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1、大题分层练(三)三角、数列、概率统计、立体几何(C 组)大题分层练(三)三角、数列、概率统计、立体几何(C 组) 1.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且(2a-b)cos C=ccos B. (1)求角 C 的大小. (2)若 c=2,ABC 的面积为,求该三角形的周长.3 【解析】(1)在ABC 中,由正弦定理知=2R, 又因为(2a-b)cos C=ccos B, 所以 2sin Acos C=sin Bcos C+cos Bsin C, 即 2sin Acos C=sin A. 因为 00, 所以 cos C=. 1 2 又 0N 时,总有1 008, 所以存在
2、N1 008,使得当 nN 时,总有,所以 N 的最小值为 1 008. | - 1 2| 1 2 018 3.某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业,在一个开学季内,每售出 1 盒该产品 获利润30元,未售出的产品,每盒亏损10元.根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分 布直方图,如图所示.该同学为这个开学季购进了 160 盒该产品,以 x(单位:盒,100x200) 表示这个开学季内的市场需求量,y(单位:元)表示这个开学季内经销该产品的利润. (1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量 x 的平均数. (2)将 y 表示为 x 的函数. (3)根据直方图估计利润 y 不少于 4
3、 000 元的概率. 【解析】(1)由频率分布直方图得: 需求量为100,120)的频率=0.00520=0.1, 需求量为120,140)的频率=0.0120=0.2, 需求量为140,160)的频率=0.01520=0.3, 需求量为160,180)的频率=0.012 520=0.25, 需求量为180,200的频率=0.007 520=0.15. 则平均数=1100.1+1300.2+1500.3+1700.25+1900.15=153. (2)因为每售出 1 盒该产品获利润 30 元,未售出的产品,每盒亏损 10 元,所以当 100x160 时, y=30x-10(160-x)=40x
4、-1 600; 当 160x200 时,y=16030=4 800, 所以 y=40 - 1 600,100 160, 4 800,160 200, (3)因为利润不少于4 000元 ,所以40x-16004 000,解得x140.所以由(1)知利润不少于4 000 元的概率 P=1-0.3=0.7. 4.如图,PA平面 ABCD,矩形 ABCD 的边长 AB=1,BC=2,E 为 B C 的中点. (1)证明:PEDE. (2)如果异面直线 AE 与 PD 所成的角的大小为,求 PA 的长及点 A 到平面 PED 的距离. 3 【解析】(1)连接 AE,由 AB=BE=1,得 AE=,同理得
5、,DE=,AE2+DE2=4=AD2,22 由勾股定理得AED=90, DEAE, 因为 PA平面 ABCD,所以 PADE. 又因为 PAAE=A,所以 DE平面 PAE, 所以 PEDE. (2)取 PA 的中点 M,AD 的中点 N,连接 MC,NC,MN,AC. 所以 NCAE,MNPD, 所以MNC 的大小等于异面直线 PD 与 AE 所成的角或其补角的大小, 即MNC=或(或者由观察可知,MNC=,不需分类讨论). 2 3 3 2 3 设 PA=x,则 NC=,MN=,MC=.2 1 + 2 4 5 + 2 4 若MNC=,由 cosMNC=-,得 PA=2. 2 3 1 + 2 4 + 2 - 5 - 2 4 2 1 + 2 4 2 1 2 所以 VA-PDE=VP-DAE=2=. 1 3 1 2 22 2 3 在 RtPED 中,PE=,DE=,所以 SPED=.所以点 A 到平面 PED 的距62 1 2 263 离为=. 2 3 3 3 2 3 3 若MNC=,由 cosMNC=,显然不适合题意. 3 1 + 2 4 + 2 - 5 - 2 4 2 1 + 2 4 2 1 2 综上所述,PA=2,点 A 到平面 PED 的距离为. 2 3 3