四边形 ABMN 为平行四边形,所以 ANBM, 又 BM平面 PCD, 所以 AN平面 PCD, 又因为 AN平面 PAD, 所以平面 PAD平面 PCD. (2)取 AD 的中点 O,连接 PO, 因为 AN平面 PCD, 所以 ANPD,ANCD. 由 ED=EA 即 PD=PA 及 N 为
7、PD 的中点,可得PAD 为等边三角形, 所以PDA=60,POAD, 又EDC=150,所以CDA=90,所以 CDAD, 所以 CD平面 PAD,CD平面 ABCD, 所以平面 PAD平面 ABCD. 所以 AD=平面 PAD平面 ABCD, PO平面 PAD,POAD, 所以 PO平面 ABCD, 所以 PO 是四棱锥 P-ABCD 的高. 因为 ABCD,所以PCD 为直线 PC 与 AB 所成的角, 由(1)可得PDC=90,所以 tanPCD=, 1 2 所以 CD=2PD, 由AB=1,可知 CD=2,PA=AD=AB=1, 则 VP-ABCD=POS四边形 ABCD=. 1 3 3 4