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1、第 2 讲 三角恒等变换与解三角形第 2 讲 三角恒等变换与解三角形 年份卷别考查内容及考题位置命题分析 卷利用正、余弦定理求边或角T17 卷 利用余弦定理求边长T6 三角恒等变 换T15 2018 卷倍角公式T4 三角形的面积公式T9 卷 正、余弦定理、三角形的面积公式及两角 和的余弦公式T17 卷 余弦定理、 三角恒等变换及三角形的面积 公式T17 2017 卷余弦定理、三角形的面积公式T17 卷正、余弦定理、两角和的正弦公式T17 诱导公式、三角恒等变换、给值求值问 题T9卷 正弦定理的应用、诱导公式T13 2016 卷正、余弦定理解三角形T8 1.高考对此部分的考查一 般以“二小”或“
2、一大”的 命题形式出现 2若无解答题，一般在选 择题或填空题各有一题， 主 要考查三角恒等变换、 解三 角形，难度一般，一般出现 在第49题或第1315题 位置上 3若以解答题命题形式出 现， 主要考查三角函数与解 三角形的综合问题， 一般出 现在解答题第 17 题位置 上，难度中等. 三角恒等变换与求值(基础型) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin()sin cos cos sin . (2)cos()cos cos sin sin . (3)tan(). tan tan 1 tan tan 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 22sin cos . (2)cos 2co
3、s2sin22cos2112sin2. (3)tan 2. 2tan 1tan2 三角恒等变换的“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等 (2)项的分拆与角的配凑：如 sin22cos2(sin2cos2)cos2，( )等 (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次 (4)弦、切互化：一般是切化弦 考法全练 1已知，tan 2，则 cos_ (0， 2)( 4) 解析：因为，tan 2， (0， 2) 所以 sin ，cos ， 2 5 5 5 5 所以 coscos cossin sin ( 4) 4 4 . 2 2( 2 5 5 5
4、 5) 3 10 10 答案： 3 10 10 2 已知 cos ， cos() ， 且， 则 cos() 1 3 1 3(0， 2) _ 解析：因为，所以 2(0，) (0， 2) 因为 cos ，所以 cos 22cos21 ， 1 3 7 9 所以 sin 2，1cos22 4 2 9 又， (0， 2) 所以(0，)， 所以 sin() ，1cos2（） 2 2 3 所以 cos()cos2() cos 2cos()sin 2sin() . ( 7 9) ( 1 3) 4 2 9 2 2 3 23 27 答案：23 27 3已知 sin ，且 sin()cos ，则 tan() 3 5
5、( 2 0， 所以 sin B2sin Bcos C，所以 cos C . 1 2 因为C(0，)，所以C. 3 (2)由(1)及余弦定理得 cos C ， a2b2c2 2ab 1 2 又c2，所以a2b212ab，3 所以(ab)2123ab3， ( ab 2) 2 即(ab)248(当且仅当ab2时等号成立)3 所以ab4，abc6.33 所以ABC周长的最大值为 6.3 2(2018武汉调研)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足 cos 2Acos 2B2coscos0. ( 6 B) ( 6 B) (1)求角A的值； (2)若b且ba，求a的取值范围3 解 ：
6、(1)由 cos 2A cos 2B 2coscos 0， 得 2sin2B 2sin2A 2 ( 6 B) ( 6 B) 0，化简得 sin A，又ABC为锐角三角形，故A. ( 3 4cos 2B1 4sin 2B) 3 2 3 (2)因为ba，所以ca，所以C，B，所以 sin B.3 3 2 6 3 1 2 3 2 由正弦定理，得，所以a， a sin A b sin B a 3 2 3 sin B 3 2 sin B 由 sin B得a，3) ( 1 2， 3 2 3 A 组 夯基保分专练 一、选择题 1(2018高考全国卷)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则( ) Af(
7、x)的最小正周期为，最大值为 3 Bf(x)的最小正周期为，最大值为 4 Cf(x)的最小正周期为 2，最大值为 3 Df(x)的最小正周期为 2，最大值为 4 解析：选 B.易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x1 (2cos2x1) 1 cos 2x ， 3 2 3 2 3 2 5 2 则f(x)的最小正周期为，当xk(kZ Z)时，f(x)取得最大值，最大值为 4. 2 在ABC中， 内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 若c2a，bsin Basin Aasin 1 2 C，则 sin B为( ) A. B. 7 4 3 4 C. D. 7 3 1 3 解析：选 A.由bs
8、in Basin Aasin C， 1 2 且c2a， 得ba，2 因为 cos B ， a2c2b2 2ac a24a22a2 4a2 3 4 所以 sin B .1(3 4) 2 7 4 3(2018洛阳第一次统考)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c 成等比数列，且a2c2acbc，则( ) c bsin B A. B. 3 2 2 3 3 C. D. 3 3 3 解析：选 B.由a，b，c成等比数列得b2ac，则有a2c2b2bc，由余弦定理得 cos A ， 故A， 对于b2ac， 由正弦定理得， sin2 Bsin Asin Csin b2c2a2 2bc
9、bc 2bc 1 2 3 3 2 C，由正弦定理得，.故选 B. c bsin B sin C sin2 B sin C 3 2 sin C 2 3 3 4(2018昆明模拟)在ABC中，已知AB，AC，tanBAC3，则BC边上25 的高等于( ) A1 B. 2 C. D23 解析：选 A.法一：因为 tanBAC3，所以 sinBAC，cosBAC.由余 3 10 1 10 弦定理， 得BC2AC2AB22ACABcosBAC5229， 所以BC52 ( 1 10) 3，所以SABCABACsinBAC ，所以BC边上的高h 1 2 1 2 25 3 10 3 2 2S ABC BC 1
10、，故选 A. 2 3 2 3 法二：因为 tanBAC3，所以 cosBAC0，则BAC为钝角，因此BC边上 1 10 的高小于，故选 A.2 5ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c ，则C( )2 A. B. 12 6 C. D. 4 3 解析 ： 选 B.因为 sin Bsin A(sin Ccos C)0，所以 sin(AC)sin Asin Csin Acos C0，所以 sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，整理得 sin C(sin Acos A)0.因为 sin C
11、0， 所以 sin Acos A0，所以 tan A1，因为A(0，)，所以A. 3 4 由正弦定理得 sin C ， csin A a 2 2 2 2 1 2 又 0C，所以C. 4 6 6.如图，在ABC中，C，BC4， 点D在边AC上，ADDB，DEAB， 3 E为垂足若DE2，则 cos A等于( )2 A. B. 2 2 3 2 4 C. D. 6 4 6 3 解析 ： 选 C.依题意得，BDAD， BDCABDA2A.在BCD中， DE sin A 2 2 sin A ， 即， 由此解得 cos BC sinBDC BD sin C 4 sin 2A 2 2 sin A 2 3 4
12、 2 3sin A 4 2sin Acos A 4 2 3sin A A. 6 4 二、填空题 7若 sin ，则 cos_ ( 3 ) 1 4( 3 2) 解析：依题意得 cos( 3 2) cos( 3 2) cos2( 3 ) 2sin2121 ( 3 ) ( 1 4) 2 . 7 8 答案：7 8 8 (2018高考全国卷改编)在ABC中， cos ，BC1，AC5， 则AB_ C 2 5 5 解析：因为 cos C2cos2 12 1 ，所以由余弦定理，得AB2AC2BC2 C 2 1 5 3 5 2ACBCcos C25125132，所以AB4. ( 3 5) 2 答案：4 2 9
13、 (2018惠州第一次调研)已知a，b，c是ABC中角A，B，C的对边，a4，b(4， 6)， sin 2Asin C，则c的取值范围为_ 解析 ： 由，得，所以c8cos A，因为 16b2c2 4 sin A c sin C 4 sin A c sin 2A 2bccos A， 所 以 16b2 64cos2A 16bcos2A， 又b4， 所 以 cos2A 16b2 6416b ，所以c264cos2A64164b.因为b(4，6)，所以 （4b）（4b） 16（4b） 4b 16 4b 16 32c240，所以 4c2.210 答案：(4，2)210 三、解答题 10 (2018沈阳
14、教学质量监测(一)在ABC中， 已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 且 2ccos B2ab. (1)求C； (2)若ab6，ABC的面积为 2，求c.3 解：(1)由正弦定理得 2sin Ccos B2sin Asin B， 又 sin Asin(BC)， 所以 2sin Ccos B2sin(BC)sin B， 所以 2sin Ccos B2sin Bcos C2cos Bsin Csin B， 所以 2sin Bcos Csin B0， 因为 sin B0，所以 cos C . 1 2 又C(0，)，所以C. 2 3 (2)因为SABCabsin C2， 1 2 3 所以ab8，
15、 由余弦定理，得c2a2b22abcos Ca2abb2(ab)2ab28， 所以c2.7 11(2018石家庄质量检测(二)已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， 且tan Atan B. 3c acos B (1)求角A的大小； (2)设AD为BC边上的高，a，求AD的取值范围3 解：(1)在ABC中，因为tan Atan B，所以，即 3c acos B 3sin C sin Acos B sin A cos A sin B cos B ， 3sin C sin Acos B sin Acos Bsin Bcos A cos Acos B 所以，则 tan A，所以A. 3
16、sin A 1 cos A 3 3 (2)因为SABCADBCbcsin A， 1 2 1 2 所以ADbc. 1 2 由余弦定理得 cos A ， 1 2 b2c2a2 2bc 2bc3 2bc 所以 0bc3(当且仅当bc时等号成立)， 所以 0AD . 3 2 12 (2018郑州质量检测(二)已知ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是角A，B，C 的对边，且 2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C，c3. (1)求A； (2)若AD是BC边上的中线，AD，求ABC的面积 19 2 解：(1)对于 2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C，由正弦定理得， bsin Ba
17、sin Absin Ccsin C，即b2a2bcc2， 所以 cos A ，因为 0A180，所以A60. b2c2a2 2bc 1 2 (2)以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，连接DE，易知A，D，E三点共线 在ABE中，ABE120，AE2AD，19 在ABE中，由余弦定理得AE2AB2BE22ABBEcos 120， 即 199AC223AC，得AC2. ( 1 2) 故SABCbcsinBAC. 1 2 3 3 2 B 组 大题增分专练 1(2018长春质量监测(二)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面 积Sb2sin A. (1)求 的值； c b (2)设
18、内角A的平分线AD交于BC于D，AD，a，求b. 2 3 3 3 解：(1)由Sbcsin Ab2sin A，可知c2b，即 2. 1 2 c b (2)由角平分线定理可知，BD，CD， 2 3 3 3 3 在ABC中，cos B，在ABD中，cos B，即 4b23b2 22b 3 4b24 3 4 3 22b 2 3 3 4b23b2 22b 3 ，解得b1. 4b24 3 4 3 22b 2 3 3 2(2018贵阳模拟)已知在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，AB边 上的高hc. 2 3 (1)若ABC为锐角三角形，且 cos A ，求角C的正弦值； 3 5 (2)若C
19、，M，求M的值 4 a2b21 3c 2 ab 解：(1)作CDAB，垂足为D， 因为ABC为锐角三角形，且 cos A ， 3 5 所以 sin A ，tan A ， 4 5 4 3 所以AD ，BDABAD ， c 2 c 2 所以BC，CD2BD2 ( 2 3c) 2 ( c 2) 2 5c 6 由正弦定理得：sinACB. ABsin A BC c 4 5 5c 6 24 25 (2)因为SABCccabsinACBab， 1 2 2 3 1 2 2 4 所以c2ab， 3 2 4 又a2b2c22abcosACBab，2 所以a2b2abc2，2 所以a2b2c2abc2ab ab2
20、ab， 1 3 2 4 3 2 4 3 3 2 4 2 所以M2. a2b21 3c 2 ab 2 2 ab ab 2 3(2018合肥质量检测)已知ABC中，D为AC边上一点，BC2，DBC45.2 (1)若CD2，求BCD的面积；5 (2)若角C为锐角，AB6，sin A，求CD的长2 10 10 解：(1)在BCD中，CD2BC2BD22BCBDcos 45， 即 208BD24BD，解得BD6， 所以BCD的面积S 26sin 456. 1 2 2 (2)在ABC中，由得， BC sin A AB sin C 2 2 10 10 6 2 sin C 解得 sin C. 3 10 10
21、由角C为锐角得，cos C， 10 10 所以 sinBDCsin(C45). 2 5 5 在BCD中，即， CD sinDBC BC sinBDC CD 2 2 2 2 2 5 5 解得CD.5 4(2018高考天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos. (B 6) (1)求角B的大小； (2)设a2，c3，求b和 sin(2AB)的值 解 ： (1)在ABC中， 由正弦定理， 可得bsin Aasin B， 又由bsin Aacos a sin A b sin B ， 得asin Bacos ， 即 sin Bcos， 可得 tan B.又因为B(0， )， (B 6)(B 6)(B 6) 3 可得B. 3 (2)在ABC中， 由余弦定理及a2，c3，B， 有b2a2c22accos B7， 故 3 b.7 由bsin Aacos， (B 6) 可得 sin A. 3 7 因为ac，故 cos A. 2 7 因此 sin 2A2sin Acos A， 4 3 7 cos 2A2cos2A1 ， 1 7 所以，sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B . 4 3 7 1 2 1 7 3 2 3 3 14