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1、八 不等式选讲(B)八 不等式选讲(B) 1.(2018呼伦贝尔一模)已知 a0,b0,且 a+b=1. (1)若 abm 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若 + |2x-1|-|x+2|恒成立,求 x 的取值范围. 4 1 2.(2018永州模拟)已知x0R 使得关于 x 的不等式|x-1|-|x-2|t 成立. (1)求满足条件的实数 t 的集合 T; (2)若 m1,n1,且对于tT,不等式 log3mlog3nt 恒成立,试求 m+n 的最 小值. 3.(2018葫芦岛二模)已知函数 f(x)=|x+1|+|2x-1|. (1)若 f(x)+ (m0,n0)对任意 xR 恒成立,求
2、 m+n 的最小值; 1 1 (2)若 f(x)ax-2+a 恒成立,求实数 a 的取值范围. 4.(2018南平质检)已知函数 f(x)=|x-1|+|x-3|. (1)解不等式 f(x)x+1; (2)设函数f(x)的最小值为c,已知实数a,b满足a0,b0,a+b=c,求证:+ 1. 2 + 1 2 + 1 1.解:(1)因为 a0,b0,且 a+b=1, 所以 ab()2= ,当且仅当 a=b= 时“=”成立, + 2 1 4 1 2 由 abm 恒成立,故 m . 1 4 (2)因为 a,b(0,+),a+b=1,所以 + =( + )(a+b)=5+ 5+2=9, 4 1 4 1
3、4 4 当且仅当 a=2b 时取等号, 故若 + |2x-1|-|x+2|恒成立,则|2x-1|-|x+2|9, 4 1 当 x-2 时,不等式化为 1-2x+x+29,解得-6x-2, 当-21,n1, 所以 log3m0,log3n0. 又 1log3mlog3n()2=(log3m=log3n 时,取等号,此时 m=n), log3m + log3n 2 (log3mn)2 4 所以(log3mn)24, 所以 log3mn2,mn9, 所以 m+n26, 即 m+n 的最小值为 6(此时 m=n=3). 3.解:(1)由题意可知,f(x)= - 3, - 1, - + 2, - 1 0
4、,n0,解得 m+n , 8 3 当且仅当 m=n 时等号成立, 故 m+n 的最小值为 . 8 3 (2)令 g(x)=ax-2+a=a(x+1)-2,其为过定点(-1,-2)的斜率为 a 的直线, 则 f(x)g(x)表示函数 y=f(x)恒在函数 y=g(x)图象的上方, 由图象可知-3a . 7 3 4.(1)解:f(x)x+1, 即|x-1|+|x-3|x+1. 当 x3 时,不等式可化为 2x-4x+1,x5. 又因为 x3,所以 31,n1,a=m-1,b=n-1,m+n=4, +=+=m+n+ -4=1, 2 + 1 2 + 1 ( - 1)2 ( - 1)2 1 1 4 4 ( + 2 ) 2 原不等式得证.