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1、小题标准练(九)小题标准练(九) (40 分钟 80 分)(40 分钟 80 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.设复数=a+bi(a,bR,i 为虚数单位),则 a+b=( ) - 2 1 + A.1B.2C.-1D.-2 【解析】选 A.=, - 2 1 + ( - 2)(1 - ) (1 + )(1 - ) - 1 + 3 2 故 a=-,b=,所以 a+b=1. 1 2 3 2 2.若集合 A=x|2x1,集合 B=x|ln x0,则“xA”是“xB”的 ( ) A.充分不必要条件B.必要不充
2、分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】 选 B. 集合 A=x|2x1=x|x0,集合 B=x|ln x0=x|x1,则 BA,即 “xA” 是 “x B”的必要不充分条件. 3.设 a=log23,b=,c=,则( ) 2 3 2 3 - 4 3 A.ba=log231,b=2,c=0,函数 y=sin x+-1 的图象向左平移个单位后与原图象重合,则 的最小 3 2 3 值是( ) A.B.C.D.3 2 3 4 3 3 2 【解析】选 D.因为图象向左平移个单位后与原图象重合,所以是一个周期的整数倍. 2 3 2 3 所以=T,3,所以最小是 3. 2 2 3 8.设双曲
3、线-=1(a0,b0)的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,线段BF与双曲线的一 2 2 2 2 条渐近线交于点 A,若=2,则双曲线的离心率为 ( ) A.6B.4C.3D.2 【解析】选 D.设点 F(c,0),B(0,b),由=2,得-=2(-),即 =(+2),所以点 A,因为点 A 在渐近线 y=x 上,则=, 1 3 ( 3, 2 3 ) 2 3 3 即 e=2. 9.已知 a a 与 b b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a a+b b 与 ka a-b b 垂直,则 k=( ) A.1 B. C.2 D.32 【解析】选 A.因为 a 与 b 是不共线的单位向量,所
4、以|a a|=|b b|=1.又 ka a-b b 与 a a+b b 垂直,所以 (a a+b b)(ka a-b b)=0,即 ka a2+ka ab b-a ab b-b b2=0.所以 k-1+ka ab b-a ab b=0,即 k-1+kcos -cos =0(为a与b的夹角).所以(k-1)(1+cos )=0,又a a与b b不共线,所以cos -1,所以k=1. 10.设 x,y 满足约束条件则 z=|x-3y|的最大值为 ( ) 0, - + 1 0, + - 3 0, A.1B.3C.5D.6 【解析】选 C.方法一:作出可行域如图中阴影部分所示,记 z1=x-3y,则
5、y=x-,由图 1 3 1 3 可知当直线 z1=x-3y 过点 B,C 时 z1分别取得最大值 3 和最小值-5. 所以 z=|x-3y|的最大值为 5. 方法二:z=,d=表示点(x,y)到直线 x-3y=0 的距离,10 | - 3| 10 | - 3| 10 又 B(3,0)到直线 x-3y=0 的距离为,C(1,2)到直线 x-3y=0 的距离为.所以 z 的最 3 10 5 10 大值为=5.10 5 10 11.已知函数 f (x)=与 g(x)=x3+t,若 f(x)与 g(x)的交点在直线 y=x 的两侧,则实数 t 的取 4 值范围是( ) A.(-6,0B.(-6,6)
6、C.(4,+)D.(-4,4) 【解析】选 B.根据题意可得函数图象,g(x)在点 A(2,2)处的取值大于 2,在点 B(-2,-2) 处的取值小于-2,可得 g(2)=23+t =8+t2,g(-2)=(-2)3+t=-8+tr2),|F1F2|=2c,椭圆长半轴长为 a1,双曲线实 半轴长为 a2,椭圆、双曲线的离心率分别为 e1,e2,由(2c)2=+-2r1r2cos,得 4c2=+ 2 1 2 2 3 2 1 -r1r2.由 得 所以+=, 2 2 1+ 2= 21, 1- 2= 22 1= 1+ 2, 2= 1- 2, 1 1 1 2 1+ 2 1 令m=,当= 2 1 2 42
7、 1 2 1+ 22 - 12 4 1 +( 2 1) 2 - 2 1 4 ( 2 1 - 1 2) 2 + 3 4 2 1 1 2 时,mmax=,所以=,即+的最大值为. 16 3 ( 1 ) 4 3 3 1 1 1 2 4 3 3 方法二:假定焦点在x轴上,点P在第一象限,F1,F2分别为左、 右焦点.设椭圆的方程为+ 2 2 2 2 =1(ab0),双 曲 线 的 方 程 为-=1(m0,n0),它 们 的 离 心 率 分 别 为 e1,e2,则 2 2 2 2 |PF1|=a+m,|PF2|=a-m,在 PF1F2中 ,4c2=(a+m)2+(a-m)2-2(a+m)(a-m)cos
8、 a2+3m2=4c2 3 +3=4,则+=+ ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 + 3( ) 2 (1 + 1 3) ( + ) 2 1 1 1 2 ,当且仅当 a=3m 时,等号成立. 4 3 3 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.某程序框图如图所示,若 a=3,则该程序运行后,输出的 x 值为_. 【解析】 第一次循环,x=23+1=7,n=2; 第二次循环,x=27+1=15,n=3; 第三次循环,x=215+1=31,n=4,程序结束,故输出 x=31. 答案:31 14.函数 y=logax+1(a0 且 a1)的图
9、象恒过定点 A,若点 A 在直线+-4 =0(m0,n0)上, 则+=_;m+n 的最小值为_. 1 1 【解析】由条件知点 A 的坐标为(1,1),又点 A 在直线+-4=0(m0,n0)上,所以+=4, 1 1 所以m+n=(m+n)=1,当且仅当 1 4( 1 + 1 ) 1 4(2 + + ) 1 4(2 + 2 ) =,即 m=n=时等号成立,所以 m+n 的最小值为 1. 1 2 答案:4 1 15.已知椭圆+=1 的左焦点 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A,B,当FAB 的周长最大时, 2 4 2 3 FAB 的面积是_. 【解析】不妨设 A(2cos ,sin ),(0,)
10、,3 则FAB 的周长为 2(|AF|+sin )=2(2+cos +sin )=4+4sin(+).33 6 当=,即 A(1,)时,FAB 的周长最大.所以FAB 的面积为 S=23=3. 3 3 2 1 2 答案:3 16.如图,VA平面 ABC,ABC 的外接圆是以边 AB 的中点为圆心的圆,点 M,N,P 分别为棱 VA,VC,VB 的中点,则下列结论正确的有_.(把正确结论的序号都填上) MN平面ABC;OC平面VAC;MN与BC所成的角为60;MNOP;平面VAC平面VBC. 【解析】对于,因为点 M,N 分别为棱 VA,VC 的中点,所以 MNAC,又 MN平面 ABC,AC平面 ABC,所以 MN平面 ABC,所以正确; 对于,假设 OC平面 VAC,则 OCAC,因为 AB 是圆 O 的直径,所以 BCAC,矛盾,所以不正 确; 对于,因为 MNAC,且 BCAC,所以 MN 与 BC 所成的角为 90,所以不正确; 对于,易得 OPVA,又 VAMN,所以 MNOP,所以正确; 对于,因为 VA平面 ABC,BC平面 ABC,所以 VABC,又 BCAC,且 ACVA=A,所以 BC平 面 VAC,又 BC平面 VBC,所以平面 VAC平面 VBC,所以正确. 答案: